Решить уравнение 3* 2^(cos x+3sqrt(1-sin^2 x))+11* 2^(2cos x)-34=0.

Уравнение 3* 2^(cos x+3sqrt(1-sin^2 x))+11* 2^(2cos x)-34=0. определено при всех x : подкоренное выражение 1-sin^2 x 0 , а показатели степеней произвольны. Поэтому ОДЗ — всё множество R . Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Так как 1-sin^2 x=cos^2 x , то sqrt(1-sin^2 x)=sqrt(cos^2 x)=|cos x|. Подчеркнём, что здесь стоит именно модуль косинуса, а не сам косинус. Обозначим для краткости c=cos x , где cin[-1,1] . Тогда показатель первого слагаемого равен c+3|c| , и уравнение принимает вид 3* 2^(c+3|c|)+11* 2^(2c)-34=0. Раскрытие модуля |c| естественно приводит к двум случаям. **Случай 1: cos x 0 , то есть cin[0,1] .** Здесь |c|=c , показатель первого слагаемого равен c+3c=4c , и уравнение становится 3* 2^(4c)+11* 2^(2c)-34=0. Введём вспомогательную переменную u=2^(2c) . Поскольку cin[0,1] , показатель 2cin[0,2] , а значит u=2^(2c)in[2^(0),2^(2)]=[1,4]. При этом 2^(4c)=(2^(2c))^2=u^2 . Получаем квадратное уравнение 3u^2+11u-34=0. Его дискриминант равен 11^2+4* 3* 34=121+408=529=23^2 , поэтому u=(-11+- 23)/(6), u_1=2, u_2=-(34)/(6)=-(17)/(3). Удобно записать это разложением на множители: 3u^2+11u-34=(u-2)(3u+17) . Корень u_2=-(17)/(3)<0 не годится, так как u=2^(2c)>0 . Корень u_1=2 лежит в требуемом промежутке [1,4] , значит он допустим. Из равенства 2^(2c)=2=2^(1) получаем 2c=1 , то есть cos x=c=12 . Условие cos x 0 при этом выполнено. Решение этого простейшего уравнения: x=+-(pi)/(3)+2pi n, ninZ. **Случай 2: cos x<0 , то есть cin[-1,0) .** Здесь |c|=-c , показатель первого слагаемого равен c+3(-c)=-2c , и уравнение принимает вид 3* 2^(-2c)+11* 2^(2c)-34=0. Положим теперь v=2^(2c) . При cin[-1,0) показатель 2cin[-2,0) , откуда v=2^(2c)in[2^(-2),2^(0))=[14,1). Так как 2^(-2c)=(1)/(2^(2c))=1v , уравнение преобразуется к виду (3)/(v)+11v-34=0 11v^2-34v+3=0. Дискриминант равен 34^2-4* 11* 3=1156-132=1024=32^2 , поэтому v=(34+- 32)/(22), v_1=3, v_2=(2)/(22)=(1)/(11). Оба корня положительны, однако ни один из них не попадает в допустимый промежуток [14,1) : значение v_1=3>1 , а значение v_2=(1)/(11)~ 0,091<14 . Следовательно, в этом случае уравнение решений не имеет. (Геометрически это видно и напрямую: при cin[-1,0) функция g(c)=3* 2^(-2c)+11* 2^(2c)-34 принимает только отрицательные значения — её наибольшее значение достигается на левом конце c=-1 и равно 3* 4+11*14-34=12+2,75-34=-19,25<0 , поэтому уравнение g(c)=0 при cos x<0 невозможно.) **Объединение.** Решения даёт только первый случай. Окончательно x=+-(pi)/(3)+2pi n, ninZ. Проверка. При x=+-(pi)/(3) имеем cos x=12 0 , значит sqrt(1-sin^2 x)=|cos x|=12 . Тогда показатель первого слагаемого равен 12+3*12=2 , а второго — 2cos x=1 , и левая часть равна 3* 2^(2)+11* 2^(1)-34=12+22-34=0, что подтверждает правильность ответа.

\(x = \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\)