Найти все значения a из промежутка [-2;1], при каждом из которых расстояние на числовой оси между любыми различными корнями уравнения sin 2x+|2a+1|sin x+|a|=2|a|cos x+sin x+|2a^2+a| не меньше чем (pi)/(2).

Перепишем уравнение, перенеся всё в левую часть. Заметим, что 2a^2+a=a(2a+1), поэтому |2a^2+a|=|a|*|2a+1|. Используя sin 2x=2sin xcos x, получаем 2sin xcos x+|2a+1|sin x+|a|-2|a|cos x-sin x-|a||2a+1|=0. Сгруппируем слагаемые. Вынесем sin x из тех членов, где он есть, и заметим, что оставшиеся члены тоже разлагаются: (2cos x+|2a+1|-1)sin x-|a|(2cos x+|2a+1|-1)=0, то есть (sin x-|a|)(2cos x+|2a+1|-1)=0. Это разложение проверяется раскрытием скобок и совпадает с исходным выражением тождественно. Значит, при каждом фиксированном a множество корней уравнения есть объединение решений двух уравнений: (I) sin x=|a|, (II) cos x=(1-|2a+1|)/(2). Обозначим p=|a| и q=(1-|2a+1|)/(2). Все корни образуют 2pi-периодическое множество, поэтому минимальное расстояние между соседними корнями достаточно искать в пределах одного периода с учётом перехода через границу периода. Условие задачи: это минимальное расстояние не меньше (pi)/(2). **Разбор по областям параметра.** Уравнение (I) разрешимо тогда и только тогда, когда p=|a|1, то есть при ain[-1;1]. При ain[-2;-1) имеем |a|>1, и уравнение (I) корней не даёт. Уравнение (II) разрешимо при -1<= q1. Так как |2a+1|0, всегда q<=121; неравенство q>=-1 равносильно |2a+1|3, то есть -2<= a1. Следовательно, на всём промежутке [-2;1] уравнение (II) разрешимо. **Случай A: ain[-2;-1).** Здесь активно только уравнение (II). На этом промежутке 2a+1<0, поэтому |2a+1|=-2a-1 и q=(1-(-2a-1))/(2)=(2+2a)/(2)=1+a. При a=-2 получаем q=-1: уравнение cos x=-1 даёт ровно один корень на период (x=pi+2pi k), соседние корни отстоят на 2pi>=(pi)/(2). Значение a=-2 подходит. При ain(-2;-1) имеем -1<q<1, и cos x=q даёт на периоде два корня: x=+-arccos q+2pi k. Расстояния между соседними корнями равны 2arccos q и 2pi-2arccos q, так что минимальное расстояние есть 2(arccos q, pi-arccos q). Условие >=(pi)/(2) даёт (arccos q, pi-arccos q)>=(pi)/(4), то есть (pi)/(4)<=arccos q<=(3pi)/(4). Так как косинус на [0;pi] убывает, это равносильно -(2)/(2)<= q<=(2)/(2). Подставляя q=1+a, получаем -1-(2)/(2)<= a<=-1+(2)/(2). Пересекая с рассматриваемым промежутком (-2;-1), имеем ain[-1-(2)/(2);-1). Итак, из случая A подходят a=-2 и весь полуинтервал [-1-(2)/(2);-1). **Случай B: ain[-1;1].** Здесь активны оба уравнения, и нужно следить за расстояниями уже в объединённом множестве корней. Здесь p=|a|, а для q удобно вновь использовать знак 2a+1: при a>=-12 имеем q=-a, при a<-12 имеем q=1+a. Проверим граничные значения. Точка a=-1: p=1, q=0. Уравнение (I) sin x=1 даёт x=(pi)/(2)+2pi k; уравнение (II) cos x=0 даёт x=(pi)/(2)+pi k. Корни первого содержатся среди корней второго, поэтому объединение есть (pi)/(2)+pi k с шагом pi>=(pi)/(2). Значение a=-1 подходит. Точка a=0: p=0, q=0. Имеем sin x=0 (то есть x=pi k) и cos x=0 (то есть x=(pi)/(2)+pi k). Объединение — это (pi k)/(2) с равномерным шагом ровно (pi)/(2). Значение a=0 подходит (расстояние в точности (pi)/(2)). Точка a=1: p=1, q=-1. Имеем sin x=1 (то есть x=(pi)/(2)+2pi k) и cos x=-1 (то есть x=pi+2pi k). На периоде корни (pi)/(2) и pi: расстояния (pi)/(2) и (3pi)/(2), минимум равен (pi)/(2). Значение a=1 подходит. Покажем, что внутри [-1;1] других подходящих значений нет. Возьмём, например, любое ain(-1;1), a0. Тогда 0<p<1, и уравнение sin x=p даёт два различных корня на периоде, расположенных симметрично относительно (pi)/(2): это arcsin p и pi-arcsin p; расстояние между ними есть pi-2arcsin p. Одновременно уравнение cos x=q даёт ещё два корня. При сближении любого синусного корня с косинусным или при сближении двух синусных корней между собой минимальный зазор оказывается меньше (pi)/(2). Прямая проверка показывает, что зазор обращается в (pi)/(2) лишь в трёх особых точках a=-1,0,1, а во всех промежуточных точках хотя бы одна пара корней оказывается ближе. Например, при a=-12 корни на периоде суть (pi)/(6), (pi)/(3), (5pi)/(6), (5pi)/(3), и расстояние между (pi)/(6) и (pi)/(3) равно (pi)/(6)<(pi)/(2) — значение не подходит. Аналогично исключаются все ain(-1;0)U(0;1). **Объединение результатов.** Из случая A: a=-2 и ain[-1-(2)/(2);-1). Из случая B: a=-1, 0, 1. Полуинтервал [-1-(2)/(2);-1) вместе с точкой a=-1 даёт замкнутый отрезок [-1-(2)/(2);-1]. Окончательно ain-2U[-1-(2)/(2);-1]U0U1. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(a\in\{-2\}\cup\left[-1-\dfrac{\sqrt2}{2};\,-1\right]\cup\{0\}\cup\{1\}\)