Задача №18155

Решить уравнение

$$\sqrt[8]{\frac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x}}+\sqrt[3]{\mathrm{tg}\left(\frac{9\pi }{2}-2x\right)}=0.$$

Преобразуем подкоренные выражения и найдём область определения.

Первое слагаемое. По формулам двойного угла $1+\cos 4x=2{\cos }^{2}2x$ и $1-\cos 4x=2{\sin }^{2}2x\text{,}$ поэтому

$$\frac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x}=\frac{2{\cos }^{2}2x}{2{\sin }^{2}2x}={\mathrm{ctg}}^{2}2x.$$

Дробь определена при $1-\cos 4x\ne 0\text{,}$ то есть при $\sin 2x\ne 0\text{.}$ Подкоренное выражение корня восьмой (чётной) степени неотрицательно автоматически, так как ${\mathrm{ctg}}^{2}2x⩾0\text{.}$ При этом

$$\sqrt[8]{\frac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x}}=\sqrt[8]{{\mathrm{ctg}}^{2}2x}=({\mathrm{ctg}}^{2}2x{)}^{1/8}={\left|\mathrm{ctg}2x\right|}^{1/4}⩾0.$$

Второе слагаемое. Так как $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}\text{,}$ период тангенса равен $\pi \text{,}$ и по формуле дополнения

$$\mathrm{tg}\left(\frac{9\pi }{2}-2x\right)=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\mathrm{ctg}2x.$$

Этот тангенс определён, когда $\cos \left(\frac{9\pi }{2}-2x\right)=\sin 2x\ne 0$ — то же самое условие. Корень кубический (нечётной степени) извлекается из любого действительного числа, причём $\sqrt[3]{\mathrm{ctg}2x}$ имеет тот же знак, что и $\mathrm{ctg}2x\text{.}$

Область определения всего уравнения: $\sin 2x\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne \frac{\pi m}{2},m\in \mathbb{Z}\text{.}$

Сведение к одной переменной. Обозначим $t=\mathrm{ctg}2x$ (любое действительное число, так как $\sin 2x\ne 0$). Поскольку $\sqrt[8]{t^2}=|t{|}^{1/4}$ и $\sqrt[3]{t}=\mathrm{sign}(t)|t{|}^{1/3}\text{,}$ уравнение принимает вид

$$|t{|}^{1/4}+\sqrt[3]{t}=0.$$

Здесь первое слагаемое неотрицательно. Сумма неотрицательного числа и $\sqrt[3]{t}$ равна нулю только тогда, когда $\sqrt[3]{t}⩽0\text{,}$ то есть $t⩽0\text{.}$

Рассмотрим случаи.

1) Если $t=0\text{,}$ то оба слагаемых равны нулю, и равенство выполнено.

2) Если $t<0\text{,}$ то $|t{|}^{1/4}>0$ и $\sqrt[3]{t}=-|t{|}^{1/3}\text{,}$ и уравнение даёт

$$|t{|}^{1/4}-|t{|}^{1/3}=0⟺|t{|}^{1/4}=|t{|}^{1/3}.$$

При $|t|>0$ логарифмируя (или возводя в 12-ю степень) получаем $|t{|}^3=|t{|}^4\text{,}$ то есть $|t|=1\text{.}$ Учитывая $t<0\text{,}$ имеем $t=-1\text{.}$

3) Если $t>0\text{,}$ то оба слагаемых строго положительны, и сумма больше нуля — решений нет.

Итак, ровно два значения: $t=\mathrm{ctg}2x=0$ и $t=\mathrm{ctg}2x=-1\text{.}$

Возврат к переменной $x\text{.}$

Из $\mathrm{ctg}2x=0$ следует $\cos 2x=0\text{,}$ то есть $2x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{,}$ откуда

$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}.$$

Здесь $\sin 2x=\pm 1\ne 0$ — все эти точки входят в область определения.

Из $\mathrm{ctg}2x=-1$ следует $\mathrm{tg}2x=-1\text{,}$ то есть $2x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\text{,}$ откуда

$$x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}.$$

Здесь $\sin 2x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0$ — эти точки также допустимы.

Проверка для второй серии: $\mathrm{ctg}2x=-1$ даёт $\sqrt[8]{{\mathrm{ctg}}^{2}2x}=\sqrt[8]{1}=1$ и $\sqrt[3]{\mathrm{ctg}2x}=\sqrt[3]{-1}=-1\text{,}$ сумма $1+(-1)=0\text{.}$ Для первой серии $\mathrm{ctg}2x=0$ даёт $0+0=0\text{.}$ Обе серии удовлетворяют уравнению, посторонних корней нет.

Ответ:

$$\boxed{x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2},k,n\in \mathbb{Z}.}$$