Решить уравнение [8](1+cos 4x)/(1-cos 4x)+[3]tg((9pi)/(2)-2x)=0.

Преобразуем подкоренные выражения и найдём область определения. **Первое слагаемое.** По формулам двойного угла 1+cos 4x=2cos^2 2x и 1-cos 4x=2sin^2 2x , поэтому (1+cos 4x)/(1-cos 4x)=(2cos^2 2x)/(2sin^2 2x)=ctg^2 2x . Дробь определена при 1-cos 4x!= 0 , то есть при sin 2x!= 0 . Подкоренное выражение корня восьмой (чётной) степени неотрицательно автоматически, так как ctg^2 2x 0 . При этом [8](1+cos 4x)/(1-cos 4x)=[8]ctg^2 2x=(ctg^2 2x)^(1/8)=|ctg 2x|^(1/4) 0 . **Второе слагаемое.** Так как (9pi)/(2)=4pi+(pi)/(2) , период тангенса равен pi , и по формуле дополнения tg((9pi)/(2)-2x)=tg((pi)/(2)-2x)=ctg 2x . Этот тангенс определён, когда cos((9pi)/(2)-2x)=sin 2x!= 0 — то же самое условие. Корень кубический (нечётной степени) извлекается из любого действительного числа, причём [3]ctg2x имеет тот же знак, что и ctg2x . **Область определения** всего уравнения: sin 2x!= 0 , то есть x!= (pi m)/(2), minZ . **Сведение к одной переменной.** Обозначим t=ctg 2x (любое действительное число, так как sin 2x!= 0 ). Поскольку [8]t^2=|t|^(1/4) и [3]t=sign(t)|t|^(1/3) , уравнение принимает вид |t|^(1/4)+[3]t=0 . Здесь первое слагаемое неотрицательно. Сумма неотрицательного числа и [3]t равна нулю только тогда, когда [3]t 0 , то есть t 0 . Рассмотрим случаи. 1) Если t=0 , то оба слагаемых равны нулю, и равенство выполнено. 2) Если t<0 , то |t|^(1/4)>0 и [3]t=-|t|^(1/3) , и уравнение даёт |t|^(1/4)-|t|^(1/3)=0 |t|^(1/4)=|t|^(1/3). При |t|>0 логарифмируя (или возводя в 12-ю степень) получаем |t|^(3)=|t|^(4) , то есть |t|=1 . Учитывая t<0 , имеем t=-1 . 3) Если t>0 , то оба слагаемых строго положительны, и сумма больше нуля — решений нет. Итак, ровно два значения: t=ctg 2x=0 и t=ctg 2x=-1 . **Возврат к переменной x .** Из ctg 2x=0 следует cos 2x=0 , то есть 2x=(pi)/(2)+pi k , откуда x=(pi)/(4)+(pi k)/(2), kinZ. Здесь sin 2x=+- 1!= 0 — все эти точки входят в область определения. Из ctg 2x=-1 следует tg 2x=-1 , то есть 2x=-(pi)/(4)+pi n , откуда x=-(pi)/(8)+(pi n)/(2), ninZ. Здесь sin 2x=+-(2)/(2)!= 0 — эти точки также допустимы. Проверка для второй серии: ctg2x=-1 даёт [8]ctg^2 2x=[8]1=1 и [3]ctg2x=[3]-1=-1 , сумма 1+(-1)=0 . Для первой серии ctg2x=0 даёт 0+0=0 . Обе серии удовлетворяют уравнению, посторонних корней нет. **Ответ:** x=(pi)/(4)+(pi k)/(2), x=-(pi)/(8)+(pi n)/(2), k,ninZ.

\(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\ -\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n,k\in\mathbb{Z}\)