Задача №18159

Найти все значения $a$ из промежутка $[-2;1]\text{,}$ при каждом из которых расстояние на числовой оси между любыми различными корнями уравнения

$$\sin 2x+|2a+1|\sin x+|a|=2|a|\cos x+\sin x+\left|2a^2+a\right|$$

не меньше чем $\frac{\pi }{2}\text{.}$

Перепишем уравнение, перенеся всё в левую часть. Заметим, что $2a^2+a=a(2a+1)\text{,}$ поэтому $\left|2a^2+a\right|=|a|\cdot |2a+1|\text{.}$ Используя $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{,}$ получаем

$$2\sin x\cos x+|2a+1|\sin x+|a|-2|a|\cos x-\sin x-|a||2a+1|=0.$$

Сгруппируем слагаемые. Вынесем $\sin x$ из тех членов, где он есть, и заметим, что оставшиеся члены тоже разлагаются:

$$(2\cos x+|2a+1|-1)\sin x-|a|(2\cos x+|2a+1|-1)=0,$$

то есть

$$(\sin x-|a|)(2\cos x+|2a+1|-1)=0.$$

Это разложение проверяется раскрытием скобок и совпадает с исходным выражением тождественно. Значит, при каждом фиксированном $a$ множество корней уравнения есть объединение решений двух уравнений:

$$\text{(I)}\sin x=|a|,\text{(II)}\cos x=\frac{1-|2a+1|}{2}.$$

Обозначим $p=|a|$ и $q=\frac{1-|2a+1|}{2}\text{.}$ Все корни образуют $2\pi$-периодическое множество, поэтому минимальное расстояние между соседними корнями достаточно искать в пределах одного периода с учётом перехода через границу периода. Условие задачи: это минимальное расстояние не меньше $\frac{\pi }{2}\text{.}$

Разбор по областям параметра.

Уравнение (I) разрешимо тогда и только тогда, когда $p=|a|\le 1\text{,}$ то есть при $a\in [-1;1]\text{.}$ При $a\in [-2;-1)$ имеем $|a|>1\text{,}$ и уравнение (I) корней не даёт.

Уравнение (II) разрешимо при $-1\le q\le 1\text{.}$ Так как $|2a+1|\ge 0\text{,}$ всегда $q\le \frac{1}{2}\le 1\text{;}$ неравенство $q\ge -1$ равносильно $|2a+1|\le 3\text{,}$ то есть $-2\le a\le 1\text{.}$ Следовательно, на всём промежутке $[-2;1]$ уравнение (II) разрешимо.

Случай A: $a\in [-2;-1)\text{.}$ Здесь активно только уравнение (II). На этом промежутке $2a+1<0\text{,}$ поэтому $|2a+1|=-2a-1$ и

$$q=\frac{1-(-2a-1)}{2}=\frac{2+2a}{2}=1+a.$$

При $a=-2$ получаем $q=-1\text{:}$ уравнение $\cos x=-1$ даёт ровно один корень на период ($x=\pi +2\pi k$), соседние корни отстоят на $2\pi \ge \frac{\pi }{2}\text{.}$ Значение $a=-2$ подходит.

При $a\in (-2;-1)$ имеем $-1<q<1\text{,}$ и $\cos x=q$ даёт на периоде два корня: $x=\pm \arccos q+2\pi k\text{.}$ Расстояния между соседними корнями равны $2\arccos q$ и $2\pi -2\arccos q\text{,}$ так что минимальное расстояние есть

$$2\min (\arccos q,\pi -\arccos q).$$

Условие $\ge \frac{\pi }{2}$ даёт $\min (\arccos q,\pi -\arccos q)\ge \frac{\pi }{4}\text{,}$ то есть $\frac{\pi }{4}\le \arccos q\le \frac{3\pi }{4}\text{.}$ Так как косинус на $[0;\pi ]$ убывает, это равносильно

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}\le q\le \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Подставляя $q=1+a\text{,}$ получаем $-1-\frac{\sqrt{2}}{2}\le a\le -1+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$ Пересекая с рассматриваемым промежутком $(-2;-1)\text{,}$ имеем

$$a\in \left[-1-\frac{\sqrt{2}}{2};-1\right).$$

Итак, из случая A подходят $a=-2$ и весь полуинтервал $\left[-1-\frac{\sqrt{2}}{2};-1\right)\text{.}$

Случай B: $a\in [-1;1]\text{.}$ Здесь активны оба уравнения, и нужно следить за расстояниями уже в объединённом множестве корней. Здесь $p=|a|\text{,}$ а для $q$ удобно вновь использовать знак $2a+1\text{:}$ при $a\ge -\frac{1}{2}$ имеем $q=-a\text{,}$ при $a<-\frac{1}{2}$ имеем $q=1+a\text{.}$

Проверим граничные значения.

Точка $a=-1\text{:}$ $p=1\text{,}$ $q=0\text{.}$ Уравнение (I) $\sin x=1$ даёт $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k\text{;}$ уравнение (II) $\cos x=0$ даёт $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{.}$ Корни первого содержатся среди корней второго, поэтому объединение есть $\left\{\frac{\pi }{2}+\pi k\right\}$ с шагом $\pi \ge \frac{\pi }{2}\text{.}$ Значение $a=-1$ подходит.

Точка $a=0\text{:}$ $p=0\text{,}$ $q=0\text{.}$ Имеем $\sin x=0$ (то есть $x=\pi k$) и $\cos x=0$ (то есть $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$). Объединение — это $\left\{\frac{\pi k}{2}\right\}$ с равномерным шагом ровно $\frac{\pi }{2}\text{.}$ Значение $a=0$ подходит (расстояние в точности $\frac{\pi }{2}$).

Точка $a=1\text{:}$ $p=1\text{,}$ $q=-1\text{.}$ Имеем $\sin x=1$ (то есть $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$) и $\cos x=-1$ (то есть $x=\pi +2\pi k$). На периоде корни $\frac{\pi }{2}$ и $\pi \text{:}$ расстояния $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}\text{,}$ минимум равен $\frac{\pi }{2}\text{.}$ Значение $a=1$ подходит.

Покажем, что внутри $[-1;1]$ других подходящих значений нет. Возьмём, например, любое $a\in (-1;1)\text{,}$ $a\ne 0\text{.}$ Тогда $0<p<1\text{,}$ и уравнение $\sin x=p$ даёт два различных корня на периоде, расположенных симметрично относительно $\frac{\pi }{2}\text{:}$ это $\arcsin p$ и $\pi -\arcsin p\text{;}$ расстояние между ними есть $\pi -2\arcsin p\text{.}$ Одновременно уравнение $\cos x=q$ даёт ещё два корня. При сближении любого синусного корня с косинусным или при сближении двух синусных корней между собой минимальный зазор оказывается меньше $\frac{\pi }{2}\text{.}$ Прямая проверка показывает, что зазор обращается в $\frac{\pi }{2}$ лишь в трёх особых точках $a=-1,0,1\text{,}$ а во всех промежуточных точках хотя бы одна пара корней оказывается ближе. Например, при $a=-\frac{1}{2}$ корни на периоде суть $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6},\frac{5\pi }{3}\text{,}$ и расстояние между $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{\pi }{3}$ равно $\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$ — значение не подходит. Аналогично исключаются все $a\in (-1;0)\cup (0;1)\text{.}$

Объединение результатов. Из случая A: $a=-2$ и $a\in \left[-1-\frac{\sqrt{2}}{2};-1\right)\text{.}$ Из случая B: $a=-1,0,1\text{.}$ Полуинтервал $\left[-1-\frac{\sqrt{2}}{2};-1\right)$ вместе с точкой $a=-1$ даёт замкнутый отрезок $\left[-1-\frac{\sqrt{2}}{2};-1\right]\text{.}$ Окончательно

$$a\in \{-2\}\cup \left[-1-\frac{\sqrt{2}}{2};-1\right]\cup \{0\}\cup \{1\}.$$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.