Дана пирамида ABCD. Сфера касается плоскостей DAB, DAC и DBC в точках K, L и M соответственно. При этом точка K находится на стороне AB, точка L — на стороне AC, точка M — на стороне BC. Известно, что радиус сферы равен 3, ADB=90^, BDC=105^, ADC=75^. Найти объём пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через D, центр сферы через O, её радиус r=3. Сфера касается плоскости DAB в точке Kin AB, плоскости DAC в точке Lin AC и плоскости DBC в точке Min BC. Введём длины боковых рёбер DA, DB, DC и данные плоские углы при вершине D: ADB=90^, ADC=75^, BDC=105^. **Касательные отрезки из вершин.** Если точка P лежит в плоскости, касающейся сферы в точке T, то прямая PT лежит в этой плоскости и касается сферы, поэтому PT — отрезок касательной из P. Значит, длины касательных, проведённых из одной точки к сфере по разным касательным плоскостям, равны между собой. Точка D принадлежит всем трём касательным плоскостям DAB, DAC, DBC, поэтому DK=DL=DM=d для некоторого общего значения d. Точка A лежит в плоскостях DAB и DAC, значит AK=AL; точка B — в плоскостях DAB и DBC, значит BK=BM; точка C — в плоскостях DAC и DBC, значит CL=CM. **Равенство углов, опирающихся на тангенциальные лучи.** Так как сфера касается плоскости DAB в точке K, радиус OK перпендикулярен этой плоскости, и K есть ортогональная проекция центра O на плоскость DAB. Аналогично L и M — проекции O на плоскости DAC и DBC. Рассмотрим ребро DA, общее для граней DAB и DAC. Опустим из O перпендикуляр на прямую DA; его основание обозначим P. Проекция точки на прямую, лежащую в плоскости, получается двукратным проектированием — сначала на плоскость, затем на прямую, поэтому точка P служит проекцией на DA и для точки K (лежащей в плоскости DAB), и для точки L (лежащей в плоскости DAC). Значит, DP=DKcos KDA=DLcos LDA. Но DK=DL=d, поэтому cos KDA=cos LDA, то есть лучи DK и DL образуют с ребром DA один и тот же угол. Обозначим его alpha. Точно так же луч из D к точке касания образует с ребром DB один и тот же угол beta (в гранях DAB и DBC), а с ребром DC — один и тот же угол gamma (в гранях DAC и DBC). **Нахождение углов alpha,beta,gamma.** В каждой грани луч DK (соответственно DL, DM) лежит внутри плоского угла при вершине D и разбивает его на два угла, найденных выше: alpha+beta= ADB=90^, alpha+gamma= ADC=75^, beta+gamma= BDC=105^. Сложив все три равенства, получим 2(alpha+beta+gamma)=270^, то есть alpha+beta+gamma=135^. Вычитая отсюда каждое из равенств, находим gamma=135^-90^=45^, beta=135^-75^=60^, alpha=135^-105^=30^. **Координатная модель.** Поместим D в начало координат и выберем единичные векторы u,v,w вдоль рёбер DA, DB, DC так, чтобы u*v=cos 90^=0, u*w=cos 75^, v*w=cos 105^. Тогда A=DAu, B=DBv, C=DCw. Точки касания суть проекции центра O на грани; из условия попадания K,L,M на рёбра AB,AC,BC вместе с равенствами касательных длины восстанавливаются однозначно. В частности, проекции центра на рёбра дают u* O=d, v* O=d, w* O=d, а боковые рёбра и касательные длины выражаются компактно: DA=(d)/(), DB=(d)/(), DC=(d)/(), AK=AL=dtgalpha, BK=BM=dtgbeta, CL=CM=dtggamma. **Связь радиуса с d.** Зная три скалярных произведения u* O, v* O, w* O, найдём |DO|^2, разложив O по базису u,v,w с матрицей Грама G=pmatrix1&0&cos 75^ 0&1&cos 105^ cos 75^&cos 105^&1pmatrix. Прямое вычисление квадратичной формы |DO|^2=(d, d, d)G^(-1)(d, d, d)^() даёт |DO|^2=d^2+(3)/(4)d^2. С другой стороны, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ODK (прямой угол при точке касания K) имеем |DO|^2=DK^2+OK^2=d^2+r^2. Сравнивая два выражения, получаем r^2=(3)/(4)d^2, откуда d^2=(4r^2)/(3)=(43)/(3)r^2. При r=3 отсюда d^2=123, то есть d=2* 3^(3/4). **Длины боковых рёбер.** Подставляя =cos 30^=(3)/(2), =cos 60^=12, =cos 45^=(2)/(2) и d=2* 3^(3/4), находим DA=(d)/(cos 30^)=(2d)/(3)=4* 3^(1/4), DB=(d)/(cos 60^)=2d=4* 3^(3/4), DC=(d)/(cos 45^)=d2=22* 3^(3/4). **Объём пирамиды.** Объём тетраэдра с общей вершиной D выражается через три исходящих ребра и плоские углы между ними: V=16DA* DB* DCsqrt(1-cos^2 ADB-cos^2 ADC-cos^2 BDC+2cos ADBcos ADCcos BDC). Так как ADB=90^, все слагаемые с cos ADB обнуляются. Учитывая cos 105^=-cos 75^, получаем 1-cos^2 75^-cos^2 105^=1-2cos^2 75^=-cos 150^=(3)/(2), так что множитель-корень равен sqrt((3)/(2)). Перемножая рёбра, DA* DB* DC=(d^3)/(cos 30^ 60^ 45^)=(d^3)/(32*12*22)=(8d^3)/(6). Следовательно, V=16*(8d^3)/(6)*sqrt((3)/(2))=(4d^3)/(36)*(3^(1/4))/(2)=(4d^3)/(3)*(3^(1/4))/(23)=(2d^3)/(3)* 3^(-1/4). Подставим d=2* 3^(3/4), тогда d^3=8* 3^(9/4), и V=(2)/(3)* 8* 3^(9/4)* 3^(-1/4)=(16)/(3)* 3^(2)=(16)/(3)* 9=48. В общем виде V=(16)/(9)r^3; при r=3 это даёт V=(16)/(9)* 27=48. **Численная проверка.** Возьмём координаты D=(0,0,0), u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(cos 75^, cos 105^, sqrt(1-cos^2 75^-cos^2 105^)). При DA=4* 3^(1/4)~ 5,2643, DB=4* 3^(3/4)~ 9,1180, DC=22* 3^(3/4)~ 6,4474 центр O~(3,9482, 2,2795, 3,0000) удалён от каждой из трёх граней ровно на 3, а его проекции K,L,M попадают на рёбра AB,AC,BC соответственно; при этом DK=DL=DM~ 4,5590=sqrt(123). Смешанное произведение даёт 16|(A-D)*((B-D)*(C-D))|=48,000, что подтверждает ответ. **Ответ.** V=48.

\(48\)