Решить неравенство (1+_(sqrt(2))sqrt(x+4)+_(1)2(13-x))/(|x^2+2x-3|-|2x^2-10x+8|) 0.

**Область определения.** Логарифмы определены при положительных аргументах: casessqrt(x+4)>0 x+4>0, 13-x>0,cases -4<x<13. Все дальнейшие выкладки ведём в полосе xin(-4;13) . **Упрощение числителя.** Обозначим числитель через N(x) . Перейдём к логарифму по основанию 2. Так как _(2)sqrt(x+4)=((x+4))/(ln2)=(12ln(x+4))/(12ln 2)=_2(x+4), _(1/2)(13-x)=(ln(13-x))/(ln12)=-_2(13-x), и 1=_2 2, получаем N(x)=_2 2+_2(x+4)-_2(13-x)=_2(2(x+4))/(13-x). Поскольку в области определения 13-x>0 , дробь (2(x+4))/(13-x)>0 , и знак числителя определяется сравнением её с единицей: N(x) 0 (2(x+4))/(13-x) 1 2(x+4) 13-x 3x 5 x(5)/(3). Итак, на полосе (-4;13): N(x)>0 при x>53, N(53)=0, N(x)<0 при -4<x<53. **Упрощение знаменателя.** Разложим квадратные трёхчлены на множители: x^2+2x-3=(x+3)(x-1), 2x^2-10x+8=2(x-1)(x-4). Тогда знаменатель D(x) равен D(x)=|(x+3)(x-1)|-|2(x-1)(x-4)|=|x-1|*(|x+3|-2|x-4|), поскольку |x-1| — общий неотрицательный множитель. При x!= 1 множитель |x-1|>0 , поэтому знак D(x) совпадает со знаком выражения g(x)=|x+3|-2|x-4| . Найдём нули g(x) . Уравнение |x+3|=2|x-4| после возведения в квадрат даёт (x+3)^2=4(x-4)^2 x^2+6x+9=4x^2-32x+64 3x^2-38x+55=0, откуда x=(38+-sqrt(1444-660))/(6)=(38+- 28)/(6) , то есть x=53 и x=11 . Так как при больших по модулю x преобладает слагаемое -2|x-4| , парабола-«галочка» g(x) отрицательна вне промежутка между корнями и положительна внутри: g(x)>0 при 53<x<11, g(x)<0 при x<53 или x>11. Следовательно, при x!= 1 : D(x)>0 при 53<x<11, D(x)<0 при x<53 или x>11. Знаменатель обращается в нуль при x=1 (множитель |x-1| ) и при x=53, x=11 (множитель g ); в этих точках дробь не определена, поэтому они исключаются. **Знак дроби на области определения.** Точки x=1, 53, 11 разбивают полосу (-4;13) на четыре промежутка. Составим таблицу знаков (в скобках указано исключение точек, где D=0 ): | Промежуток | знак N | знак D | знак (N)/(D) | |---|---|---|---| | (-4;1) | - | - | + | | (1;53) | - | - | + | | (53;11) | + | + | + | | (11;13) | + | - | - | Поясним крайние случаи. В точке x=53 одновременно N=0 и D=0 — это неопределённость вида 0/0 , точка не входит в область определения. В точках x=1 и x=11 знаменатель равен нулю — они тоже исключаются. Концы полосы x=-4 и x=13 недостижимы по области определения. **Ответ.** Неравенство (N(x))/(D(x)) 0 выполнено на тех трёх промежутках, где дробь положительна, с выколотыми точками x=1 и x=53 : xin(-4;1)U(1;53)U(53;11).

\((-4;\,1)\cup\left(1;\,\frac{5}{3}\right)\cup\left(\frac{5}{3};\,11\right)\)