Задача №18152

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC\text{,}$ касается основания $AC$ в точке $D$ и боковой стороны $AB$ в точке $E\text{.}$ Точка $F$ — середина стороны $AB\text{,}$ а точка $G$ — точка пересечения окружности и отрезка $FD\text{,}$ отличная от $D\text{.}$ Касательная к окружности, проходящая через точку $G\text{,}$ пересекает сторону $AB$ в точке $H\text{.}$ Найти угол $BCA\text{,}$ если известно, что $FH:HE=2:3\text{.}$

Треугольник $ABC$ равнобедренный; по условию вписанная окружность касается основания $AC$ и боковой стороны $AB\text{,}$ значит равны боковые стороны $AB=CB\text{,}$ а углы при основании равны: $\angle BAC=\angle BCA=\beta \text{.}$ Именно угол $\beta$ нам и нужно найти.

Длины отрезков касания. Так как треугольник равнобедренный с осью симметрии, проходящей через вершину $B$ и середину основания, вписанная окружность касается основания $AC$ в его середине, то есть $D$ — середина $AC$ и $AD=\frac{AC}{2}\text{.}$ Отрезки касательных, проведённых из вершины $A\text{,}$ равны: $AE=AD=\frac{AC}{2}\text{.}$

Для удобства положим $AC=2\text{,}$ тогда $AD=AE=1\text{.}$ Опустив из $B$ высоту на $AC$ (она попадает в точку $D$), из прямоугольного треугольника $ABD$ получаем $AB\cos \beta =AD=1\text{,}$ откуда

Поскольку $F$ — середина $AB\text{,}$ то $AF=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2\cos \beta }\text{.}$

Чтобы конфигурация была корректной (точка $E$ лежит на стороне $AB\text{,}$ а $F$ — между $A$ и $E$), нужно $AF<AE\text{,}$ то есть $\frac{1}{2\cos \beta }<1\text{,}$ что равносильно $\cos \beta >\frac{1}{2}$ (то есть $\beta <60^{\circ }$). Это условие в дальнейшем подтвердится найденным ответом.

Степень точки $F\text{.}$ Прямая $AB$ касается окружности в точке $E\text{,}$ поэтому для точки $F\text{,}$ лежащей на этой прямой, отрезок $FE$ есть отрезок касательной, и степень точки $F$ относительно окружности равна $F{E}^2\text{.}$ С другой стороны, секущая $FD$ пересекает окружность в точках $G$ и $D\text{,}$ так что та же степень равна $FG\cdot FD\text{.}$ Значит,

Вычислим входящие сюда длины. Очевидно,

Длину $FD$ найдём из треугольника $AFD$ по теореме косинусов ($AF=\frac{1}{2\cos \beta }\text{,}$ $AD=1\text{,}$ угол при $A$ равен $\beta$):

откуда $FD=\frac{1}{2\cos \beta }\text{.}$ Тогда из равенства $FG\cdot FD=F{E}^2$ получаем

Точка $H$ и две касательные. Через точку $H$ проведены две касательные к окружности: прямая $AB\text{,}$ касающаяся в точке $E\text{,}$ и прямая $GH\text{,}$ касающаяся в точке $G\text{.}$ Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому

Теперь определим положение $H$ на прямой $AB\text{.}$ Обозначим $AH$ — расстояние от $A$ до $H$ вдоль $AB\text{.}$ Прямой подсчёт (например, в координатах: $A=(-1,0)\text{,}$ $C=(1,0)\text{,}$ $B=(0,\tan \beta )\text{,}$ центр окружности $I=(0,r)$ с $r=\frac{\tan \beta }{1+1/\cos \beta }\text{;}$ точка $G$ — второе пересечение прямой $FD$ с окружностью, а $H$ — пересечение касательной в $G$ с прямой $AB$) даёт компактные выражения

В частности, $AF<AH<AE\text{,}$ то есть точка $H$ лежит на стороне $AB$ между $F$ и $E\text{,}$ а условие $FH:HE$ корректно.

Использование условия $FH:HE=2:3\text{.}$ Поделим найденные выражения:

(Сокращение законно: при $\beta <60^{\circ }$ имеем $2\cos \beta -1>0\text{.}$) Таким образом, искомое отношение зависит от угла предельно просто:

Подставляя данное в условии значение $\frac{FH}{HE}=\frac{2}{3}\text{,}$ получаем уравнение

Значение $\cos \beta =\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$ удовлетворяет требованию $\beta <60^{\circ }\text{,}$ то есть построенная конфигурация существует и все использованные соотношения корректны.

Ответ.