Решить неравенство 2sin(x+(pi)/(4))+sqrt(sin 2x+(3+1)cos(x+(pi)/(4))+(3)/(2)+3)=0.

Несмотря на заголовок «Решить неравенство», правая часть равна нулю, поэтому фактически требуется решить уравнение 2sin(x+(pi)/(4))+sqrt(sin 2x+(3+1)cos(x+(pi)/(4))+(3)/(2)+3)=0. **Замена переменной.** Положим t=x+(pi)/(4). Тогда 2x=2t-(pi)/(2), и sin 2x=sin(2t-(pi)/(2))=-cos 2t=-(2cos^2 t-1)=1-2cos^2 t. Подкоренное выражение (обозначим его P) принимает вид P=1-2cos^2 t+(sqrt(3)+1)cos t+(sqrt(3))/(2)+3=-2cos^2 t+(sqrt(3)+1)cos t+(sqrt(3))/(2)+4, а само уравнение записывается так: 2sin t+sqrt(P)=0, то есть sqrt(P)=-2sin t. **Необходимое условие.** Левая часть sqrt(P) неотрицательна, значит, обязательно -2sin t 0 sin t 0.1 При выполнении условия (1) равенство sqrt(P)=-2sin t равносильно возведению в квадрат: P=4sin^2 t=4-4cos^2 t. **Сведение к уравнению относительно cos t.** Перенесём всё в одну часть: P-(4-4cos^2 t)=0, (-2cos^2 t+(sqrt(3)+1)cos t+(sqrt(3))/(2)+4)-(4-4cos^2 t)=0, 2cos^2 t+(sqrt(3)+1)cos t+(sqrt(3))/(2)=0. Левая часть раскладывается на множители: 2cos^2 t+(sqrt(3)+1)cos t+(sqrt(3))/(2)=(1)/(2)(2cos t+1)(2cos t+sqrt(3))=0, в чём легко убедиться, перемножив скобки: 12(4cos^2 t+23cos t+2cos t+3)=2cos^2 t+(3+1)cos t+(3)/(2). Отсюда cos t=-(1)/(2) или cos t=-(sqrt(3))/(2). **Учёт условия sin t 0.** Для каждого значения cos t есть две серии углов t, и из них надо оставить лишь те, где sin t 0 (на этих сериях P=-2sin t действительно выполнено, на остальных возведение в квадрат даёт посторонние корни). 1) cos t=-12 даёт t=(2pi)/(3)+2pi k (здесь sin t=(3)/(2)>0 — отбрасываем) и t=-(2pi)/(3)+2pi k (здесь sin t=-(3)/(2)<0 — подходит). Остаётся t=-(2pi)/(3)+2pi k. 2) cos t=-(3)/(2) даёт t=(5pi)/(6)+2pi k (sin t=12>0 — отбрасываем) и t=-(5pi)/(6)+2pi k (sin t=-12<0 — подходит). Остаётся t=-(5pi)/(6)+2pi k. **Возврат к x=t-(pi)/(4).** t=-(2pi)/(3)+2pi k => x=-(2pi)/(3)-(pi)/(4)+2pi k=-(11pi)/(12)+2pi k, t=-(5pi)/(6)+2pi k => x=-(5pi)/(6)-(pi)/(4)+2pi k=-(13pi)/(12)+2pi k. Вторую серию приведём к привычному виду: -(13pi)/(12)+2pi k=(11pi)/(12)+2pi(k-1), то есть это x=(11pi)/(12)+2pi m, minZ. Таким образом, две серии объединяются в одну запись: x=+-(11pi)/(12)+2pi n, ninZ. **Проверка серий.** При x=-(11pi)/(12) имеем t=-(2pi)/(3): 2sin t=-3, а P=-2*14+(3+1)(-12)+(3)/(2)+4=3, P=3, и сумма -3+3=0. При x=(11pi)/(12) (то есть t=(4pi)/(3)+(-2pi), cos t=-12, sin t=-(3)/(2)) аналогично получаем 2sin(x+4)=-1 и P=1, P=1, сумма равна нулю. Отброшенные ветви x=(5pi)/(12) и x=(7pi)/(12) дают левую часть 23 и 2 соответственно (строго положительны) — они действительно посторонние.

\(\pm\frac{11\pi}{12}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\)