Задача №18153

При каких значениях параметра $a$ система

$$\{\begin{array}{l}{\cos }^2(\pi xy)-2{\sin }^2(\pi x)-3{\sin }^2(\pi y)-2+\mathrm{tg}(\pi a)=0,\\ \cos (\pi xy)-\frac{3}{2}{\sin }^2(\pi x)-2{\sin }^2(\pi y)-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{tg}(\pi a)=0,\\ {\log }_2\left(1+4{\sin }^2\left(\frac{\pi a}{4}-\frac{\pi }{16}\right)-x^2-y^2\right)⩽\frac{1}{2}\end{array}$$

имеет ровно четыре решения?

Обозначим для краткости $c=\cos (\pi xy)\text{,}$ $u={\sin }^2(\pi x)\text{,}$ $v={\sin }^2(\pi y)$ и $t=\mathrm{tg}(\pi a)\text{.}$ Тогда первые два уравнения системы принимают вид

$$\{\begin{array}{l}{c}^2-2u-3v-2+t=0,\\ c-\frac{3}{2}u-2v-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t=0.\end{array}$$

Шаг 1. Исключение параметра. Чтобы избавиться от $t\text{,}$ вычтем из первого уравнения удвоенное второе. Коэффициент при $t$ обнуляется ($1-2\cdot \frac{1}{2}=0$), и получаем

$$(c^2-2u-3v-2)-2(c-\frac{3}{2}u-2v-\frac{3}{2})=0,$$ $$c^2-2c+1+u+v=0,\text{то есть}(c-1{)}^2+u+v=0.$$

Подставляя $c=\cos (\pi xy)\text{,}$ $u={\sin }^2(\pi x)\text{,}$ $v={\sin }^2(\pi y)\text{,}$ приходим к равенству

$$(\cos (\pi xy)-1{)}^2+{\sin }^2(\pi x)+{\sin }^2(\pi y)=0.$$

Это сумма трёх неотрицательных слагаемых, поэтому она равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю одновременно:

$$\cos (\pi xy)=1,\sin (\pi x)=0,\sin (\pi y)=0.$$

Из $\sin (\pi x)=0$ и $\sin (\pi y)=0$ следует $x\in \mathbb{Z}\text{,}$ $y\in \mathbb{Z}\text{.}$ При целых $x,y$ произведение $xy$ целое, и условие $\cos (\pi xy)=1$ означает, что $xy$ — чётное число. Итак,

$$x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z},xy\text{чётно}.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Это необходимые условия для любой пары $(x,y)\text{,}$ входящей в решение, и они не зависят от $a\text{.}$

Шаг 2. Условие на параметр. При выполнении $(\ast )$ имеем $c=1\text{,}$ $u=v=0\text{.}$ Подставим это во второе уравнение:

$$1-\frac{3}{2}\cdot 0-2\cdot 0-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t=0⟹-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t=0⟹t=1.$$

Первое уравнение даёт то же самое: $1-0-0-2+t=0\Rightarrow t=1$ — противоречия нет. Таким образом, необходимо

$$\mathrm{tg}(\pi a)=1⟹\pi a=\frac{\pi }{4}+\pi k⟹a=\frac{1}{4}+k,k\in \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(**)}$$

(При этом $\pi a\ne \frac{\pi }{2}+\pi m\text{,}$ так что тангенс определён.) Если же $\mathrm{tg}(\pi a)\ne 1$ (или не существует), то первые два уравнения вместе с $(\ast )$ несовместны, и решений нет вовсе.

Шаг 3. Третье условие (неравенство). Подставим $(\ast \ast )$ в аргумент синуса третьего соотношения:

$$\frac{\pi a}{4}-\frac{\pi }{16}=\frac{\pi \left(\frac{1}{4}+k\right)}{4}-\frac{\pi }{16}=\frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{4}-\frac{\pi }{16}=\frac{\pi k}{4}.$$

Обозначим

$$R=1+4{\sin }^2\left(\frac{\pi k}{4}\right).$$

Тогда левая часть неравенства равна ${\log }_2(R-x^2-y^2)\text{.}$ Само неравенство ${\log }_2(\cdot )\le \frac{1}{2}$ вместе с областью определения логарифма (аргумент строго положителен) равносильно двойному условию

$$0<R-x^2-y^2\le 2^{1/2}=\sqrt{2},$$

то есть

$$R-\sqrt{2}\le x^2+y^2<R.\text{\hspace{1em}(***)}$$

Величина ${\sin }^2\left(\frac{\pi k}{4}\right)$ периодична по $k$ с периодом $4$ и принимает значения

$$k\equiv 0:0,k\equiv 1:\frac{1}{2},k\equiv 2:1,k\equiv 3:\frac{1}{2}(\mathrm{mod}4),$$

поэтому

$$R=\{\begin{array}{ll}1,& k\equiv 0(\mathrm{mod}4),\\ 3,& k\equiv \pm 1(\mathrm{mod}4),\\ 5,& k\equiv 2(\mathrm{mod}4).\end{array}$$

Шаг 4. Подсчёт числа решений для каждого $R\text{.}$ Решения — это целые точки $(x,y)$ с чётным $xy\text{,}$ у которых $x^2+y^2$ лежит в полуинтервале $[R-\sqrt{2},R)\text{.}$ Заметим $\sqrt{2}\approx 1,414\text{.}$

• $R=1\text{:}$ окно $[1-\sqrt{2},1)=[-0,414;1)\text{.}$ Единственное допустимое значение суммы квадратов — $x^2+y^2=0\text{,}$ то есть точка $(0,0)\text{;}$ произведение $xy=0$ чётно. Ровно 1 решение.

• $R=3\text{:}$ окно $[3-\sqrt{2},3)=[1,586;3)\text{.}$ В этих границах сумма двух квадратов может равняться лишь $2\text{,}$ что даёт точки $(\pm 1,\pm 1)\text{.}$ Но у них $xy=\pm 1$ — нечётно, поэтому условие $(\ast )$ нарушено, и все они отбрасываются. Ровно 0 решений.

• $R=5\text{:}$ окно $[5-\sqrt{2},5)=[3,586;5)\text{.}$ Здесь сумма двух квадратов может равняться только $4$ (значение $5$ исключено строгим неравенством, а $3$ суммой двух квадратов не представимо). Точки с $x^2+y^2=4\text{:}$ $(\pm 2,0)$ и $(0,\pm 2)$ — всего четыре; у каждой $xy=0$ чётно. Ровно 4 решения.

Таким образом, ровно четыре решения система имеет в точности при $R=5\text{,}$ то есть при $k\equiv 2(\mathrm{mod}4)\text{.}$ Записывая $k=2+4n\text{,}$ получаем

$$a=\frac{1}{4}+k=\frac{1}{4}+2+4n=\frac{9}{4}+4n,n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ.

$$\boxed{a=\frac{9}{4}+4n,n\in \mathbb{Z}.}$$