При каких значениях параметра a система casescos^2(pi xy)-2sin^2(pi x)-3sin^2(pi y)-2+tg(pi a)=0, cos(pi xy)-(3)/(2)sin^2(pi x)-2sin^2(pi y)-(3)/(2)+(1)/(2)tg(pi a)=0, _2(1+4sin^2((pi a)/(4)-(pi)/(16))-x^2-y^2)(1)/(2)cases имеет ровно четыре решения?

Обозначим для краткости c=cos(pi xy), u=sin^2(pi x), v=sin^2(pi y) и t=tg(pi a). Тогда первые два уравнения системы принимают вид cases c^2-2u-3v-2+t=0, c-(3)/(2)u-2v-(3)/(2)+(1)/(2)t=0. cases **Шаг 1. Исключение параметра.** Чтобы избавиться от t, вычтем из первого уравнения удвоенное второе. Коэффициент при t обнуляется (1-2*12=0), и получаем (c^2-2u-3v-2)-2(c-32 u-2v-32)=0, c^2-2c+1+u+v=0, то есть (c-1)^2+u+v=0. Подставляя c=cos(pi xy), u=sin^2(pi x), v=sin^2(pi y), приходим к равенству (cos(pi xy)-1)^2+sin^2(pi x)+sin^2(pi y)=0. Это сумма трёх неотрицательных слагаемых, поэтому она равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю одновременно: cos(pi xy)=1, sin(pi x)=0, sin(pi y)=0. Из sin(pi x)=0 и sin(pi y)=0 следует xinZ, yinZ. При целых x,y произведение xy целое, и условие cos(pi xy)=1 означает, что xy — чётное число. Итак, xinZ, yinZ, xy чётно. * Это необходимые условия для любой пары (x,y), входящей в решение, и они не зависят от a. **Шаг 2. Условие на параметр.** При выполнении (*) имеем c=1, u=v=0. Подставим это во второе уравнение: 1-(3)/(2)* 0-2* 0-(3)/(2)+(1)/(2)t=0 -(1)/(2)+(1)/(2)t=0 t=1. Первое уравнение даёт то же самое: 1-0-0-2+t=0=> t=1 — противоречия нет. Таким образом, необходимо tg(pi a)=1 pi a=(pi)/(4)+pi k a=(1)/(4)+k, kinZ. ** (При этом pi a!= (pi)/(2)+pi m, так что тангенс определён.) Если же tg(pi a)1 (или не существует), то первые два уравнения вместе с (*) несовместны, и решений нет вовсе. **Шаг 3. Третье условие (неравенство).** Подставим (**) в аргумент синуса третьего соотношения: (pi a)/(4)-(pi)/(16)=(pi(14+k))/(4)-(pi)/(16)=(pi)/(16)+(pi k)/(4)-(pi)/(16)=(pi k)/(4). Обозначим R=1+4sin^2((pi k)/(4)). Тогда левая часть неравенства равна _2(R-x^2-y^2). Само неравенство _2(*)<=12 вместе с областью определения логарифма (аргумент строго положителен) равносильно двойному условию 0<R-x^2-y^2<= 2^(1/2)=2, то есть R-2<= x^2+y^2< R. *** Величина sin^2((pi k)/(4)) периодична по k с периодом 4 и принимает значения k=== 0: 0, k=== 1: 12, k=== 2: 1, k=== 3: 12+-od 4, поэтому R=cases1,& k=== 0+-od4, 3,& k=== +-1+-od4, 5,& k=== 2+-od4.cases **Шаг 4. Подсчёт числа решений для каждого R.** Решения — это целые точки (x,y) с чётным xy, у которых x^2+y^2 лежит в полуинтервале [R-2, R). Заметим 2~1,414. - R=1: окно [1-2, 1)=[-0,414; 1). Единственное допустимое значение суммы квадратов — x^2+y^2=0, то есть точка (0,0); произведение xy=0 чётно. Ровно **1** решение. - R=3: окно [3-2, 3)=[1,586; 3). В этих границах сумма двух квадратов может равняться лишь 2, что даёт точки (+-1,+-1). Но у них xy=+-1 — нечётно, поэтому условие (*) нарушено, и все они отбрасываются. Ровно **0** решений. - R=5: окно [5-2, 5)=[3,586; 5). Здесь сумма двух квадратов может равняться только 4 (значение 5 исключено строгим неравенством, а 3 суммой двух квадратов не представимо). Точки с x^2+y^2=4: (+-2,0) и (0,+-2) — всего четыре; у каждой xy=0 чётно. Ровно **4** решения. Таким образом, ровно четыре решения система имеет в точности при R=5, то есть при k===2+-od4. Записывая k=2+4n, получаем a=14+k=14+2+4n=(9)/(4)+4n, ninZ. **Ответ.** a=(9)/(4)+4n, ninZ.

\(a = \dfrac{9}{4}+4n,\ n\in\mathbb{Z}\)