Задача №18158

Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E\text{,}$ $AB=AD\text{,}$ $CA$ — биссектриса угла $C\text{,}$ $\angle BAD=140^{\circ }\text{,}$ $\angle BEA=110^{\circ }\text{.}$ Найти угол $CDB\text{.}$

Обозначим искомый угол $\angle CDB\text{.}$ Введём вспомогательную величину $\gamma =\angle BCA=\angle ACD$ — это половинки угла $C\text{,}$ равные между собой, так как по условию $CA$ — биссектриса угла $\angle BCD\text{.}$

Шаг 1. Равнобедренный треугольник $ABD\text{.}$
В треугольнике $ABD$ стороны $AB=AD\text{,}$ значит он равнобедренный, и углы при основании $BD$ равны:

Шаг 2. Угол $\angle BAC$ из условия $\angle BEA=110^{\circ }\text{.}$
Точка $E$ лежит на диагонали $BD\text{,}$ поэтому луч $BE$ совпадает с лучом $BD\text{,}$ и $\angle ABE=\angle ABD=20^{\circ }\text{.}$ Точка $E$ лежит и на диагонали $AC\text{,}$ поэтому луч $AE$ совпадает с лучом $AC\text{,}$ и $\angle BAE=\angle BAC\text{.}$ Рассмотрим треугольник $ABE\text{:}$ сумма его углов даёт

Шаг 3. Углы при вершине $A$ в треугольниках $ABC$ и $ACD\text{.}$
Так как диагональ $AC$ лежит внутри угла $\angle BAD$ (четырёхугольник выпуклый, $C$ и точка пересечения диагоналей лежат внутри угла $A$), то

Шаг 4. Связь по теореме синусов и нахождение $\gamma \text{.}$
Запишем теорему синусов для треугольников $ABC$ и $ACD\text{,}$ у которых сторона $AC$ общая.

В треугольнике $ABC$ углы равны $\angle BAC=50^{\circ }\text{,}$ $\angle ACB=\gamma \text{,}$ значит $\angle ABC=180^{\circ }-50^{\circ }-\gamma =130^{\circ }-\gamma \text{,}$ и

В треугольнике $ACD$ углы равны $\angle CAD=90^{\circ }\text{,}$ $\angle ACD=\gamma \text{,}$ значит $\angle ADC=180^{\circ }-90^{\circ }-\gamma =90^{\circ }-\gamma \text{,}$ и

Поскольку $AB=AD\text{,}$ левые части (а значит и величины $\frac{AC}{\sin \angle ABC}$ и $\frac{AC}{\sin \angle ADC}$) равны, откуда

Углы $130^{\circ }-\gamma$ и $90^{\circ }-\gamma$ различны, поэтому равенство синусов возможно лишь в случае, когда они дополняют друг друга до $180^{\circ }\text{:}$

(Вариант $130^{\circ }-\gamma =90^{\circ }-\gamma$ невозможен.) Итак, $\angle ACD=\angle ACB=20^{\circ }$ и $\angle ADC=90^{\circ }-\gamma =70^{\circ }\text{.}$

Шаг 5. Искомый угол $\angle CDB\text{.}$
В выпуклом четырёхугольнике луч $DB$ (то есть $DE$) лежит внутри угла $\angle ADC\text{,}$ поэтому

Заметим попутно, что найденная конфигурация согласована: вычисленные углы дают $\angle BCA=\angle ACD=20^{\circ }$ (биссектриса), $\angle BAD=140^{\circ }\text{,}$ $\angle BEA=110^{\circ }\text{,}$ причём точки расположены так, что четырёхугольник $ABCD$ выпуклый. (Кстати, из $\angle ACB=\angle ADB=20^{\circ }$ видно, что точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности.)

Ответ: $\angle CDB=50^{\circ }\text{.}$