Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F — середина стороны AB, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Найти угол BCA, если известно, что FH:HE=2:3.

Треугольник ABC равнобедренный; по условию вписанная окружность касается основания AC и боковой стороны AB, значит равны боковые стороны AB=CB, а углы при основании равны: BAC= BCA=beta. Именно угол beta нам и нужно найти. **Длины отрезков касания.** Так как треугольник равнобедренный с осью симметрии, проходящей через вершину B и середину основания, вписанная окружность касается основания AC в его середине, то есть D — середина AC и AD=(AC)/(2). Отрезки касательных, проведённых из вершины A, равны: AE=AD=(AC)/(2). Для удобства положим AC=2, тогда AD=AE=1. Опустив из B высоту на AC (она попадает в точку D), из прямоугольного треугольника ABD получаем AB=AD=1, откуда AB=(1)/(). Поскольку F — середина AB, то AF=(AB)/(2)=(1)/(2). Чтобы конфигурация была корректной (точка E лежит на стороне AB, а F — между A и E), нужно AF<AE, то есть (1)/(2)<1, что равносильно >12 (то есть beta<60^). Это условие в дальнейшем подтвердится найденным ответом. **Степень точки F.** Прямая AB касается окружности в точке E, поэтому для точки F, лежащей на этой прямой, отрезок FE есть отрезок касательной, и степень точки F относительно окружности равна FE^2. С другой стороны, секущая FD пересекает окружность в точках G и D, так что та же степень равна FG* FD. Значит, FG* FD=FE^2. Вычислим входящие сюда длины. Очевидно, FE=AE-AF=1-(1)/(2)=(2-1)/(2). Длину FD найдём из треугольника AFD по теореме косинусов (AF=(1)/(2), AD=1, угол при A равен beta): FD^2=AF^2+AD^2-2* AF* AD=(1)/(4cos^2beta)+1-2*(1)/(2)*=(1)/(4cos^2beta), откуда FD=(1)/(2). Тогда из равенства FG* FD=FE^2 получаем FG=(FE^2)/(FD)=((2-1)^2)/(2). **Точка H и две касательные.** Через точку H проведены две касательные к окружности: прямая AB, касающаяся в точке E, и прямая GH, касающаяся в точке G. Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому HE=HG. Теперь определим положение H на прямой AB. Обозначим AH — расстояние от A до H вдоль AB. Прямой подсчёт (например, в координатах: A=(-1,0), C=(1,0), B=(0,), центр окружности I=(0,r) с r=()/(1+1/); точка G — второе пересечение прямой FD с окружностью, а H — пересечение касательной в G с прямой AB) даёт компактные выражения AH=(2)/(2+1), HE=AE-AH=(2-1)/(2+1), FH=AH-AF=(2-1)/(2(2+1)). В частности, AF<AH<AE, то есть точка H лежит на стороне AB между F и E, а условие FH:HE корректно. **Использование условия FH:HE=2:3.** Поделим найденные выражения: (FH)/(HE)=(2-12(2+1))/(2-12+1)=(1)/(2). (Сокращение законно: при beta<60^ имеем 2-1>0.) Таким образом, искомое отношение зависит от угла предельно просто: (FH)/(HE)=(1)/(2). Подставляя данное в условии значение (FH)/(HE)=(2)/(3), получаем уравнение (1)/(2)=(2)/(3) 2=(3)/(2) =(3)/(4). Значение =34>12 удовлетворяет требованию beta<60^, то есть построенная конфигурация существует и все использованные соотношения корректны. **Ответ.** BCA=arccos(3)/(4)

\(\angle BCA = \arccos\dfrac{3}{4}\)