Задача №18150

Решить неравенство

$${\log }_{\frac{2x+2}{5x-1}}\left(10x^2+x-2\right)⩽0.$$

Рассмотрим неравенство

$${\log }_{\frac{2x+2}{5x-1}}\left(10x^2+x-2\right)⩽0.$$

Область определения. Обозначим основание $b=\frac{2x+2}{5x-1}$ и аргумент $A=10x^2+x-2\text{.}$ Чтобы логарифм был определён, нужно выполнение трёх условий: $b>0\text{,}$ $b\ne 1$ и $A>0\text{.}$

Разложим оба выражения на множители:

$$A=10x^2+x-2=(2x+1)(5x-2),b=\frac{2x+2}{5x-1}=\frac{2(x+1)}{5x-1}.$$

Условие $A>0\text{.}$ Парабола $(2x+1)(5x-2)$ положительна вне корней $x=-\frac{1}{2}$ и $x=\frac{2}{5}\text{,}$ то есть

$$A>0⟺x<-\frac{1}{2}\text{ или }x>\frac{2}{5}.$$

Условие $b>0\text{.}$ Дробь $\frac{2(x+1)}{5x-1}$ положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Корни числителя и знаменателя — это $x=-1$ и $x=\frac{1}{5}\text{;}$ по методу интервалов

$$b>0⟺x<-1\text{ или }x>\frac{1}{5}.$$

Условие $b\ne 1\text{.}$ Имеем $\frac{2x+2}{5x-1}=1⟺2x+2=5x-1⟺x=1\text{,}$ поэтому точку $x=1$ исключаем.

Пересечём множества $\{A>0\}$ и $\{b>0\}$ и выбросим $x=1\text{.}$ На участке $x<-1$ оба условия выполнены (там и $x<-\frac{1}{2}\text{,}$ и $x<-1$). Промежуток $-1<x<\frac{1}{5}$ отпадает (нарушено $b>0$); промежуток $\frac{1}{5}<x⩽\frac{2}{5}$ отпадает (нарушено $A>0$). При $x>\frac{2}{5}$ выполнены оба условия. Итог — область определения

$$D=(-\infty ;-1)\cup \left(\frac{2}{5};1\right)\cup (1;+\infty ).$$

Сведение неравенства. Для логарифма с положительным основанием $b\ne 1$ и положительным аргументом $A>0$ знак ${\log }_{b}A$ совпадает со знаком произведения $(b-1)(A-1)\text{.}$ Действительно, ${\log }_{b}A=\frac{\ln A}{\ln b}\text{;}$ числитель $\ln A$ имеет знак $A-1\text{,}$ знаменатель $\ln b$ — знак $b-1\text{,}$ поэтому

$${\log }_{b}A⩽0⟺\frac{\ln A}{\ln b}⩽0⟺(A-1)(b-1)⩽0$$

(равенство нулю достигается лишь при $A=1\text{,}$ что отвечает ${\log }_{b}A=0\text{;}$ случай $b=1$ уже исключён). Таким образом, на области определения исходное неравенство равносильно

$$(b-1)(A-1)⩽0.$$

Вычислим множители. Аргумент:

$$A-1=10x^2+x-3=(2x-1)(5x+3),$$

так что $A-1=0$ при $x=\frac{1}{2}$ и $x=-\frac{3}{5}\text{;}$ внутри области определения значим только корень $x=\frac{1}{2}$ (точка $x=-\frac{3}{5}$ лежит вне $D$). Основание:

$$b-1=\frac{2x+2}{5x-1}-1=\frac{(2x+2)-(5x-1)}{5x-1}=\frac{-3x+3}{5x-1}=\frac{-3(x-1)}{5x-1}.$$

Анализ знака $(b-1)(A-1)$ на области определения. Разберём три куска области $D\text{.}$

1. Промежуток $x<-1\text{.}$ Здесь $x-1<0$ и $5x-1<0\text{,}$ значит $b-1=\frac{-3(x-1)}{5x-1}=\frac{(\text{плюс})}{(\text{минус})}<0\text{.}$ Множитель $A-1=(2x-1)(5x+3)\text{:}$ при $x<-1$ обе скобки отрицательны, поэтому $A-1>0\text{.}$ Произведение $(b-1)(A-1)<0$ — неравенство выполнено на всём $(-\infty ;-1)\text{.}$

2. Промежуток $\frac{2}{5}<x<1\text{.}$ Здесь $x-1<0\text{,}$ а $5x-1>0$ (так как $x>\frac{1}{5}$), поэтому $b-1=\frac{-3(x-1)}{5x-1}>0\text{.}$ Множитель $A-1=(2x-1)(5x+3)\text{:}$ скобка $5x+3>0\text{,}$ а $2x-1$ меняет знак в точке $x=\frac{1}{2}\text{.}$ При $\frac{2}{5}<x<\frac{1}{2}$ имеем $2x-1<0\text{,}$ значит $A-1<0$ и произведение $(b-1)(A-1)<0$ — неравенство выполнено; при $x=\frac{1}{2}$ получаем $A-1=0\text{,}$ произведение равно нулю — неравенство (нестрогое) выполнено; при $\frac{1}{2}<x<1$ имеем $2x-1>0\text{,}$ значит $A-1>0$ и произведение $(b-1)(A-1)>0$ — неравенство не выполнено. Итак, на этом куске решение — полуинтервал $\left(\frac{2}{5};\frac{1}{2}\right]\text{.}$

3. Промежуток $x>1\text{.}$ Здесь $x-1>0$ и $5x-1>0\text{,}$ поэтому $b-1=\frac{-3(x-1)}{5x-1}<0\text{.}$ Множитель $A-1=(2x-1)(5x+3)>0$ (обе скобки положительны). Произведение $(b-1)(A-1)<0$ — неравенство выполнено на всём $(1;+\infty )\text{.}$

Проверка граничных точек.

• $x=-1\text{:}$ основание $b=\frac{2(-1)+2}{5(-1)-1}=\frac{0}{-6}=0$ — логарифм не определён, точка исключена (открытая граница).
• $x=\frac{2}{5}\text{:}$ аргумент $A=(2\cdot \frac{2}{5}+1)(5\cdot \frac{2}{5}-2)=\left(\frac{9}{5}\right)\cdot 0=0$ — логарифм не определён, точка исключена (открытая граница).
• $x=\frac{1}{2}\text{:}$ аргумент $A=10\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-2=1>0\text{,}$ основание $b=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+2}{5\cdot \frac{1}{2}-1}=\frac{3}{3/2}=2\ne 1\text{;}$ тогда ${\log }_{2}1=0⩽0$ — неравенство выполнено, точка включена (закрытая граница).
• $x=1\text{:}$ основание $b=1$ — логарифм не определён, точка исключена.

Ответ. Объединяя три найденных куска, получаем

$$\boxed{x\in (-\infty ;-1)\cup \left(\frac{2}{5};\frac{1}{2}\right]\cup (1;+\infty ).}$$