Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
Основание H высоты SH треугольной пирамиды SABC принадлежит грани ABC, SH=215, SA=1, SB=2, ∠ASB=120∘, ∠ACB=60∘. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды SABC.
Введём обозначения. Пусть H — основание высоты SH, лежащее в плоскости грани ABC, и пусть SH=215. Высота SH перпендикулярна плоскости ABC, поэтому H есть ортогональная проекция вершины S на эту плоскость.
Шаг 1. Сторона AB и радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
В треугольнике ASB даны SA=1, SB=2, ∠ASB=120∘. По теореме косинусов
AB2=SA2+SB2−2⋅SA⋅SB⋅cos120∘=1+4−2⋅1⋅2⋅(−21)=7,то есть AB=7.
В треугольнике ABC сторона AB лежит против угла ∠ACB=60∘. По теореме синусов радиус ρ описанной около ABC окружности равен
ρ=2sin∠ACBAB=2sin60∘7=2⋅237=37=321,ρ2=37.Шаг 2. Где находится центр описанной сферы.
Пусть O1 — центр окружности, описанной около треугольника ABC (он лежит в плоскости ABC). Множество точек пространства, равноудалённых от вершин A, B, C, есть прямая ℓ, проходящая через O1 перпендикулярно плоскости ABC. Центр O описанной около пирамиды сферы равноудалён от всех четырёх вершин, в частности от A,B,C, поэтому O∈ℓ. Введём декартовы координаты так, что плоскость ABC — это плоскость z=0, а O1 — начало координат. Тогда
O=(0,0,t),R2=∣OA∣2=ρ2+t2,поскольку любая вершина основания удалена от O1 на ρ.
Шаг 3. Координаты вершины S и условие ∣OS∣=R.
Так как H — проекция S на плоскость z=0, а SH⊥ABC, вершина S имеет вид S=(Hx,Hy,SH), где H=(Hx,Hy,0). Обозначим d=∣O1H∣ — расстояние в плоскости основания от центра O1 до точки H. Тогда
∣OS∣2=∣O1H∣2+(t−SH)2=d2+t2−2t⋅SH+SH2.Приравнивая ∣OS∣2=R2=ρ2+t2, сокращаем t2 и находим
d2−2t⋅SH+SH2=ρ2⟹t=2SHd2+SH2−ρ2.(1)Значит, для ответа достаточно знать величину d=∣O1H∣.
Шаг 4. Нахождение расстояния d=∣O1H∣.
Так как SH⊥HA и SH⊥HB (высота перпендикулярна плоскости основания, а значит и любым прямым в ней), из прямоугольных треугольников SHA и SHB получаем горизонтальные расстояния
HA2=SA2−SH2=1−215=2116,HB2=SB2−SH2=4−215=2179.Расположим A и B симметрично относительно оси Oy: серединный перпендикуляр к AB проходит через центр O1. Пусть A=(−27,y0), B=(27,y0), где из условия ∣O1A∣=ρ находим
y02=ρ2−(27)2=37−47=127,y0=621.Здесь учтено, что центральный угол, опирающийся на хорду AB, равен 2∠ACB=120∘<180∘: хорда AB — меньшая дуга, вершина C лежит на большей дуге (по другую сторону от прямой AB, чем точки этой меньшей дуги).
Пусть H=(Hx,Hy). Из HA2 и HB2, вычитая одно равенство из другого, получаем линейное уравнение
HB2−HA2=[(Hx−27)2−(Hx+27)2]=−27Hx=2179−2116=3,откуда Hx=−273=−1437. Подставляя в HA2=2116 и решая квадратное уравнение относительно Hy, получаем два корня:
Hy=1421≈0,327илиHy=421121≈1,200.Прямая AB имеет уравнение y=y0=621≈0,764. Основание высоты H принадлежит грани ABC, то есть лежит по ту же сторону от прямой AB, что и вершина C (на стороне большей дуги, y<y0). Первый корень Hy=1421<y0 этому удовлетворяет, а второй Hy=421121>y0 лежит по другую сторону от AB, вне треугольника ABC, и потому отбрасывается.
Итак, H=(−1437,1421), и
d2=∣O1H∣2=Hx2+Hy2=289+19621=19663+19621=19684=73.Шаг 5. Вычисление радиуса.
По формуле (1) с SH2=215, ρ2=37, d2=73:
t=2SHd2+SH2−ρ2=221573+215−37=2215219+215−2149=2215−2135=−6105.Знак t лишь указывает, по какую сторону от плоскости основания лежит центр сферы; для радиуса важен квадрат:
t2=36105,R2=ρ2+t2=37+36105=3684+36105=36189=421.Следовательно,
R=421=221.Заметим, что положение точки C на большей дуге окружности (при сохранении ∠ACB=60∘) не влияет на ответ: радиус R выражается лишь через ρ и t, а величина t зависит только от d=∣O1H∣, SH и ρ, которые от выбора C не зависят. Это согласуется с тем, что задача имеет однозначный ответ.
Ответ: R=221.