Задача №18157

Известно, что для некоторой тройки чисел $x\text{,}$ $y\text{,}$ $z$ ($x\ne y$) выражения

$${\log }_{(x^5{y}^{2}z)}\left(\frac{\sqrt[3]{x^{2}y}}{z}\right)\text{и}{\log }_{(x^2{y}^{5}z)}\left(\frac{\sqrt{xy}}{z}\right)$$

равны одному и тому же числу. Найти это число.

Обозначим логарифмы по натуральному основанию: $a=\ln x\text{,}$ $b=\ln y\text{,}$ $c=\ln z\text{.}$ Чтобы оба выражения имели смысл, требуется, чтобы основания $x^5{y}^{2}z$ и $x^2{y}^{5}z$ были положительны и не равны единице, а аргументы $\frac{\sqrt[3]{x^{2}y}}{z}$ и $\frac{\sqrt{xy}}{z}$ — положительны. В частности $x>0\text{,}$ $y>0\text{,}$ $z>0\text{,}$ поэтому величины $a,b,c$ определены, а условие «основание $\ne 1$» означает, что показатель основания не равен нулю: $5a+2b+c\ne 0$ и $2a+5b+c\ne 0\text{.}$

Перепишем оба логарифма через $a,b,c\text{,}$ используя ${\log }_{B}A=\frac{\ln A}{\ln B}\text{:}$

$${\log }_{(x^5{y}^{2}z)}\left(\frac{\sqrt[3]{x^{2}y}}{z}\right)=\frac{\frac{1}{3}(2a+b)-c}{5a+2b+c},{\log }_{(x^2{y}^{5}z)}\left(\frac{\sqrt{xy}}{z}\right)=\frac{\frac{1}{2}(a+b)-c}{2a+5b+c}.$$

По условию оба выражения равны одному и тому же числу $t\text{.}$ Значит,

$$\frac{\frac{1}{3}(2a+b)-c}{5a+2b+c}=t,\frac{\frac{1}{2}(a+b)-c}{2a+5b+c}=t.$$

Так как знаменатели отличны от нуля, домножим на них:

$$\frac{1}{3}(2a+b)-c=t(5a+2b+c),\frac{1}{2}(a+b)-c=t(2a+5b+c).$$

Это два линейных уравнения относительно $a,b,c\text{.}$ Вычтем второе из первого. Свободные члены с $c$ (а именно $-c$ слева и $-tc$ справа) одинаковы в обоих уравнениях и при вычитании сокращаются:

$$\left(\frac{1}{3}(2a+b)-\frac{1}{2}(a+b)\right)=t((5a+2b)-(2a+5b)).$$

Раскроем скобки слева:

$$\frac{2a+b}{3}-\frac{a+b}{2}=\frac{2(2a+b)-3(a+b)}{6}=\frac{a-b}{6},$$

а справа $(5a+2b)-(2a+5b)=3a-3b=3(a-b)\text{.}$ Получаем

$$\frac{a-b}{6}=t\cdot 3(a-b),\text{то есть}(a-b)\left(\frac{1}{6}-3t\right)=0.$$

По условию $x\ne y\text{,}$ а так как логарифм — функция строго монотонная, из $x\ne y$ следует $\ln x\ne \ln y\text{,}$ то есть $a\ne b\text{.}$ Значит, множитель $a-b$ отличен от нуля, и его можно сократить:

$$\frac{1}{6}-3t=0⟹t=\frac{1}{18}.$$

Покажем, что такое значение действительно достижимо (то есть существует тройка $x\ne y\text{,}$ удовлетворяющая обоим равенствам). Подставив $t=\frac{1}{18}$ в любое из двух исходных уравнений, после приведения подобных оба уравнения превращаются в одно и то же условие

$$\frac{7a}{18}+\frac{2b}{9}-\frac{19c}{18}=0⟺c=\frac{7a+4b}{19}.$$

Здесь $a$ и $b$ можно выбирать произвольно (лишь бы $a\ne b$ и оба основания не обратились в единицу). Например, при $a=2,b=1$ получаем $c=\frac{18}{19}\text{,}$ то есть $x=e^2,y=e,z=e^{18/19}\text{;}$ тогда $x\ne y\text{,}$ основания $x^5{y}^{2}z=e^{418/19}$ и $x^2{y}^{5}z=e^{171/19}$ положительны и отличны от единицы, аргументы положительны, и непосредственная подстановка даёт для обоих выражений значение $\frac{1}{18}\text{.}$

Таким образом, искомое общее значение равно $\boxed{\frac{1}{18}}\text{.}$