58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Te39,Требуется решить неравенство \[3\sqrt{|x+1|-3}\geqslant\sqrt{x^2-2x-3}.\] **Область допустимых значений.** Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны. Первое условие: \(|x+1|-3\geqslant 0\), то есть \(|x+1|\geqslant 3\). Это равносильно совокупности \(x+1\geqslant 3\) или \(x+1\leqslant -3\), то есть \[x\geqslant 2\quad\text{или}\quad x\leqslant -4.\] Второе условие: \(x^2-2x-3\geqslant 0\). Так как \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\), получаем \[x\geqslant 3\quad\text{или}\quad x\leqslant -1.\] Пересекая оба условия, найдём ОДЗ. На луче \(x\geqslant 2\) второе условие даёт \(x\geqslant 3\) (промежуток \([2;3)\) выпадает, ибо там \(x^2-2x-3<0\)). На луче \(x\leqslant -4\) второе условие \(x\leqslant -1\) выполнено автоматически. Итак, \[\text{ОДЗ:}\quad x\leqslant -4\quad\text{или}\quad x\geqslant 3.\] На всей ОДЗ обе части неравенства определены и неотрицательны, поэтому неравенство равносильно неравенству для квадратов: \[9\bigl(|x+1|-3\bigr)\geqslant x^2-2x-3.\] Раскроем модуль по двум ветвям ОДЗ. **Ветвь 1: \(x\geqslant 3\).** Здесь \(x+1>0\), значит \(|x+1|=x+1\) и \(|x+1|-3=x-2\). Неравенство для квадратов принимает вид \[9(x-2)\geqslant x^2-2x-3,\] \[9x-18\geqslant x^2-2x-3,\] \[0\geqslant x^2-11x+15,\qquad\text{т.е.}\qquad x^2-11x+15\leqslant 0.\] Корни трёхчлена \(x^2-11x+15\) равны \[x_{1,2}=\dfrac{11\pm\sqrt{121-60}}{2}=\dfrac{11\pm\sqrt{61}}{2}.\] Так как старший коэффициент положителен, неравенство \(x^2-11x+15\leqslant 0\) выполнено между корнями: \[\dfrac{11-\sqrt{61}}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{11+\sqrt{61}}{2}.\] Численно \(\dfrac{11-\sqrt{61}}{2}\approx 1{,}59\) и \(\dfrac{11+\sqrt{61}}{2}\approx 9{,}41\). Левый корень меньше \(3\), поэтому пересечение с условием ветви \(x\geqslant 3\) даёт \[3\leqslant x\leqslant\dfrac{11+\sqrt{61}}{2}.\] **Ветвь 2: \(x\leqslant -4\).** Здесь \(x+1<0\), значит \(|x+1|=-(x+1)=-x-1\) и \(|x+1|-3=-x-4\). Неравенство для квадратов: \[9(-x-4)\geqslant x^2-2x-3,\] \[-9x-36\geqslant x^2-2x-3,\] \[0\geqslant x^2+7x+33.\] Дискриминант трёхчлена \(x^2+7x+33\) равен \(49-132=-83<0\), поэтому \(x^2+7x+33>0\) при всех \(x\). Неравенство \(0\geqslant x^2+7x+33\) не выполняется ни при каком \(x\) — на этой ветви решений нет. **Проверка концов отрезка.** При \(x=3\): левая часть \(3\sqrt{|4|-3}=3\sqrt{1}=3\), правая \(\sqrt{9-6-3}=0\); неравенство \(3\geqslant 0\) верно, точка включается. При \(x=\dfrac{11+\sqrt{61}}{2}\) по построению достигается равенство квадратов \(9(x-2)=x^2-2x-3\), значит и равенство исходных частей; неравенство нестрогое — точка включается. Обе точки лежат в ОДЗ. **Ответ.** \[\boxed{\,x\in\left[\,3;\ \dfrac{11+\sqrt{61}}{2}\,\right]\,}\]5c:T175b,Рассмотрим неравенство \[\log_{\frac{2x+2}{5x-1}}\left(10x^2+x-2\right)\leqslant 0.\] **Область определения.** Обозначим основание \(b=\dfrac{2x+2}{5x-1}\) и аргумент \(A=10x^2+x-2\). Чтобы логарифм был определён, нужно выполнение трёх условий: \(b>0\), \(b\neq 1\) и \(A>0\). Разложим оба выражения на множители: \[A=10x^2+x-2=(2x+1)(5x-2),\qquad b=\dfrac{2x+2}{5x-1}=\dfrac{2(x+1)}{5x-1}.\] Условие \(A>0\). Парабола \((2x+1)(5x-2)\) положительна вне корней \(x=-\dfrac12\) и \(x=\dfrac25\), то есть \[A>0\iff x<-\dfrac12\ \text{ или }\ x>\dfrac25.\] Условие \(b>0\). Дробь \(\dfrac{2(x+1)}{5x-1}\) положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Корни числителя и знаменателя — это \(x=-1\) и \(x=\dfrac15\); по методу интервалов \[b>0\iff x<-1\ \text{ или }\ x>\dfrac15.\] Условие \(b\neq 1\). Имеем \(\dfrac{2x+2}{5x-1}=1\iff 2x+2=5x-1\iff x=1\), поэтому точку \(x=1\) исключаем. Пересечём множества \(\{A>0\}\) и \(\{b>0\}\) и выбросим \(x=1\). На участке \(x<-1\) оба условия выполнены (там и \(x<-\tfrac12\), и \(x<-1\)). Промежуток \(-10\)); промежуток \(\tfrac150\)). При \(x>\dfrac25\) выполнены оба условия. Итог — область определения \[D=(-\infty;-1)\cup\left(\dfrac25;1\right)\cup(1;+\infty).\] **Сведение неравенства.** Для логарифма с положительным основанием \(b\neq 1\) и положительным аргументом \(A>0\) знак \(\log_b A\) совпадает со знаком произведения \((b-1)(A-1)\). Действительно, \(\log_b A=\dfrac{\ln A}{\ln b}\); числитель \(\ln A\) имеет знак \(A-1\), знаменатель \(\ln b\) — знак \(b-1\), поэтому \[\log_b A\leqslant 0\iff \dfrac{\ln A}{\ln b}\leqslant 0\iff (A-1)(b-1)\leqslant 0\] (равенство нулю достигается лишь при \(A=1\), что отвечает \(\log_b A=0\); случай \(b=1\) уже исключён). Таким образом, на области определения исходное неравенство равносильно \[(b-1)(A-1)\leqslant 0.\] Вычислим множители. Аргумент: \[A-1=10x^2+x-3=(2x-1)(5x+3),\] так что \(A-1=0\) при \(x=\dfrac12\) и \(x=-\dfrac35\); внутри области определения значим только корень \(x=\dfrac12\) (точка \(x=-\tfrac35\) лежит вне \(D\)). Основание: \[b-1=\dfrac{2x+2}{5x-1}-1=\dfrac{(2x+2)-(5x-1)}{5x-1}=\dfrac{-3x+3}{5x-1}=\dfrac{-3(x-1)}{5x-1}.\] **Анализ знака \((b-1)(A-1)\) на области определения.** Разберём три куска области \(D\). 1. Промежуток \(x<-1\). Здесь \(x-1<0\) и \(5x-1<0\), значит \(b-1=\dfrac{-3(x-1)}{5x-1}=\dfrac{(\text{плюс})}{(\text{минус})}<0\). Множитель \(A-1=(2x-1)(5x+3)\): при \(x<-1\) обе скобки отрицательны, поэтому \(A-1>0\). Произведение \((b-1)(A-1)<0\) — неравенство выполнено на всём \((-\infty;-1)\). 2. Промежуток \(\dfrac250\) (так как \(x>\tfrac15\)), поэтому \(b-1=\dfrac{-3(x-1)}{5x-1}>0\). Множитель \(A-1=(2x-1)(5x+3)\): скобка \(5x+3>0\), а \(2x-1\) меняет знак в точке \(x=\dfrac12\). При \(\dfrac250\), значит \(A-1>0\) и произведение \((b-1)(A-1)>0\) — неравенство не выполнено. Итак, на этом куске решение — полуинтервал \(\left(\dfrac25;\dfrac12\right]\). 3. Промежуток \(x>1\). Здесь \(x-1>0\) и \(5x-1>0\), поэтому \(b-1=\dfrac{-3(x-1)}{5x-1}<0\). Множитель \(A-1=(2x-1)(5x+3)>0\) (обе скобки положительны). Произведение \((b-1)(A-1)<0\) — неравенство выполнено на всём \((1;+\infty)\). **Проверка граничных точек.** - \(x=-1\): основание \(b=\dfrac{2(-1)+2}{5(-1)-1}=\dfrac{0}{-6}=0\) — логарифм не определён, точка исключена (открытая граница). - \(x=\dfrac25\): аргумент \(A=(2\cdot\tfrac25+1)(5\cdot\tfrac25-2)=\big(\tfrac95\big)\cdot 0=0\) — логарифм не определён, точка исключена (открытая граница). - \(x=\dfrac12\): аргумент \(A=10\cdot\tfrac14+\tfrac12-2=1>0\), основание \(b=\dfrac{2\cdot\frac12+2}{5\cdot\frac12-1}=\dfrac{3}{3/2}=2\neq 1\); тогда \(\log_2 1=0\leqslant 0\) — неравенство выполнено, точка включена (закрытая граница). - \(x=1\): основание \(b=1\) — логарифм не определён, точка исключена. **Ответ.** Объединяя три найденных куска, получаем \[\boxed{\,x\in(-\infty;-1)\cup\left(\dfrac25;\dfrac12\right]\cup(1;+\infty).}\]5d:T12f2,Уравнение \[3\cdot 2^{\cos x+3\sqrt{1-\sin^2 x}}+11\cdot 2^{2\cos x}-34=0.\] определено при всех \( x \): подкоренное выражение \( 1-\sin^2 x\geqslant 0 \), а показатели степеней произвольны. Поэтому ОДЗ — всё множество \( \mathbb{R} \). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Так как \( 1-\sin^2 x=\cos^2 x \), то \[\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{\cos^2 x}=|\cos x|.\] Подчеркнём, что здесь стоит именно модуль косинуса, а не сам косинус. Обозначим для краткости \( c=\cos x \), где \( c\in[-1,1] \). Тогда показатель первого слагаемого равен \( c+3|c| \), и уравнение принимает вид \[3\cdot 2^{\,c+3|c|}+11\cdot 2^{\,2c}-34=0.\] Раскрытие модуля \( |c| \) естественно приводит к двум случаям. **Случай 1: \( \cos x\geqslant 0 \), то есть \( c\in[0,1] \).** Здесь \( |c|=c \), показатель первого слагаемого равен \( c+3c=4c \), и уравнение становится \[3\cdot 2^{\,4c}+11\cdot 2^{\,2c}-34=0.\] Введём вспомогательную переменную \( u=2^{\,2c} \). Поскольку \( c\in[0,1] \), показатель \( 2c\in[0,2] \), а значит \[u=2^{\,2c}\in[2^{0},2^{2}]=[1,4].\] При этом \( 2^{\,4c}=\bigl(2^{\,2c}\bigr)^2=u^2 \). Получаем квадратное уравнение \[3u^2+11u-34=0.\] Его дискриминант равен \( 11^2+4\cdot 3\cdot 34=121+408=529=23^2 \), поэтому \[u=\dfrac{-11\pm 23}{6},\qquad u_1=2,\quad u_2=-\dfrac{34}{6}=-\dfrac{17}{3}.\] Удобно записать это разложением на множители: \( 3u^2+11u-34=(u-2)(3u+17) \). Корень \( u_2=-\dfrac{17}{3}<0 \) не годится, так как \( u=2^{\,2c}>0 \). Корень \( u_1=2 \) лежит в требуемом промежутке \( [1,4] \), значит он допустим. Из равенства \[2^{\,2c}=2=2^{1}\] получаем \( 2c=1 \), то есть \( \cos x=c=\dfrac12 \). Условие \( \cos x\geqslant 0 \) при этом выполнено. Решение этого простейшего уравнения: \[x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] **Случай 2: \( \cos x<0 \), то есть \( c\in[-1,0) \).** Здесь \( |c|=-c \), показатель первого слагаемого равен \( c+3(-c)=-2c \), и уравнение принимает вид \[3\cdot 2^{-2c}+11\cdot 2^{\,2c}-34=0.\] Положим теперь \( v=2^{\,2c} \). При \( c\in[-1,0) \) показатель \( 2c\in[-2,0) \), откуда \[v=2^{\,2c}\in\bigl[2^{-2},2^{0}\bigr)=\Bigl[\tfrac14,\,1\Bigr).\] Так как \( 2^{-2c}=\dfrac{1}{2^{\,2c}}=\dfrac1v \), уравнение преобразуется к виду \[\dfrac{3}{v}+11v-34=0\quad\Longleftrightarrow\quad 11v^2-34v+3=0.\] Дискриминант равен \( 34^2-4\cdot 11\cdot 3=1156-132=1024=32^2 \), поэтому \[v=\dfrac{34\pm 32}{22},\qquad v_1=3,\quad v_2=\dfrac{2}{22}=\dfrac{1}{11}.\] Оба корня положительны, однако ни один из них не попадает в допустимый промежуток \( \Bigl[\tfrac14,1\Bigr) \): значение \( v_1=3>1 \), а значение \( v_2=\dfrac{1}{11}\approx 0{,}091<\dfrac14 \). Следовательно, в этом случае уравнение решений не имеет. (Геометрически это видно и напрямую: при \( c\in[-1,0) \) функция \( g(c)=3\cdot 2^{-2c}+11\cdot 2^{\,2c}-34 \) принимает только отрицательные значения — её наибольшее значение достигается на левом конце \( c=-1 \) и равно \( 3\cdot 4+11\cdot\tfrac14-34=12+2{,}75-34=-19{,}25<0 \), поэтому уравнение \( g(c)=0 \) при \( \cos x<0 \) невозможно.) **Объединение.** Решения даёт только первый случай. Окончательно \[\boxed{x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.}\] Проверка. При \( x=\pm\dfrac{\pi}{3} \) имеем \( \cos x=\dfrac12\geqslant 0 \), значит \( \sqrt{1-\sin^2 x}=|\cos x|=\dfrac12 \). Тогда показатель первого слагаемого равен \( \dfrac12+3\cdot\dfrac12=2 \), а второго — \( 2\cos x=1 \), и левая часть равна \[3\cdot 2^{2}+11\cdot 2^{1}-34=12+22-34=0,\] что подтверждает правильность ответа.5e:T15c2,Треугольник \(ABC\) равнобедренный; по условию вписанная окружность касается основания \(AC\) и боковой стороны \(AB\), значит равны боковые стороны \(AB=CB\), а углы при основании равны: \(\angle BAC=\angle BCA=\beta\). Именно угол \(\beta\) нам и нужно найти. **Длины отрезков касания.** Так как треугольник равнобедренный с осью симметрии, проходящей через вершину \(B\) и середину основания, вписанная окружность касается основания \(AC\) в его середине, то есть \(D\) — середина \(AC\) и \(AD=\dfrac{AC}{2}\). Отрезки касательных, проведённых из вершины \(A\), равны: \(AE=AD=\dfrac{AC}{2}\). Для удобства положим \(AC=2\), тогда \(AD=AE=1\). Опустив из \(B\) высоту на \(AC\) (она попадает в точку \(D\)), из прямоугольного треугольника \(ABD\) получаем \(AB\cos\beta=AD=1\), откуда \[AB=\dfrac{1}{\cos\beta}.\] Поскольку \(F\) — середина \(AB\), то \(AF=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{1}{2\cos\beta}\). Чтобы конфигурация была корректной (точка \(E\) лежит на стороне \(AB\), а \(F\) — между \(A\) и \(E\)), нужно \(AF\dfrac12\) (то есть \(\beta<60^\circ\)). Это условие в дальнейшем подтвердится найденным ответом. **Степень точки \(F\).** Прямая \(AB\) касается окружности в точке \(E\), поэтому для точки \(F\), лежащей на этой прямой, отрезок \(FE\) есть отрезок касательной, и степень точки \(F\) относительно окружности равна \(FE^2\). С другой стороны, секущая \(FD\) пересекает окружность в точках \(G\) и \(D\), так что та же степень равна \(FG\cdot FD\). Значит, \[FG\cdot FD=FE^2.\] Вычислим входящие сюда длины. Очевидно, \[FE=AE-AF=1-\dfrac{1}{2\cos\beta}=\dfrac{2\cos\beta-1}{2\cos\beta}.\] Длину \(FD\) найдём из треугольника \(AFD\) по теореме косинусов (\(AF=\dfrac{1}{2\cos\beta}\), \(AD=1\), угол при \(A\) равен \(\beta\)): \[FD^2=AF^2+AD^2-2\cdot AF\cdot AD\cos\beta=\dfrac{1}{4\cos^2\beta}+1-2\cdot\dfrac{1}{2\cos\beta}\cdot\cos\beta=\dfrac{1}{4\cos^2\beta},\] откуда \(FD=\dfrac{1}{2\cos\beta}\). Тогда из равенства \(FG\cdot FD=FE^2\) получаем \[FG=\dfrac{FE^2}{FD}=\dfrac{(2\cos\beta-1)^2}{2\cos\beta}.\] **Точка \(H\) и две касательные.** Через точку \(H\) проведены две касательные к окружности: прямая \(AB\), касающаяся в точке \(E\), и прямая \(GH\), касающаяся в точке \(G\). Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому \[HE=HG.\] Теперь определим положение \(H\) на прямой \(AB\). Обозначим \(AH\) — расстояние от \(A\) до \(H\) вдоль \(AB\). Прямой подсчёт (например, в координатах: \(A=(-1,0)\), \(C=(1,0)\), \(B=\big(0,\tan\beta\big)\), центр окружности \(I=\big(0,r\big)\) с \(r=\dfrac{\tan\beta}{1+1/\cos\beta}\); точка \(G\) — второе пересечение прямой \(FD\) с окружностью, а \(H\) — пересечение касательной в \(G\) с прямой \(AB\)) даёт компактные выражения \[AH=\dfrac{2}{2\cos\beta+1},\qquad HE=AE-AH=\dfrac{2\cos\beta-1}{2\cos\beta+1},\qquad FH=AH-AF=\dfrac{2\cos\beta-1}{2\cos\beta\,(2\cos\beta+1)}.\] В частности, \(AF0\).) Таким образом, искомое отношение зависит от угла предельно просто: \[\dfrac{FH}{HE}=\dfrac{1}{2\cos\beta}.\] Подставляя данное в условии значение \(\dfrac{FH}{HE}=\dfrac{2}{3}\), получаем уравнение \[\dfrac{1}{2\cos\beta}=\dfrac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad 2\cos\beta=\dfrac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos\beta=\dfrac{3}{4}.\] Значение \(\cos\beta=\dfrac34>\dfrac12\) удовлетворяет требованию \(\beta<60^\circ\), то есть построенная конфигурация существует и все использованные соотношения корректны. **Ответ.** \[\boxed{\,\angle BCA=\arccos\dfrac{3}{4}\,}\]5f:T1669,Обозначим для краткости \(c=\cos(\pi xy)\), \(u=\sin^2(\pi x)\), \(v=\sin^2(\pi y)\) и \(t=\operatorname{tg}(\pi a)\). Тогда первые два уравнения системы принимают вид \[\begin{cases} c^2-2u-3v-2+t=0,\\ c-\dfrac{3}{2}u-2v-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}t=0. \end{cases}\] **Шаг 1. Исключение параметра.** Чтобы избавиться от \(t\), вычтем из первого уравнения удвоенное второе. Коэффициент при \(t\) обнуляется (\(1-2\cdot\tfrac12=0\)), и получаем \[\big(c^2-2u-3v-2\big)-2\big(c-\tfrac32 u-2v-\tfrac32\big)=0,\] \[c^2-2c+1+u+v=0,\qquad\text{то есть}\qquad (c-1)^2+u+v=0.\] Подставляя \(c=\cos(\pi xy)\), \(u=\sin^2(\pi x)\), \(v=\sin^2(\pi y)\), приходим к равенству \[\big(\cos(\pi xy)-1\big)^2+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)=0.\] Это сумма трёх неотрицательных слагаемых, поэтому она равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю одновременно: \[\cos(\pi xy)=1,\qquad \sin(\pi x)=0,\qquad \sin(\pi y)=0.\] Из \(\sin(\pi x)=0\) и \(\sin(\pi y)=0\) следует \(x\in\mathbb{Z}\), \(y\in\mathbb{Z}\). При целых \(x,y\) произведение \(xy\) целое, и условие \(\cos(\pi xy)=1\) означает, что \(xy\) — чётное число. Итак, \[x\in\mathbb{Z},\quad y\in\mathbb{Z},\quad xy\ \text{чётно}. \tag{*}\] Это необходимые условия для любой пары \((x,y)\), входящей в решение, и они не зависят от \(a\). **Шаг 2. Условие на параметр.** При выполнении \((*)\) имеем \(c=1\), \(u=v=0\). Подставим это во второе уравнение: \[1-\dfrac{3}{2}\cdot 0-2\cdot 0-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}t=0\ \Longrightarrow\ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}t=0\ \Longrightarrow\ t=1.\] Первое уравнение даёт то же самое: \(1-0-0-2+t=0\Rightarrow t=1\) — противоречия нет. Таким образом, необходимо \[\operatorname{tg}(\pi a)=1\ \Longrightarrow\ \pi a=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\ \Longrightarrow\ a=\dfrac{1}{4}+k,\quad k\in\mathbb{Z}. \tag{**}\] (При этом \(\pi a\ne \tfrac{\pi}{2}+\pi m\), так что тангенс определён.) Если же \(\operatorname{tg}(\pi a)\ne1\) (или не существует), то первые два уравнения вместе с \((*)\) несовместны, и решений нет вовсе. **Шаг 3. Третье условие (неравенство).** Подставим \((**)\) в аргумент синуса третьего соотношения: \[\dfrac{\pi a}{4}-\dfrac{\pi}{16}=\dfrac{\pi\left(\tfrac14+k\right)}{4}-\dfrac{\pi}{16}=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi k}{4}-\dfrac{\pi}{16}=\dfrac{\pi k}{4}.\] Обозначим \[R=1+4\sin^2\!\left(\dfrac{\pi k}{4}\right).\] Тогда левая часть неравенства равна \(\log_2\big(R-x^2-y^2\big)\). Само неравенство \(\log_2(\,\cdot\,)\le\tfrac12\) вместе с областью определения логарифма (аргумент строго положителен) равносильно двойному условию \[0=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]