Решить систему cases2^(x+2)=(49)/(4)x^2+4, 2^(x+2)-4 x^2(14-2^(x+2))* 2^x.cases

Решаем систему cases2^(x+2)=(49)/(4)x^2+4, 2^(x+2)-4 x^2(14-2^(x+2))* 2^x.cases Идея в том, чтобы не искать корни уравнения по отдельности (они трансцендентны и в явном виде не выписываются), а воспользоваться тем, что любое решение системы прежде всего удовлетворяет уравнению. Поэтому в неравенство можно подставить связь, задаваемую уравнением, и получить простое алгебраическое условие на x. **Шаг 1. Что даёт уравнение.** Обозначим t=2^(x+2). Первое равенство означает t=(49)/(4)x^2+4, откуда t-4=(49)/(4)x^2. Кроме того, 2^(x+2)=4* 2^x, поэтому на множестве решений уравнения 2^(x)=(t)/(4)=(1)/(4)((49)/(4)x^2+4)=(49x^2+16)/(16). Это две точные подстановки, справедливые в любой точке, удовлетворяющей уравнению. **Шаг 2. Подстановка в неравенство.** Перепишем неравенство в виде R-L 0, где L=2^(x+2)-4=t-4, R=x^2(14-2^(x+2))* 2^x=x^2(14-t)*(t)/(4). Подставляя t=(49)/(4)x^2+4 (а значит и t-4=(49)/(4)x^2), вычислим разность R-L как функцию одной переменной x: R-L=x^2(14-t)(t)/(4)-(t-4). После раскрытия скобок и приведения подобных получается компактное выражение R-L=-(2401)/(64)x^6+(147)/(8)x^4-(9)/(4)x^2=-(x^2(49x^2-12)^2)/(64). (Множитель проверяется прямым раскрытием: (x^2(49x^2-12)^2)/(64)=(2401)/(64)x^6-(147)/(8)x^4+(9)/(4)x^2.) **Шаг 3. Анализ полученного условия.** Итак, для всякой точки x, удовлетворяющей уравнению, неравенство равносильно -(x^2(49x^2-12)^2)/(64) 0. Но в левой части x^2 0 и (49x^2-12)^2 0, поэтому всё выражение 0 при любом x. Значит, неравенство может выполняться лишь при обращении левой части в нуль: x^2(49x^2-12)^2=0 x=0 или 49x^2=12, т.е. x=+-(2sqrt(3))/(7). Таким образом, всякое решение системы обязано лежать в множестве 0, (2sqrt(3))/(7), -(2sqrt(3))/(7). **Шаг 4. Отбор по уравнению.** Осталось проверить, какие из этих трёх чисел действительно удовлетворяют исходному уравнению 2^(x+2)=(49)/(4)x^2+4. - При x=0: левая часть 2^(2)=4, правая часть (49)/(4)* 0+4=4. Равенство выполнено, и из шага 3 при x=0 разность R-L=0 0 — неравенство тоже выполнено. Значит, x=0 — решение системы. - При x=(2sqrt(3))/(7)~ 0,4949: правая часть равна (49)/(4)*(12)/(49)+4=3+4=7, а левая 2^(2+23/7)~ 5,637!= 7. Уравнение не выполнено. - При x=-(2sqrt(3))/(7)~ -0,4949: правая часть та же 7, а левая 2^(2-23/7)~ 2,839!= 7. Уравнение не выполнено. Числа +-(2sqrt(3))/(7) корнями уравнения не являются, поэтому в множество решений системы не входят (они лишь обращали бы неравенство в равенство, но не лежат на кривой уравнения). **Вывод.** Единственная точка, удовлетворяющая одновременно уравнению и неравенству, — это x=0. x=0 Замечание. Само уравнение 2^(x+2)=(49)/(4)x^2+4 имеет три действительных корня: x=0, x~ 0,2469 и x~ 7,3973 (последние два трансцендентны). Однако приведённое рассуждение не требует их явного нахождения: подстановка связи из уравнения сразу показывает, что неравенство допускает лишь xin0,+- 23/7, а уравнению из них отвечает только x=0. Тем самым корни 0,2469 и 7,3973 автоматически отсеиваются неравенством.

\(0\)