Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)
Решить неравенство
3⋅∣x+1∣−3⩾x2−2x−3.Требуется решить неравенство
3∣x+1∣−3⩾x2−2x−3.Область допустимых значений. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны.
Первое условие: ∣x+1∣−3⩾0, то есть ∣x+1∣⩾3. Это равносильно совокупности x+1⩾3 или x+1⩽−3, то есть
x⩾2илиx⩽−4.Второе условие: x2−2x−3⩾0. Так как x2−2x−3=(x−3)(x+1), получаем
x⩾3илиx⩽−1.Пересекая оба условия, найдём ОДЗ. На луче x⩾2 второе условие даёт x⩾3 (промежуток [2;3) выпадает, ибо там x2−2x−3<0). На луче x⩽−4 второе условие x⩽−1 выполнено автоматически. Итак,
ОДЗ:x⩽−4илиx⩾3.На всей ОДЗ обе части неравенства определены и неотрицательны, поэтому неравенство равносильно неравенству для квадратов:
9(∣x+1∣−3)⩾x2−2x−3.Раскроем модуль по двум ветвям ОДЗ.
Ветвь 1: x⩾3. Здесь x+1>0, значит ∣x+1∣=x+1 и ∣x+1∣−3=x−2. Неравенство для квадратов принимает вид
9(x−2)⩾x2−2x−3, 9x−18⩾x2−2x−3, 0⩾x2−11x+15,т.е.x2−11x+15⩽0.Корни трёхчлена x2−11x+15 равны
x1,2=211±121−60=211±61.Так как старший коэффициент положителен, неравенство x2−11x+15⩽0 выполнено между корнями:
211−61⩽x⩽211+61.Численно 211−61≈1,59 и 211+61≈9,41. Левый корень меньше 3, поэтому пересечение с условием ветви x⩾3 даёт
3⩽x⩽211+61.Ветвь 2: x⩽−4. Здесь x+1<0, значит ∣x+1∣=−(x+1)=−x−1 и ∣x+1∣−3=−x−4. Неравенство для квадратов:
9(−x−4)⩾x2−2x−3, −9x−36⩾x2−2x−3, 0⩾x2+7x+33.Дискриминант трёхчлена x2+7x+33 равен 49−132=−83<0, поэтому x2+7x+33>0 при всех x. Неравенство 0⩾x2+7x+33 не выполняется ни при каком x — на этой ветви решений нет.
Проверка концов отрезка. При x=3: левая часть 3∣4∣−3=31=3, правая 9−6−3=0; неравенство 3⩾0 верно, точка включается. При x=211+61 по построению достигается равенство квадратов 9(x−2)=x2−2x−3, значит и равенство исходных частей; неравенство нестрогое — точка включается. Обе точки лежат в ОДЗ.
Ответ.
x∈[3; 211+61]