Известно, что для некоторой тройки чисел x, y, z (x!= y) выражения _((x^5y^2z))(([3]x^2y)/(z)) и _((x^2y^5z))((sqrt(xy))/(z)) равны одному и тому же числу. Найти это число.

Обозначим логарифмы по натуральному основанию: a=ln x, b=ln y, c=ln z. Чтобы оба выражения имели смысл, требуется, чтобы основания x^5y^2z и x^2y^5z были положительны и не равны единице, а аргументы ([3]x^2y)/(z) и (sqrt(xy))/(z) — положительны. В частности x>0, y>0, z>0, поэтому величины a,b,c определены, а условие «основание != 1» означает, что показатель основания не равен нулю: 5a+2b+c!= 0 и 2a+5b+c!= 0. Перепишем оба логарифма через a,b,c, используя _(B)A=(ln A)/(ln B): _((x^5y^2z))(([3]x^2y)/(z))=(13(2a+b)-c)/(5a+2b+c), _((x^2y^5z))((sqrt(xy))/(z))=(12(a+b)-c)/(2a+5b+c). По условию оба выражения равны одному и тому же числу t. Значит, (13(2a+b)-c)/(5a+2b+c)=t, (12(a+b)-c)/(2a+5b+c)=t. Так как знаменатели отличны от нуля, домножим на них: 13(2a+b)-c=t(5a+2b+c), 12(a+b)-c=t(2a+5b+c). Это два линейных уравнения относительно a,b,c. Вычтем второе из первого. Свободные члены с c (а именно -c слева и -tc справа) одинаковы в обоих уравнениях и при вычитании сокращаются: (13(2a+b)-12(a+b))=t((5a+2b)-(2a+5b)). Раскроем скобки слева: (2a+b)/(3)-(a+b)/(2)=(2(2a+b)-3(a+b))/(6)=(a-b)/(6), а справа (5a+2b)-(2a+5b)=3a-3b=3(a-b). Получаем (a-b)/(6)=t* 3(a-b), то есть (a-b)(16-3t)=0. По условию x!= y, а так как логарифм — функция строго монотонная, из x!= y следует ln x!=ln y, то есть a!= b. Значит, множитель a-b отличен от нуля, и его можно сократить: 16-3t=0 t=(1)/(18). Покажем, что такое значение действительно достижимо (то есть существует тройка x!= y, удовлетворяющая обоим равенствам). Подставив t=(1)/(18) в любое из двух исходных уравнений, после приведения подобных оба уравнения превращаются в одно и то же условие (7a)/(18)+(2b)/(9)-(19c)/(18)=0 c=(7a+4b)/(19). Здесь a и b можно выбирать произвольно (лишь бы a!= b и оба основания не обратились в единицу). Например, при a=2, b=1 получаем c=(18)/(19), то есть x=e^2, y=e, z=e^(18/19); тогда x!= y, основания x^5y^2z=e^(418/19) и x^2y^5z=e^(171/19) положительны и отличны от единицы, аргументы положительны, и непосредственная подстановка даёт для обоих выражений значение (1)/(18). Таким образом, искомое общее значение равно (1)/(18).

\(\frac{1}{18}\)