Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB=AD, CA — биссектриса угла C, BAD=140^, BEA=110^. Найти угол CDB.
Обозначим искомый угол CDB. Введём вспомогательную величину gamma= BCA= ACD — это половинки угла C, равные между собой, так как по условию CA — биссектриса угла BCD. **Шаг 1. Равнобедренный треугольник ABD.** В треугольнике ABD стороны AB=AD, значит он равнобедренный, и углы при основании BD равны: ABD= ADB=(180^- BAD)/(2)=(180^-140^)/(2)=20^. **Шаг 2. Угол BAC из условия BEA=110^.** Точка E лежит на диагонали BD, поэтому луч BE совпадает с лучом BD, и ABE= ABD=20^. Точка E лежит и на диагонали AC, поэтому луч AE совпадает с лучом AC, и BAE= BAC. Рассмотрим треугольник ABE: сумма его углов даёт BAC= BAE=180^- BEA- ABE=180^-110^-20^=50^. **Шаг 3. Углы при вершине A в треугольниках ABC и ACD.** Так как диагональ AC лежит внутри угла BAD (четырёхугольник выпуклый, C и точка пересечения диагоналей лежат внутри угла A), то CAD= BAD- BAC=140^-50^=90^. **Шаг 4. Связь по теореме синусов и нахождение gamma.** Запишем теорему синусов для треугольников ABC и ACD, у которых сторона AC общая. В треугольнике ABC углы равны BAC=50^, ACB=gamma, значит ABC=180^-50^-gamma=130^-gamma, и (AB)/()=(AC)/(sin ABC)=(AC)/(sin(130^-gamma)). В треугольнике ACD углы равны CAD=90^, ACD=gamma, значит ADC=180^-90^-gamma=90^-gamma, и (AD)/()=(AC)/(sin ADC)=(AC)/(sin(90^-gamma)). Поскольку AB=AD, левые части (а значит и величины (AC)/(sin ABC) и (AC)/(sin ADC)) равны, откуда sin(130^-gamma)=sin(90^-gamma). Углы 130^-gamma и 90^-gamma различны, поэтому равенство синусов возможно лишь в случае, когда они дополняют друг друга до 180^: (130^-gamma)+(90^-gamma)=180^ 220^-2gamma=180^ gamma=20^. (Вариант 130^-gamma=90^-gamma невозможен.) Итак, ACD= ACB=20^ и ADC=90^-gamma=70^. **Шаг 5. Искомый угол CDB.** В выпуклом четырёхугольнике луч DB (то есть DE) лежит внутри угла ADC, поэтому CDB= ADC- ADB=70^-20^=50^. Заметим попутно, что найденная конфигурация согласована: вычисленные углы дают BCA= ACD=20^ (биссектриса), BAD=140^, BEA=110^, причём точки расположены так, что четырёхугольник ABCD выпуклый. (Кстати, из ACB= ADB=20^ видно, что точки A,B,C,D лежат на одной окружности.) **Ответ:** CDB=50^.
\(50^\circ\)