Основание H высоты SH треугольной пирамиды SABC принадлежит грани ABC, SH=sqrt((5)/(21)), SA=1, SB=2, ASB=120^, ACB=60^. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды SABC.

Введём обозначения. Пусть H — основание высоты SH , лежащее в плоскости грани ABC , и пусть SH=sqrt((5)/(21)) . Высота SH перпендикулярна плоскости ABC , поэтому H есть ортогональная проекция вершины S на эту плоскость. **Шаг 1. Сторона AB и радиус окружности, описанной около треугольника ABC .** В треугольнике ASB даны SA=1 , SB=2 , ASB=120^ . По теореме косинусов AB^2=SA^2+SB^2-2* SA* SB*cos 120^=1+4-2*1*2*(-12)=7, то есть AB=7 . В треугольнике ABC сторона AB лежит против угла ACB=60^ . По теореме синусов радиус описанной около ABC окружности равен =(AB)/(2sin ACB)=(7)/(2sin 60^)=(7)/(2*(3)/(2))=(7)/(3)=(sqrt(21))/(3), ^2=(7)/(3). **Шаг 2. Где находится центр описанной сферы.** Пусть O_1 — центр окружности, описанной около треугольника ABC (он лежит в плоскости ABC ). Множество точек пространства, равноудалённых от вершин A , B , C , есть прямая , проходящая через O_1 перпендикулярно плоскости ABC . Центр O описанной около пирамиды сферы равноудалён от всех четырёх вершин, в частности от A,B,C , поэтому Oin . Введём декартовы координаты так, что плоскость ABC — это плоскость z=0 , а O_1 — начало координат. Тогда O=(0,0,t), R^2=|OA|^2=^2+t^2, поскольку любая вершина основания удалена от O_1 на . **Шаг 3. Координаты вершины S и условие |OS|=R .** Так как H — проекция S на плоскость z=0 , а SH ABC , вершина S имеет вид S=(H_x,H_y,SH) , где H=(H_x,H_y,0) . Обозначим d=|O_1H| — расстояние в плоскости основания от центра O_1 до точки H . Тогда |OS|^2=|O_1H|^2+(t-SH)^2=d^2+t^2-2t* SH+SH^2. Приравнивая |OS|^2=R^2=^2+t^2 , сокращаем t^2 и находим d^2-2t* SH+SH^2=^2 t=(d^2+SH^2-^2)/(2SH). 1 Значит, для ответа достаточно знать величину d=|O_1H| . **Шаг 4. Нахождение расстояния d=|O_1H| .** Так как SH HA и SH HB (высота перпендикулярна плоскости основания, а значит и любым прямым в ней), из прямоугольных треугольников SHA и SHB получаем горизонтальные расстояния HA^2=SA^2-SH^2=1-(5)/(21)=(16)/(21), HB^2=SB^2-SH^2=4-(5)/(21)=(79)/(21). Расположим A и B симметрично относительно оси Oy : серединный перпендикуляр к AB проходит через центр O_1 . Пусть A=(-(7)/(2),y_0) , B=((7)/(2),y_0) , где из условия |O_1A|= находим y_0^2=^2-((7)/(2))^2=(7)/(3)-(7)/(4)=(7)/(12), y_0=(sqrt(21))/(6). Здесь учтено, что центральный угол, опирающийся на хорду AB , равен 2 ACB=120^<180^ : хорда AB — меньшая дуга, вершина C лежит на большей дуге (по другую сторону от прямой AB , чем точки этой меньшей дуги). Пусть H=(H_x,H_y) . Из HA^2 и HB^2 , вычитая одно равенство из другого, получаем линейное уравнение HB^2-HA^2=[(H_x-(7)/(2))^2-(H_x+(7)/(2))^2]= -27H_x=(79)/(21)-(16)/(21)=3, откуда H_x=-(3)/(27)=-(37)/(14) . Подставляя в HA^2=(16)/(21) и решая квадратное уравнение относительно H_y , получаем два корня: H_y=(sqrt(21))/(14)~ 0,327 или H_y=(11sqrt(21))/(42)~ 1,200. Прямая AB имеет уравнение y=y_0=(sqrt(21))/(6)~ 0,764 . Основание высоты H принадлежит грани ABC , то есть лежит по ту же сторону от прямой AB , что и вершина C (на стороне большей дуги, y<y_0 ). Первый корень H_y=(sqrt(21))/(14)<y_0 этому удовлетворяет, а второй H_y=(11sqrt(21))/(42)>y_0 лежит по другую сторону от AB , вне треугольника ABC , и потому отбрасывается. Итак, H=(-(37)/(14),(sqrt(21))/(14)) , и d^2=|O_1H|^2=H_x^2+H_y^2=(9)/(28)+(21)/(196)=(63)/(196)+(21)/(196)=(84)/(196)=(3)/(7). **Шаг 5. Вычисление радиуса.** По формуле (1) с SH^2=(5)/(21) , ^2=(7)/(3) , d^2=(3)/(7) : t=(d^2+SH^2-^2)/(2SH)=(37+521-73)/(2sqrt(521)) =(921+521-4921)/(2sqrt(521)) =(-3521)/(2sqrt(521))=-(sqrt(105))/(6). Знак t лишь указывает, по какую сторону от плоскости основания лежит центр сферы; для радиуса важен квадрат: t^2=(105)/(36), R^2=^2+t^2=(7)/(3)+(105)/(36)=(84)/(36)+(105)/(36)=(189)/(36)=(21)/(4). Следовательно, R=sqrt((21)/(4))=(sqrt(21))/(2). Заметим, что положение точки C на большей дуге окружности (при сохранении ACB=60^ ) не влияет на ответ: радиус R выражается лишь через и t , а величина t зависит только от d=|O_1H| , SH и , которые от выбора C не зависят. Это согласуется с тем, что задача имеет однозначный ответ. Ответ: R=(sqrt(21))/(2) .

\(\frac{\sqrt{21}}{2}\)