58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T112f,Несмотря на заголовок «Решить неравенство», правая часть равна нулю, поэтому фактически требуется решить уравнение \[2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{\sin 2x+\left(\sqrt{3}+1\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}+3}=0.\] **Замена переменной.** Положим $t=x+\dfrac{\pi}{4}$. Тогда $2x=2t-\dfrac{\pi}{2}$, и \[\sin 2x=\sin\left(2t-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 2t=-(2\cos^2 t-1)=1-2\cos^2 t.\] Подкоренное выражение (обозначим его $P$) принимает вид \[P=1-2\cos^2 t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}+3=-2\cos^2 t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}+4,\] а само уравнение записывается так: \[2\sin t+\sqrt{P}=0,\qquad\text{то есть}\qquad \sqrt{P}=-2\sin t.\] **Необходимое условие.** Левая часть $\sqrt{P}$ неотрицательна, значит, обязательно \[-2\sin t\geqslant 0\iff \sin t\leqslant 0.\tag{1}\] При выполнении условия (1) равенство $\sqrt{P}=-2\sin t$ равносильно возведению в квадрат: \[P=4\sin^2 t=4-4\cos^2 t.\] **Сведение к уравнению относительно $\cos t$.** Перенесём всё в одну часть: \[P-(4-4\cos^2 t)=0,\] \[\bigl(-2\cos^2 t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\tfrac{\sqrt{3}}{2}+4\bigr)-(4-4\cos^2 t)=0,\] \[2\cos^2 t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}=0.\] Левая часть раскладывается на множители: \[2\cos^2 t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\,(2\cos t+1)(2\cos t+\sqrt{3})=0,\] в чём легко убедиться, перемножив скобки: $\dfrac12(4\cos^2 t+2\sqrt3\cos t+2\cos t+\sqrt3)=2\cos^2 t+(\sqrt3+1)\cos t+\dfrac{\sqrt3}{2}$. Отсюда \[\cos t=-\frac{1}{2}\qquad\text{или}\qquad \cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\] **Учёт условия $\sin t\leqslant 0$.** Для каждого значения $\cos t$ есть две серии углов $t$, и из них надо оставить лишь те, где $\sin t\leqslant 0$ (на этих сериях $\sqrt P=-2\sin t$ действительно выполнено, на остальных возведение в квадрат даёт посторонние корни). 1) $\cos t=-\dfrac12$ даёт $t=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$ (здесь $\sin t=\dfrac{\sqrt3}{2}>0$ — отбрасываем) и $t=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$ (здесь $\sin t=-\dfrac{\sqrt3}{2}<0$ — подходит). Остаётся \[t=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k.\] 2) $\cos t=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ даёт $t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ ($\sin t=\dfrac12>0$ — отбрасываем) и $t=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ ($\sin t=-\dfrac12<0$ — подходит). Остаётся \[t=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k.\] **Возврат к $x=t-\dfrac{\pi}{4}$.** \[t=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \Rightarrow\ x=-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+2\pi k=-\frac{11\pi}{12}+2\pi k,\] \[t=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k\ \Rightarrow\ x=-\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}+2\pi k=-\frac{13\pi}{12}+2\pi k.\] Вторую серию приведём к привычному виду: $-\dfrac{13\pi}{12}+2\pi k=\dfrac{11\pi}{12}+2\pi(k-1)$, то есть это $x=\dfrac{11\pi}{12}+2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$. Таким образом, две серии объединяются в одну запись: \[\boxed{\,x=\pm\frac{11\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\,}\] **Проверка серий.** При $x=-\dfrac{11\pi}{12}$ имеем $t=-\dfrac{2\pi}{3}$: $2\sin t=-\sqrt3$, а $P=-2\cdot\dfrac14+(\sqrt3+1)\left(-\dfrac12\right)+\dfrac{\sqrt3}{2}+4=3$, $\sqrt P=\sqrt3$, и сумма $-\sqrt3+\sqrt3=0$. При $x=\dfrac{11\pi}{12}$ (то есть $t=\dfrac{4\pi}{3}+(-2\pi)$, $\cos t=-\tfrac12,\ \sin t=-\tfrac{\sqrt3}{2}$) аналогично получаем $2\sin\!\left(x+\tfrac\pi4\right)=-1$ и $P=1$, $\sqrt P=1$, сумма равна нулю. Отброшенные ветви $x=\dfrac{5\pi}{12}$ и $x=\dfrac{7\pi}{12}$ дают левую часть $2\sqrt3$ и $2$ соответственно (строго положительны) — они действительно посторонние.5c:T122d,**Область определения.** Логарифмы определены при положительных аргументах: \[ \begin{cases}\sqrt{x+4}>0\ \Longleftrightarrow\ x+4>0,\\ 13-x>0,\end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad -40 \), дробь $ \dfrac{2(x+4)}{13-x}>0 $, и знак числителя определяется сравнением её с единицей: \[ N(x)\geqslant 0\ \Longleftrightarrow\ \frac{2(x+4)}{13-x}\geqslant 1\ \Longleftrightarrow\ 2(x+4)\geqslant 13-x\ \Longleftrightarrow\ 3x\geqslant 5\ \Longleftrightarrow\ x\geqslant\frac{5}{3}. \] Итак, на полосе $(-4;\,13)$: \[ N(x)>0\ \text{при}\ x>\tfrac53,\qquad N\!\left(\tfrac53\right)=0,\qquad N(x)<0\ \text{при}\ -40 \), поэтому знак $ D(x) $ совпадает со знаком выражения $ g(x)=|x+3|-2|x-4| $. Найдём нули $ g(x) $. Уравнение $ |x+3|=2|x-4| $ после возведения в квадрат даёт \[ (x+3)^2=4(x-4)^2\ \Longleftrightarrow\ x^2+6x+9=4x^2-32x+64\ \Longleftrightarrow\ 3x^2-38x+55=0, \] откуда $ x=\dfrac{38\pm\sqrt{1444-660}}{6}=\dfrac{38\pm 28}{6} $, то есть $ x=\dfrac53 $ и $ x=11 $. Так как при больших по модулю $ x $ преобладает слагаемое $ -2|x-4| $, парабола-«галочка» $ g(x) $ отрицательна вне промежутка между корнями и положительна внутри: \[ g(x)>0\ \text{при}\ \tfrac5311. \] Следовательно, при $ x\neq 1 $: \[ D(x)>0\ \text{при}\ \tfrac5311. \] Знаменатель обращается в нуль при $ x=1 $ (множитель $ |x-1| $) и при $ x=\tfrac53,\ x=11 $ (множитель $ g $); в этих точках дробь не определена, поэтому они исключаются. **Знак дроби на области определения.** Точки $ x=1,\ \tfrac53,\ 11 $ разбивают полосу $(-4;\,13)$ на четыре промежутка. Составим таблицу знаков (в скобках указано исключение точек, где $ D=0 $): | Промежуток | знак $N$ | знак $D$ | знак $\dfrac{N}{D}$ | |---|---|---|---| | $(-4;\,1)$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $(1;\,\tfrac53)$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $(\tfrac53;\,11)$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $(11;\,13)$ | $+$ | $-$ | $-$ | Поясним крайние случаи. В точке $ x=\tfrac53 $ одновременно $ N=0 $ и $ D=0 $ — это неопределённость вида $ 0/0 $, точка не входит в область определения. В точках $ x=1 $ и $ x=11 $ знаменатель равен нулю — они тоже исключаются. Концы полосы $ x=-4 $ и $ x=13 $ недостижимы по области определения. **Ответ.** Неравенство $ \dfrac{N(x)}{D(x)}\geqslant 0 $ выполнено на тех трёх промежутках, где дробь положительна, с выколотыми точками $ x=1 $ и $ x=\tfrac53 $: \[ \boxed{\,x\in(-4;\,1)\cup\left(1;\,\tfrac53\right)\cup\left(\tfrac53;\,11\right).\,} \]5d:T1688,Обозначим углы пятиугольника при вершинах $B$ и $C$ через $\angle B$ и $\angle C$. По условию диагональ $BE$ делит угол $B$ пополам, а диагональ $CE$ — угол $C$ пополам. Введём обозначения для половинок этих углов: \[\beta=\tfrac12\angle B=\angle ABE=\angle EBC,\qquad \gamma=\tfrac12\angle C=\angle BCE=\angle ECD.\] Диагонали $EB$ и $EC$, проведённые из вершины $E$, разбивают пятиугольник на три треугольника: \[ABCDE=\triangle EAB\cup\triangle EBC\cup\triangle ECD,\] поэтому \[S_{ABCDE}=S_{EAB}+S_{EBC}+S_{ECD}.\] **Шаг 1. Сравнение площадей через общие стороны и равные углы.** Треугольники $EAB$ и $EBC$ имеют общую сторону $EB$, а углы при вершине $B$, прилегающие к этой стороне, равны: $\angle ABE=\angle EBC=\beta$. Запишем площади через эту сторону и угол при $B$: \[S_{EAB}=\tfrac12\cdot BA\cdot BE\cdot\sin\beta,\qquad S_{EBC}=\tfrac12\cdot BC\cdot BE\cdot\sin\beta.\] Отсюда \[\frac{S_{EAB}}{S_{EBC}}=\frac{BA}{BC}.\] Аналогично треугольники $ECD$ и $EBC$ имеют общую сторону $EC$ и равные прилежащие к ней углы при вершине $C$: $\angle ECD=\angle BCE=\gamma$, поэтому \[\frac{S_{ECD}}{S_{EBC}}=\frac{CD}{CB}.\] Следовательно, \[\frac{S_{ABCDE}}{S_{EBC}}=1+\frac{BA}{BC}+\frac{CD}{CB}.\tag{1}\] Остаётся доказать, что $\dfrac{BA}{BC}+\dfrac{CD}{CB}=1$. **Шаг 2. Выражение отношений сторон по теореме синусов.** Углы построенных треугольников определяются однозначно. В треугольнике $ABE$ угол при $A$ равен $35^\circ$, угол при $B$ равен $\beta$, значит угол при $E$ равен $\angle AEB=180^\circ-35^\circ-\beta=145^\circ-\beta$. В треугольнике $BCE$ угол при $E$ равен $\angle BEC=180^\circ-\beta-\gamma$. По теореме синусов: \[\text{в }\triangle ABE:\quad \frac{BA}{\sin\angle AEB}=\frac{BE}{\sin 35^\circ}\ \Rightarrow\ BA=\frac{BE\,\sin(145^\circ-\beta)}{\sin 35^\circ};\] \[\text{в }\triangle BCE:\quad \frac{BC}{\sin\angle BEC}=\frac{BE}{\sin\gamma}\ \Rightarrow\ BC=\frac{BE\,\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}{\sin\gamma}=\frac{BE\,\sin(\beta+\gamma)}{\sin\gamma}.\] Так как $\sin(145^\circ-\beta)=\sin(180^\circ-(145^\circ-\beta))=\sin(35^\circ+\beta)$, получаем \[\frac{BA}{BC}=\frac{\sin\gamma\,\sin(35^\circ+\beta)}{\sin 35^\circ\,\sin(\beta+\gamma)}.\tag{2}\] Точно так же в треугольнике $CDE$ угол при $D$ равен $145^\circ$, угол при $C$ равен $\gamma$, значит $\angle DEC=180^\circ-145^\circ-\gamma=35^\circ-\gamma$. По теореме синусов $CD=\dfrac{CE\,\sin(35^\circ-\gamma)}{\sin 145^\circ}$, а из треугольника $BCE$ имеем $CB=\dfrac{BE\,\sin(\beta+\gamma)}{\sin\gamma}$ и $CE=\dfrac{BE\,\sin\beta}{\sin\gamma}$ (по теореме синусов: $\dfrac{CE}{\sin\angle EBC}=\dfrac{BE}{\sin\angle BCE}$). Учитывая $\sin 145^\circ=\sin 35^\circ$, получаем \[\frac{CD}{CB}=\frac{CE\,\sin(35^\circ-\gamma)}{\sin 145^\circ}\cdot\frac{\sin\gamma}{BE\,\sin(\beta+\gamma)}=\frac{\sin\beta\,\sin(35^\circ-\gamma)}{\sin 35^\circ\,\sin(\beta+\gamma)}.\tag{3}\] **Шаг 3. Свёртка суммы.** Сложим (2) и (3). Числитель суммы (общий знаменатель $\sin 35^\circ\,\sin(\beta+\gamma)$) равен \[N=\sin\gamma\,\sin(35^\circ+\beta)+\sin\beta\,\sin(35^\circ-\gamma).\] Применим к каждому слагаемому формулу $\sin X\sin Y=\tfrac12\big(\cos(X-Y)-\cos(X+Y)\big)$: \[\sin\gamma\,\sin(35^\circ+\beta)=\tfrac12\big(\cos(35^\circ+\beta-\gamma)-\cos(35^\circ+\beta+\gamma)\big),\] \[\sin\beta\,\sin(35^\circ-\gamma)=\tfrac12\big(\cos(35^\circ-\gamma-\beta)-\cos(35^\circ-\gamma+\beta)\big).\] При сложении слагаемые $\cos(35^\circ+\beta-\gamma)$ и $-\cos(35^\circ-\gamma+\beta)$ взаимно уничтожаются, и остаётся \[N=\tfrac12\big(\cos(35^\circ-\beta-\gamma)-\cos(35^\circ+\beta+\gamma)\big)=\sin 35^\circ\,\sin(\beta+\gamma),\] где на последнем шаге снова применена та же формула в обратную сторону. Поэтому \[\frac{BA}{BC}+\frac{CD}{CB}=\frac{N}{\sin 35^\circ\,\sin(\beta+\gamma)}=\frac{\sin 35^\circ\,\sin(\beta+\gamma)}{\sin 35^\circ\,\sin(\beta+\gamma)}=1.\] Ключевую роль здесь играет равенство $35^\circ+145^\circ=180^\circ$: именно из-за него $\sin 145^\circ=\sin 35^\circ$ и сумма свёртывается в единицу. **Шаг 4. Ответ.** Подставляя найденное в (1), получаем \[S_{ABCDE}=S_{EBC}\big(1+1\big)=2\,S_{EBC}=2\cdot 11=22.\] Геометрически это означает, что $S_{EAB}+S_{ECD}=S_{EBC}$: два «боковых» треугольника в сумме дают ровно центральный, и площадь пятиугольника равна удвоенной площади треугольника $BCE$. **Ответ:** площадь пятиугольника $ABCDE$ равна $\boxed{22}$.5e:T1a45,Общая точка графиков — это точка $(x;y)$, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Так как обе функции определены лишь при $x\in[-1,1]$ (из-за $\arcsin x$), всюду далее $x\in[-1,1]$. **Условие на общую точку.** Приравнивая правые части, \[-\frac{2}{3}-\arcsin x=-\frac{2}{3}-2\operatorname{arctg}kx,\] получаем равносильное равенство \[\arcsin x=2\operatorname{arctg}kx.\] При этом ордината общей точки равна $y=-\dfrac{2}{3}-\arcsin x$. **Условие положительности ординаты.** Нужно, чтобы хотя бы у одной общей точки было $y>0$, то есть \[-\frac{2}{3}-\arcsin x>0\iff \arcsin x<-\frac{2}{3}.\] Поскольку функция $\arcsin$ возрастает, это равносильно \[x<\sin\!\left(-\frac{2}{3}\right)=-\sin\frac{2}{3}.\] Обозначим $x_0=-\sin\dfrac{2}{3}$; заметим $-1\le x_0<0$ (так как $0<\tfrac23<\tfrac{\pi}{2}$, поэтому $0<\sin\tfrac23<1$). Итак, задача свелась к следующему: найти все $k$, при которых уравнение \[\arcsin x=2\operatorname{arctg}kx\tag{1}\] имеет хотя бы один корень на полуинтервале $[-1,\,x_0)$. **Замена.** На $[-1,x_0)$ выгодно перейти к переменной $a=\arcsin x$. Когда $x$ пробегает $[-1,x_0)$, число $a$ пробегает полуинтервал \[a\in\left[\arcsin(-1),\ \arcsin x_0\right)=\left[-\frac{\pi}{2},\,-\frac{2}{3}\right),\] причём $x=\sin a$ и соответствие $x\leftrightarrow a$ взаимно однозначно и монотонно. Заметим, что на всём этом промежутке $a<0$, значит и $x=\sin a<0$. Перепишем (1). Так как $\arcsin x=a$, уравнение принимает вид $2\operatorname{arctg}kx=a$, то есть \[\operatorname{arctg}(kx)=\frac{a}{2}.\] При $a\in\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{2}{3}\right)$ имеем $\dfrac{a}{2}\in\left[-\dfrac{\pi}{4},-\dfrac{1}{3}\right)\subset\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$, поэтому можно взять тангенс обеих частей (он на этом участке корректно обращает $\operatorname{arctg}$): \[kx=\operatorname{tg}\frac{a}{2}.\] Подставляя $x=\sin a$ и учитывая $\sin a\neq 0$ (ведь $a\le-\tfrac{2}{3}<0$), выражаем параметр: \[k=\frac{\operatorname{tg}\dfrac{a}{2}}{\sin a}.\] **Упрощение.** Используя $\sin a=2\sin\dfrac{a}{2}\cos\dfrac{a}{2}$ и $\operatorname{tg}\dfrac{a}{2}=\dfrac{\sin\frac{a}{2}}{\cos\frac{a}{2}}$, получаем \[k=\frac{\sin\frac{a}{2}/\cos\frac{a}{2}}{2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}=\frac{1}{2\cos^2\dfrac{a}{2}}.\tag{2}\] (Сокращение на $\sin\frac{a}{2}$ законно: $\frac{a}{2}\in[-\frac{\pi}{4},-\frac13)$, там $\sin\frac{a}{2}\neq0$.) Таким образом, для каждого допустимого $x$ (то есть для каждого $a\in[-\frac{\pi}{2},-\frac23)$) общая точка с положительной ординатой существует тогда и только тогда, когда параметр $k$ равен значению (2). Значит, множество искомых $k$ — это в точности множество значений функции \[k(a)=\frac{1}{2\cos^2\dfrac{a}{2}},\qquad a\in\left[-\frac{\pi}{2},\,-\frac{2}{3}\right).\] **Множество значений.** Исследуем $k(a)$. Пусть $t=\dfrac{a}{2}\in\left[-\dfrac{\pi}{4},\,-\dfrac{1}{3}\right)$. На этом промежутке $t<0$ и $\cos t>0$, а производная \[k'(a)=\frac{d}{da}\left(\frac{1}{2}\cos^{-2}\frac{a}{2}\right)=\frac{\sin\frac{a}{2}}{2\cos^{3}\frac{a}{2}}<0,\] поскольку $\sin\frac{a}{2}<0$, а $\cos^3\frac{a}{2}>0$. Следовательно, $k(a)$ строго убывает на $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{2}{3}\right)$; как непрерывная строго монотонная функция она взаимно однозначно отображает этот полуинтервал на промежуток между значениями на концах. Концы: - при $a=-\dfrac{\pi}{2}$ (это $x=-1$, точка включена): $\dfrac{a}{2}=-\dfrac{\pi}{4}$, $\cos^2\dfrac{a}{2}=\dfrac12$, поэтому \[k=\frac{1}{2\cdot\frac12}=1;\] - при $a\to-\dfrac{2}{3}$ (это $x\to x_0$, точка исключена): $\dfrac{a}{2}\to-\dfrac13$, и \[k\to\frac{1}{2\cos^2\dfrac13}.\] Так как функция убывает, наибольшее значение $k=1$ достигается (левый конец включён), а граничное значение $\dfrac{1}{2\cos^2\frac13}$ не достигается (правый конец исключён). Поэтому множество значений есть \[k\in\left(\frac{1}{2\cos^2\dfrac{1}{3}};\ 1\right].\] **Проверка концов.** - При $k=1$ уравнение (1) даёт $\arcsin x=2\operatorname{arctg}x$; подставляя $x=-1$: слева $\arcsin(-1)=-\dfrac{\pi}{2}$, справа $2\operatorname{arctg}(-1)=2\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\pi}{2}$ — равенство выполнено, общая точка существует, и её ордината $y=-\dfrac23-\arcsin(-1)=-\dfrac23+\dfrac{\pi}{2}>0$. Значит $k=1$ подходит (включаем). - При $k=\dfrac{1}{2\cos^2\frac13}$ единственный подходящий корень даёт $x=x_0$, где $\arcsin x_0=-\dfrac23$ и ордината $y=-\dfrac23-\left(-\dfrac23\right)=0$, то есть НЕ положительна. Значит эта граница не входит (исключаем). Можно ещё убедиться, что вне найденного промежутка решений нет: при $k>1$ (а также при $k\le0$) на участке $[-1,x_0)$ уравнение (1) корней не имеет, что согласуется с тем, что значение $k(a)$ не выходит за $1$. **Ответ.** \[\boxed{\,k\in\left(\dfrac{1}{2\cos^2\dfrac{1}{3}};\ 1\right]\,}\]5f:T18c1,**Ключевые следствия из условия.** Пусть $O$ — центр описанной сферы радиуса $R$. По условию $O$ лежит в плоскости основания. Тогда сечение сферы плоскостью основания — это окружность того же радиуса $R$ с центром $O$, и на ней лежат все четыре вершины основания. Значит, **четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность** (центр $O$, радиус $R$), а вершина $S$ лежит на сфере. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $H$, поместив основание в плоскость $Oxy$. Так как $SH$ — высота пирамиды, $SH\perp$ основанию, то $S=(0,0,h)$, где $h=SH>0$, а сама точка $H=(0,0,0)$ и центр $O$ лежат в плоскости $z=0$. **Степень точки $H$ и нахождение $SH$.** Поскольку $O$ — центр сферы и $S$ на ней, $OS=R$. Отрезок $SH$ перпендикулярен основанию, а $O,H$ лежат в основании, поэтому по теореме Пифагора \[OS^2=OH^2+SH^2\quad\Longrightarrow\quad OH^2-R^2=OH^2-OS^2=-SH^2.\] Величина $OH^2-R^2$ есть степень точки $H$ относительно описанной окружности основания. Диагональ $AC$ — хорда этой окружности, проходящая через внутреннюю точку $H$, поэтому та же степень равна $-HA\cdot HC$. Сравнивая, получаем основное соотношение \[\boxed{\,SH^2=HA\cdot HC\,}.\] Точно так же для второй хорды $BD$: $SH^2=HB\cdot HD$, откуда заодно $HA\cdot HC=HB\cdot HD$ (теорема о пересекающихся хордах). Так как $SH\perp$ основанию, для любой точки $P$ основания $PS^2=PH^2+SH^2$. В частности \[AS^2=HA^2+SH^2=HA^2+HA\cdot HC.\] Подставляя $AS=\dfrac{15}{4}$ и $HC=4$: \[\frac{225}{16}=HA^2+4\,HA\quad\Longrightarrow\quad 16\,HA^2+64\,HA-225=0\quad\Longrightarrow\quad HA=\frac{9}{4}\] (второй корень отрицателен и отбрасывается). Тогда \[SH^2=HA\cdot HC=\frac{9}{4}\cdot4=9,\qquad SH=3.\] **Ребро $CS$.** Так как $SH\perp$ основанию и $CH$ лежит в основании, \[CS=\sqrt{CH^2+SH^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.\] **Ребро $CD$.** Расставим координаты в основании. Диагональ $AC$ направим по оси $Ox$: точка $H$ лежит внутри отрезка $AC$ (диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются внутри), поэтому \[C=(4,0),\qquad A=\left(-\tfrac{9}{4},0\right),\] ведь $HC=4$, $HA=\tfrac{9}{4}$, и $A,C$ лежат по разные стороны от $H$. Серединный перпендикуляр к хорде $AC$ проходит через центр $O$; абсцисса середины $AC$ равна \[\frac{-\tfrac{9}{4}+4}{2}=\frac{7}{8},\] поэтому $O=\left(\tfrac{7}{8},\,k\right)$ при некотором $k$, и радиус определяется из \[R^2=\left(4-\tfrac78\right)^2+k^2=\frac{625}{64}+k^2.\] Пусть $B=(b_x,b_y)$. Условие $AB=BS$ при $BS=\sqrt{HB^2+SH^2}=\sqrt{b_x^2+b_y^2+9}$ даёт \[AB^2=BS^2:\quad \left(b_x+\tfrac94\right)^2+b_y^2=b_x^2+b_y^2+9,\] откуда $\tfrac92\,b_x+\tfrac{81}{16}=9$, то есть $b_x=\dfrac{7}{8}$. Значит, точка $B$ лежит на вертикали $x=\tfrac78$, проходящей через центр $O$. Подставляя $B=\left(\tfrac78,b_y\right)$ в уравнение окружности: \[\left(\tfrac78-\tfrac78\right)^2+(b_y-k)^2=\frac{625}{64}+k^2\quad\Longrightarrow\quad b_y^2-2b_yk=\frac{625}{64}.\] Точки $B$ и $D$ лежат на прямой $BD$, проходящей через $H$, по разные стороны от него, причём $HB\cdot HD=SH^2=9$. Если $HB=\sqrt{b_x^2+b_y^2}=\sqrt{\tfrac{49}{64}+b_y^2}$, то $HD=\dfrac{9}{HB}$, и $D$ получается из направления $B$ сжатием в отношении $HD/HB=9/HB^2$ с противоположным знаком: \[D=\left(-\frac{9\,b_x}{HB^2},\,-\frac{9\,b_y}{HB^2}\right)=\left(-\frac{63/8}{\tfrac{49}{64}+b_y^2},\,-\frac{9\,b_y}{\tfrac{49}{64}+b_y^2}\right).\] (Прямая проверка показывает, что при этом $D$ автоматически попадает на описанную окружность — соотношение пересекающихся хорд эквивалентно вписанности.) Осталось использовать $AD=3$. Записывая $AD^2=9$ с найденными координатами $A$ и $D$, получаем уравнение относительно $b_y$; его решение даёт $b_y^2=\dfrac{33887}{3136}$ (берём $b_y>0$, располагая $B$ над осью $Ox$). Тогда прямое вычисление даёт \[CD^2=(C_x-D_x)^2+(C_y-D_y)^2=\frac{256}{9},\qquad CD=\frac{16}{3}.\] **Проверка согласованности.** При найденных координатах: $HA\cdot HC=9=HB\cdot HD=SH^2$; все четыре вершины $A,B,C,D$ равноудалены от $O$ (лежат на одной окружности радиуса $R=\sqrt{R^2}$); $OS=R$ (вершина $S$ на сфере); диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются строго внутри в точке $H$ (четырёхугольник выпуклый). Все данные условия выполнены: $CH=4$, $AS=\tfrac{15}{4}$, $AD=3$, $AB=BS$. **Ответ:** $CS=5,\qquad CD=\dfrac{16}{3}.$60:T184b,**Замена координат.** Удобно перейти к новым переменным, связанным с направлением прямой $ y=2-x $, то есть $ x+y=2 $. Положим \[ s=x+y,\qquad a=y-x. \] Это поворот осей на $45^\circ$: прямые $ x+y=\text{const} $ — это линии уровня $ s $, а перпендикулярные им прямые (вдоль которых идёт ортогональная проекция на прямую $ x+y=2 $) — это линии уровня $ a $. Поэтому при ортогональной проекции на прямую $ y=2-x $ все точки с одним и тем же значением $ a=y-x $ попадают в одну точку прямой, и положение проекции взаимно однозначно (с точностью до постоянного множителя длины) определяется величиной $ a $. Значит, проекция фигуры — это множество тех значений $ a $, для которых в фигуре есть хотя бы одна точка; число интервалов проекции равно числу интервалов этого множества значений $ a $. **Преобразование первого неравенства.** Заметим, что $ y^2-x^2=(y-x)(y+x)=as $. Прямой подстановкой $ x=\dfrac{s-a}{2},\ y=\dfrac{s+a}{2} $ левая часть приводится к виду \[ \left(y^2-x^2\right)^2+6\left(y^2-x^2\right)-(y+x)^2+5y+7x+1=\left(a^2-1\right)s^2+6(a+1)s+(1-a). \] (Это тождество: после раскрытия обе части совпадают.) Обозначим \[ G(a,s)=\left(a^2-1\right)s^2+6(a+1)s+(1-a). \] Второе неравенство системы $ y>1-x $ есть просто $ s>1 $. Таким образом, фигура задаётся условиями $ G(a,s)<0 $ и $ s>1 $, а вопрос сводится к следующему: **для каких $ a $ существует $ s>1 $ такое, что $ G(a,s)<0 $?** **Анализ как квадратного трёхчлена по $ s $.** Старший коэффициент равен $ a^2-1 $. Понадобятся ещё две величины: \[ G(a,1)=(a^2-1)+6(a+1)+(1-a)=(a+2)(a+3), \] \[ D_s=\bigl(6(a+1)\bigr)^2-4(a^2-1)(1-a)=4(a+1)(a+2)(a+5)\quad(\text{дискриминант по }s). \] Вершина параболы (по $ s $) находится в точке $ s_*=-\dfrac{3(a+1)}{a^2-1}=-\dfrac{3}{a-1} $. Разберём случаи по знаку старшего коэффициента $ a^2-1 $. **Случай $ -11 $ с $ G<0 $. Весь интервал $ (-1;1) $ **входит** в искомое множество. (Подчеркнём: чем ближе $ a $ к границам $ \pm1 $, тем большее $ s $ требуется, но решение всё равно существует.) **Случай $ a>1 $ (ветви вверх).** Тогда все три множителя $ a+1,\ a+2,\ a+5 $ положительны, так что $ D_s>0 $ — корни вещественны. Но вершина $ s_*=-\dfrac{3}{a-1}<0 $ лежит левее $ s=1 $, а при $ s=1 $ значение $ G(a,1)=(a+2)(a+3)>0 $. Так как парабола ветвями вверх и в точке $ s=1 $ положительна, а минимум на луче $ s\ge1 $ достигается в $ s=1 $, то $ G(a,s)>0 $ при всех $ s>1 $. Решений нет. **Случай $ a<-1 $ (ветви вверх).** Здесь $ a+1<0 $. Смотрим на знак $ D_s=4(a+1)(a+2)(a+5) $. - При $ -20 $ всюду. Решений нет. - При $ a<-5 $: $ (-)(-)(-)<0 $, снова $ D_s<0 $, решений нет. - При $ -50 $, корни вещественны, возможно решение. Здесь решающим является знак $ G(a,1)=(a+2)(a+3) $: - при $ -31 $ с $ G<0 $. Эти $ a $ **входят** в множество. - при $ -50 $, а вершина $ s_*=-\dfrac{3}{a-1}\in(0{,}5;\,0{,}75)<1 $, поэтому на луче $ s\ge1 $ минимум достигается в $ s=1 $, где $ G\ge0 $; значит $ G>0 $ при всех $ s>1 $. Решений нет. **Проверка граничных значений.** \[ a=-3:\ G=8s^2-12s+4=4(s-1)(2s-1)>0\ \text{при}\ s>1\ (\text{нет}); \] \[ a=-2:\ G=3(s-1)^2\ge0\ (\text{строго }<0\text{ не бывает, нет}); \] \[ a=-1:\ G\equiv2>0\ (\text{нет}); \qquad a=1:\ G=12s>0\ \text{при}\ s>1\ (\text{нет}). \] Все четыре граничные точки из множества исключаются. **Итог.** Множество значений $ a=y-x $, для которых фигура непуста, есть в точности \[ (-3;\,-2)\ \cup\ (-1;\,1). \] Это два непересекающихся интервала, разделённых промежутком $ [-2;-1] $, на котором точек фигуры нет. Следовательно, ортогональная проекция фигуры на прямую $ y=2-x $ состоит из \[ \boxed{2} \] интервалов.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1998\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 1998\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1998-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T00:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1998\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 1998-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 1998"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1998-05","serverCollection":{"id":"1da09b37-d118-4cb8-bcc5-9869691eb61c","name":"Мехмат МГУ — май 1998","code":"mehmat-1998-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Досрочный экзамен, 1998 год (май)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1998-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1998},"created_at":"2026-06-10T00:20:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"6baf4364-0f33-4910-9203-af5ae21f986e","collection_id":"1da09b37-d118-4cb8-bcc5-9869691eb61c","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"6baf4364-0f33-4910-9203-af5ae21f986e","short_id":18143,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство\n\\[2\\sin\\left(x+\\frac{\\pi}{4}\\right)+\\sqrt{\\sin 2x+\\left(\\sqrt{3}+1\\right)\\cos\\left(x+\\frac{\\pi}{4}\\right)+\\frac{\\sqrt{3}}{2}+3}=0.\\]","answer_text":"\$\\pm\\frac{11\\pi}{12}+2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\pm\\frac{11\\pi}{12}+2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm1998-05","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}},{"problem_id":"86eff0a8-ec56-44e5-9a1e-888db34727c0","collection_id":"1da09b37-d118-4cb8-bcc5-9869691eb61c","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"86eff0a8-ec56-44e5-9a1e-888db34727c0","short_id":18144,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\frac{1+\\log_{\\sqrt{2}}\\sqrt{x+4}+\\log_{\\frac{1}{2}}(13-x)}{\\left|x^2+2x-3\\right|-\\left|2x^2-10x+8\\right|}\\geqslant 0.\\]","answer_text":"\$(-4;\\,1)\\cup\\left(1;\\,\\frac{5}{3}\\right)\\cup\\left(\\frac{5}{3};\\,11\\right)\$","answer":"\$(-4;\\,1)\\cup\\left(1;\\,\\frac{5}{3}\\right)\\cup\\left(\\frac{5}{3};\\,11\\right)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm1998-05","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8a306b8-8780-43ef-a835-654813949c7a","code":"tag-236","name":"Неравенства с модулями"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"8d776dc2-8096-4b28-b8bc-3c810ae41d2e","collection_id":"1da09b37-d118-4cb8-bcc5-9869691eb61c","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"8d776dc2-8096-4b28-b8bc-3c810ae41d2e","short_id":18145,"task_number":18,"topic_id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"В выпуклом пятиугольнике \$ABCDE\$ диагонали \$BE\$ и \$CE\$ являются биссектрисами углов при вершинах \$B\$ и \$C\$ соответственно, \$\\angle A=35^\\circ\$, \$\\angle D=145^\\circ\$, а площадь треугольника \$BCE\$ равна 11. Найти площадь пятиугольника \$ABCDE\$.","answer_text":"\$22\$","answer":"\$22\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm1998-05","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","name":"Подобие и площади","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"7f921f0b-fe67-4487-80ee-57cda7287f48","code":"tag-119","name":"Многоугольники"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"bba42d31-e3f9-4693-8eef-a0ce6f1b0703","code":"tag-178","name":"Многоугольники и их свойства"}]}},{"problem_id":"c170d5c3-c9d2-4db6-a79b-218201c7cec2","collection_id":"1da09b37-d118-4cb8-bcc5-9869691eb61c","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"c170d5c3-c9d2-4db6-a79b-218201c7cec2","short_id":18146,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все значения \$k\$, при которых хотя бы одна общая точка графиков функций\n\\[y=-\\frac{2}{3}-\\arcsin x\\quad\\text{и}\\quad y=-\\frac{2}{3}-2\\operatorname{arctg}kx\\]\nимеет положительную ординату.","answer_text":"\$\\left(\\frac{1}{2\\cos^2\\frac{1}{3}};\\,1\\right]\$","answer":"\$\\left(\\frac{1}{2\\cos^2\\frac{1}{3}};\\,1\\right]\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm1998-05","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"39f76dc0-848e-472d-88e1-62a691f44e23","code":"tag-53","name":"Тригонометрические функции, их графики"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"ab3265df-d5a6-4866-b588-c54002df4a81","code":"tag-159","name":"Левая и правая части в качестве отдельных графиков"}]}},{"problem_id":"eff97a20-e886-43a5-b76f-35fb837158cf","collection_id":"1da09b37-d118-4cb8-bcc5-9869691eb61c","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"eff97a20-e886-43a5-b76f-35fb837158cf","short_id":18147,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Четырехугольная пирамида \$SABCD\$ вписана в сферу, центр которой лежит в плоскости основания \$ABCD\$. Диагонали \$AC\$ и \$BD\$ основания пересекаются в точке \$H\$, причем \$SH\$ — высота пирамиды. Найти ребра \$CS\$ и \$CD\$, если \$CH=4\$, \$AS=3\\frac{3}{4}\$, \$AD=3\$ и \$AB=BS\$.","answer_text":"\$CS=5,\\ CD=\\frac{16}{3}\$","answer":"\$CS=5,\\ CD=\\frac{16}{3}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm1998-05","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"a72afd0c-e842-4936-a7fc-0b005bfdd10e","code":"tag-156","name":"Четырехугольная пирамида"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"}]}},{"problem_id":"3cd3a053-69f5-4454-b930-cecdf0403614","collection_id":"1da09b37-d118-4cb8-bcc5-9869691eb61c","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"3cd3a053-69f5-4454-b930-cecdf0403614","short_id":18148,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Фигура задана на координатной плоскости системой\n\\[\\begin{cases}\\left(y^2-x^2\\right)^2+6\\left(y^2-x^2\\right)-(y+x)^2+5y+7x+1<0,\\\\ y>1-x.\\end{cases}\\]\nСколько интервалов на прямой \$y=2-x\$ образует ортогональная проекция этой фигуры на указанную прямую?","answer_text":"\$2\$","answer":"\$2\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm1998-05","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"06ad091c-9c91-4fe3-aa75-863ee783d1e8","code":"tag-6","name":"Комбинация прямых"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ