Решить неравенство _((2x+2)/(5x-1))(10x^2+x-2) 0.

Рассмотрим неравенство _((2x+2)/(5x-1))(10x^2+x-2) 0. **Область определения.** Обозначим основание b=(2x+2)/(5x-1) и аргумент A=10x^2+x-2. Чтобы логарифм был определён, нужно выполнение трёх условий: b>0, b!= 1 и A>0. Разложим оба выражения на множители: A=10x^2+x-2=(2x+1)(5x-2), b=(2x+2)/(5x-1)=(2(x+1))/(5x-1). Условие A>0. Парабола (2x+1)(5x-2) положительна вне корней x=-12 и x=25, то есть A>0 x<-12 или x>25. Условие b>0. Дробь (2(x+1))/(5x-1) положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Корни числителя и знаменателя — это x=-1 и x=15; по методу интервалов b>0 x<-1 или x>15. Условие b!= 1. Имеем (2x+2)/(5x-1)=1 2x+2=5x-1 x=1, поэтому точку x=1 исключаем. Пересечём множества A>0 и b>0 и выбросим x=1. На участке x<-1 оба условия выполнены (там и x<-12, и x<-1). Промежуток -1<x<15 отпадает (нарушено b>0); промежуток 15<x25 отпадает (нарушено A>0). При x>25 выполнены оба условия. Итог — область определения D=(-inf;-1)U(25;1)U(1;+inf). **Сведение неравенства.** Для логарифма с положительным основанием b!= 1 и положительным аргументом A>0 знак _b A совпадает со знаком произведения (b-1)(A-1). Действительно, _b A=(ln A)/(ln b); числитель ln A имеет знак A-1, знаменатель ln b — знак b-1, поэтому _b A 0 (ln A)/(ln b) 0 (A-1)(b-1) 0 (равенство нулю достигается лишь при A=1, что отвечает _b A=0; случай b=1 уже исключён). Таким образом, на области определения исходное неравенство равносильно (b-1)(A-1) 0. Вычислим множители. Аргумент: A-1=10x^2+x-3=(2x-1)(5x+3), так что A-1=0 при x=12 и x=-35; внутри области определения значим только корень x=12 (точка x=-35 лежит вне D). Основание: b-1=(2x+2)/(5x-1)-1=((2x+2)-(5x-1))/(5x-1)=(-3x+3)/(5x-1)=(-3(x-1))/(5x-1). **Анализ знака (b-1)(A-1) на области определения.** Разберём три куска области D. 1. Промежуток x<-1. Здесь x-1<0 и 5x-1<0, значит b-1=(-3(x-1))/(5x-1)=((плюс))/((минус))<0. Множитель A-1=(2x-1)(5x+3): при x<-1 обе скобки отрицательны, поэтому A-1>0. Произведение (b-1)(A-1)<0 — неравенство выполнено на всём (-inf;-1). 2. Промежуток 25<x<1. Здесь x-1<0, а 5x-1>0 (так как x>15), поэтому b-1=(-3(x-1))/(5x-1)>0. Множитель A-1=(2x-1)(5x+3): скобка 5x+3>0, а 2x-1 меняет знак в точке x=12. При 25<x<12 имеем 2x-1<0, значит A-1<0 и произведение (b-1)(A-1)<0 — неравенство выполнено; при x=12 получаем A-1=0, произведение равно нулю — неравенство (нестрогое) выполнено; при 12<x<1 имеем 2x-1>0, значит A-1>0 и произведение (b-1)(A-1)>0 — неравенство не выполнено. Итак, на этом куске решение — полуинтервал (25;12]. 3. Промежуток x>1. Здесь x-1>0 и 5x-1>0, поэтому b-1=(-3(x-1))/(5x-1)<0. Множитель A-1=(2x-1)(5x+3)>0 (обе скобки положительны). Произведение (b-1)(A-1)<0 — неравенство выполнено на всём (1;+inf). **Проверка граничных точек.** - x=-1: основание b=(2(-1)+2)/(5(-1)-1)=(0)/(-6)=0 — логарифм не определён, точка исключена (открытая граница). - x=25: аргумент A=(2*25+1)(5*25-2)=(95)* 0=0 — логарифм не определён, точка исключена (открытая граница). - x=12: аргумент A=10*14+12-2=1>0, основание b=(2*12+2)/(5*12-1)=(3)/(3/2)=2!= 1; тогда _2 1=0 0 — неравенство выполнено, точка включена (закрытая граница). - x=1: основание b=1 — логарифм не определён, точка исключена. **Ответ.** Объединяя три найденных куска, получаем xin(-inf;-1)U(25;12]U(1;+inf).

\(x \in (-\infty;-1)\cup\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{2}\right]\cup(1;+\infty)\)