Решить уравнение
3⋅2cosx+31−sin2x+11⋅22cosx−34=0.Уравнение
3⋅2cosx+31−sin2x+11⋅22cosx−34=0.определено при всех x: подкоренное выражение 1−sin2x⩾0, а показатели степеней произвольны. Поэтому ОДЗ — всё множество R.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Так как 1−sin2x=cos2x, то
1−sin2x=cos2x=∣cosx∣.Подчеркнём, что здесь стоит именно модуль косинуса, а не сам косинус. Обозначим для краткости c=cosx, где c∈[−1,1]. Тогда показатель первого слагаемого равен c+3∣c∣, и уравнение принимает вид
3⋅2c+3∣c∣+11⋅22c−34=0.Раскрытие модуля ∣c∣ естественно приводит к двум случаям.
Случай 1: cosx⩾0, то есть c∈[0,1].
Здесь ∣c∣=c, показатель первого слагаемого равен c+3c=4c, и уравнение становится
3⋅24c+11⋅22c−34=0.Введём вспомогательную переменную u=22c. Поскольку c∈[0,1], показатель 2c∈[0,2], а значит
u=22c∈[20,22]=[1,4].При этом 24c=(22c)2=u2. Получаем квадратное уравнение
3u2+11u−34=0.Его дискриминант равен 112+4⋅3⋅34=121+408=529=232, поэтому
u=6−11±23,u1=2,u2=−634=−317.Удобно записать это разложением на множители: 3u2+11u−34=(u−2)(3u+17). Корень u2=−317<0 не годится, так как u=22c>0. Корень u1=2 лежит в требуемом промежутке [1,4], значит он допустим. Из равенства
22c=2=21получаем 2c=1, то есть cosx=c=21. Условие cosx⩾0 при этом выполнено. Решение этого простейшего уравнения:
x=±3π+2πn,n∈Z.Случай 2: cosx<0, то есть c∈[−1,0).
Здесь ∣c∣=−c, показатель первого слагаемого равен c+3(−c)=−2c, и уравнение принимает вид
3⋅2−2c+11⋅22c−34=0.Положим теперь v=22c. При c∈[−1,0) показатель 2c∈[−2,0), откуда
v=22c∈[2−2,20)=[41,1).Так как 2−2c=22c1=v1, уравнение преобразуется к виду
v3+11v−34=0⟺11v2−34v+3=0.Дискриминант равен 342−4⋅11⋅3=1156−132=1024=322, поэтому
v=2234±32,v1=3,v2=222=111.Оба корня положительны, однако ни один из них не попадает в допустимый промежуток [41,1): значение v1=3>1, а значение v2=111≈0,091<41. Следовательно, в этом случае уравнение решений не имеет.
(Геометрически это видно и напрямую: при c∈[−1,0) функция g(c)=3⋅2−2c+11⋅22c−34 принимает только отрицательные значения — её наибольшее значение достигается на левом конце c=−1 и равно 3⋅4+11⋅41−34=12+2,75−34=−19,25<0, поэтому уравнение g(c)=0 при cosx<0 невозможно.)
Объединение. Решения даёт только первый случай. Окончательно
x=±3π+2πn,n∈Z.Проверка. При x=±3π имеем cosx=21⩾0, значит 1−sin2x=∣cosx∣=21. Тогда показатель первого слагаемого равен 21+3⋅21=2, а второго — 2cosx=1, и левая часть равна
3⋅22+11⋅21−34=12+22−34=0,что подтверждает правильность ответа.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)