Задача №18143

Решить неравенство

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{\sin 2x+\left(\sqrt{3}+1\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}+3}=0.$$

Несмотря на заголовок «Решить неравенство», правая часть равна нулю, поэтому фактически требуется решить уравнение

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{\sin 2x+\left(\sqrt{3}+1\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}+3}=0.$$

Замена переменной. Положим $t=x+\frac{\pi }{4}\text{.}$ Тогда $2x=2t-\frac{\pi }{2}\text{,}$ и

$$\sin 2x=\sin \left(2t-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos 2t=-(2{\cos }^{2}t-1)=1-2{\cos }^{2}t.$$

Подкоренное выражение (обозначим его $P$) принимает вид

$$P=1-2{\cos }^{2}t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}+3=-2{\cos }^{2}t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}+4,$$

а само уравнение записывается так:

$$2\sin t+\sqrt{P}=0,\text{то есть}\sqrt{P}=-2\sin t.$$

Необходимое условие. Левая часть $\sqrt{P}$ неотрицательна, значит, обязательно

$$-2\sin t⩾0⟺\sin t⩽0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

При выполнении условия (1) равенство $\sqrt{P}=-2\sin t$ равносильно возведению в квадрат:

$$P=4{\sin }^{2}t=4-4{\cos }^{2}t.$$

Сведение к уравнению относительно $\cos t\text{.}$ Перенесём всё в одну часть:

$$P-(4-4{\cos }^{2}t)=0,$$ $$(-2{\cos }^{2}t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}+4)-(4-4{\cos }^{2}t)=0,$$ $$2{\cos }^{2}t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}=0.$$

Левая часть раскладывается на множители:

$$2{\cos }^{2}t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}(2\cos t+1)(2\cos t+\sqrt{3})=0,$$

в чём легко убедиться, перемножив скобки: $\frac{1}{2}(4{\cos }^{2}t+2\sqrt{3}\cos t+2\cos t+\sqrt{3})=2{\cos }^{2}t+(\sqrt{3}+1)\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Отсюда

$$\cos t=-\frac{1}{2}\text{или}\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Учёт условия $\sin t⩽0\text{.}$ Для каждого значения $\cos t$ есть две серии углов $t\text{,}$ и из них надо оставить лишь те, где $\sin t⩽0$ (на этих сериях $\sqrt{P}=-2\sin t$ действительно выполнено, на остальных возведение в квадрат даёт посторонние корни).

1) $\cos t=-\frac{1}{2}$ даёт $t=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ (здесь $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ — отбрасываем) и $t=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ (здесь $\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$ — подходит). Остаётся

$$t=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k.$$

2) $\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ даёт $t=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ ($\sin t=\frac{1}{2}>0$ — отбрасываем) и $t=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ ($\sin t=-\frac{1}{2}<0$ — подходит). Остаётся

$$t=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k.$$

Возврат к $x=t-\frac{\pi }{4}\text{.}$

$$t=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k\Rightarrow x=-\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{4}+2\pi k=-\frac{11\pi }{12}+2\pi k,$$ $$t=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k\Rightarrow x=-\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{4}+2\pi k=-\frac{13\pi }{12}+2\pi k.$$

Вторую серию приведём к привычному виду: $-\frac{13\pi }{12}+2\pi k=\frac{11\pi }{12}+2\pi (k-1)\text{,}$ то есть это $x=\frac{11\pi }{12}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}\text{.}$

Таким образом, две серии объединяются в одну запись:

$$\boxed{x=\pm \frac{11\pi }{12}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.}$$

Проверка серий. При $x=-\frac{11\pi }{12}$ имеем $t=-\frac{2\pi }{3}\text{:}$ $2\sin t=-\sqrt{3}\text{,}$ а $P=-2\cdot \frac{1}{4}+(\sqrt{3}+1)\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}+4=3\text{,}$ $\sqrt{P}=\sqrt{3}\text{,}$ и сумма $-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0\text{.}$ При $x=\frac{11\pi }{12}$ (то есть $t=\frac{4\pi }{3}+(-2\pi )\text{,}$ $\cos t=-\frac{1}{2},\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$) аналогично получаем $2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$ и $P=1\text{,}$ $\sqrt{P}=1\text{,}$ сумма равна нулю. Отброшенные ветви $x=\frac{5\pi }{12}$ и $x=\frac{7\pi }{12}$ дают левую часть $2\sqrt{3}$ и $2$ соответственно (строго положительны) — они действительно посторонние.