Решить неравенство 3*sqrt(|x+1|-3)(x^2-2x-3).

Требуется решить неравенство 3sqrt(|x+1|-3)(x^2-2x-3). **Область допустимых значений.** Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны. Первое условие: |x+1|-3 0, то есть |x+1| 3. Это равносильно совокупности x+1 3 или x+1 -3, то есть x 2 или x -4. Второе условие: x^2-2x-3 0. Так как x^2-2x-3=(x-3)(x+1), получаем x 3 или x -1. Пересекая оба условия, найдём ОДЗ. На луче x 2 второе условие даёт x 3 (промежуток [2;3) выпадает, ибо там x^2-2x-3<0). На луче x -4 второе условие x -1 выполнено автоматически. Итак, ОДЗ: x -4 или x 3. На всей ОДЗ обе части неравенства определены и неотрицательны, поэтому неравенство равносильно неравенству для квадратов: 9(|x+1|-3) x^2-2x-3. Раскроем модуль по двум ветвям ОДЗ. **Ветвь 1: x 3.** Здесь x+1>0, значит |x+1|=x+1 и |x+1|-3=x-2. Неравенство для квадратов принимает вид 9(x-2) x^2-2x-3, 9x-18 x^2-2x-3, 0 x^2-11x+15, т.е. x^2-11x+15 0. Корни трёхчлена x^2-11x+15 равны x_(1,2)=(11+-sqrt(121-60))/(2)=(11+-sqrt(61))/(2). Так как старший коэффициент положителен, неравенство x^2-11x+15 0 выполнено между корнями: (11-sqrt(61))/(2) x(11+sqrt(61))/(2). Численно (11-sqrt(61))/(2)~ 1,59 и (11+sqrt(61))/(2)~ 9,41. Левый корень меньше 3, поэтому пересечение с условием ветви x 3 даёт 3 x(11+sqrt(61))/(2). **Ветвь 2: x -4.** Здесь x+1<0, значит |x+1|=-(x+1)=-x-1 и |x+1|-3=-x-4. Неравенство для квадратов: 9(-x-4) x^2-2x-3, -9x-36 x^2-2x-3, 0 x^2+7x+33. Дискриминант трёхчлена x^2+7x+33 равен 49-132=-83<0, поэтому x^2+7x+33>0 при всех x. Неравенство 0 x^2+7x+33 не выполняется ни при каком x — на этой ветви решений нет. **Проверка концов отрезка.** При x=3: левая часть 3sqrt(|4|-3)=3sqrt(1)=3, правая sqrt(9-6-3)=0; неравенство 3 0 верно, точка включается. При x=(11+sqrt(61))/(2) по построению достигается равенство квадратов 9(x-2)=x^2-2x-3, значит и равенство исходных частей; неравенство нестрогое — точка включается. Обе точки лежат в ОДЗ. **Ответ.** xin[3; (11+sqrt(61))/(2)]

\(x \in \left[3;\,\dfrac{11+\sqrt{61}}{2}\right]\)