Задача №18156

Решить систему

$$\{\begin{array}{l}{2}^{x+2}=\frac{49}{4}{x}^2+4,\\ 2^{x+2}-4⩽x^2\left(14-2^{x+2}\right)\cdot 2^x.\end{array}$$

Решаем систему

$$\{\begin{array}{l}{2}^{x+2}=\frac{49}{4}{x}^2+4,\\ 2^{x+2}-4⩽x^2\left(14-2^{x+2}\right)\cdot 2^x.\end{array}$$

Идея в том, чтобы не искать корни уравнения по отдельности (они трансцендентны и в явном виде не выписываются), а воспользоваться тем, что любое решение системы прежде всего удовлетворяет уравнению. Поэтому в неравенство можно подставить связь, задаваемую уравнением, и получить простое алгебраическое условие на $x\text{.}$

Шаг 1. Что даёт уравнение. Обозначим $t=2^{x+2}\text{.}$ Первое равенство означает

$$t=\frac{49}{4}{x}^2+4,\text{откуда}t-4=\frac{49}{4}{x}^2.$$

Кроме того, $2^{x+2}=4\cdot 2^x\text{,}$ поэтому на множестве решений уравнения

$$2^x=\frac{t}{4}=\frac{1}{4}\left(\frac{49}{4}{x}^2+4\right)=\frac{49x^2+16}{16}.$$

Это две точные подстановки, справедливые в любой точке, удовлетворяющей уравнению.

Шаг 2. Подстановка в неравенство. Перепишем неравенство в виде $R-L⩾0\text{,}$ где

$$L=2^{x+2}-4=t-4,R=x^2\left(14-2^{x+2}\right)\cdot 2^x=x^2(14-t)\cdot \frac{t}{4}.$$

Подставляя $t=\frac{49}{4}{x}^2+4$ (а значит и $t-4=\frac{49}{4}{x}^2$), вычислим разность $R-L$ как функцию одной переменной $x\text{:}$

$$R-L=x^2\left(14-t\right)\frac{t}{4}-(t-4).$$

После раскрытия скобок и приведения подобных получается компактное выражение

$$R-L=-\frac{2401}{64}{x}^6+\frac{147}{8}{x}^4-\frac{9}{4}{x}^2=-\frac{x^2{\left(49x^2-12\right)}^2}{64}.$$

(Множитель проверяется прямым раскрытием: $\frac{x^2(49x^2-12{)}^2}{64}=\frac{2401}{64}{x}^6-\frac{147}{8}{x}^4+\frac{9}{4}{x}^2\text{.}$)

Шаг 3. Анализ полученного условия. Итак, для всякой точки $x\text{,}$ удовлетворяющей уравнению, неравенство равносильно

$$-\frac{x^2{\left(49x^2-12\right)}^2}{64}⩾0.$$

Но в левой части $x^2⩾0$ и ${\left(49x^2-12\right)}^2⩾0\text{,}$ поэтому всё выражение $⩽0$ при любом $x\text{.}$ Значит, неравенство может выполняться лишь при обращении левой части в нуль:

$$x^2{\left(49x^2-12\right)}^2=0⟺x=0\text{или}49x^2=12,\text{т.е.}x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{7}.$$

Таким образом, всякое решение системы обязано лежать в множестве $\left\{0,\frac{2\sqrt{3}}{7},-\frac{2\sqrt{3}}{7}\right\}\text{.}$

Шаг 4. Отбор по уравнению. Осталось проверить, какие из этих трёх чисел действительно удовлетворяют исходному уравнению $2^{x+2}=\frac{49}{4}{x}^2+4\text{.}$

• При $x=0\text{:}$ левая часть $2^2=4\text{,}$ правая часть $\frac{49}{4}\cdot 0+4=4\text{.}$ Равенство выполнено, и из шага 3 при $x=0$ разность $R-L=0⩾0$ — неравенство тоже выполнено. Значит, $x=0$ — решение системы.
• При $x=\frac{2\sqrt{3}}{7}\approx 0,4949\text{:}$ правая часть равна $\frac{49}{4}\cdot \frac{12}{49}+4=3+4=7\text{,}$ а левая $2^{2+2\sqrt{3}/7}\approx 5,637\ne 7\text{.}$ Уравнение не выполнено.
• При $x=-\frac{2\sqrt{3}}{7}\approx -0,4949\text{:}$ правая часть та же $7\text{,}$ а левая $2^{2-2\sqrt{3}/7}\approx 2,839\ne 7\text{.}$ Уравнение не выполнено.

Числа $\pm \frac{2\sqrt{3}}{7}$ корнями уравнения не являются, поэтому в множество решений системы не входят (они лишь обращали бы неравенство в равенство, но не лежат на кривой уравнения).

Вывод. Единственная точка, удовлетворяющая одновременно уравнению и неравенству, — это $x=0\text{.}$

$$\boxed{x=0}$$

Замечание. Само уравнение $2^{x+2}=\frac{49}{4}{x}^2+4$ имеет три действительных корня: $x=0\text{,}$ $x\approx 0,2469$ и $x\approx 7,3973$ (последние два трансцендентны). Однако приведённое рассуждение не требует их явного нахождения: подстановка связи из уравнения сразу показывает, что неравенство допускает лишь $x\in \{0,\pm 2\sqrt{3}/7\}\text{,}$ а уравнению из них отвечает только $x=0\text{.}$ Тем самым корни $0,2469$ и $7,3973$ автоматически отсеиваются неравенством.