Задача №18144

Решить неравенство

$$\frac{1+{\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x+4}+{\log }_{\frac{1}{2}}(13-x)}{\left|x^2+2x-3\right|-\left|2x^2-10x+8\right|}⩾0.$$

Область определения. Логарифмы определены при положительных аргументах:

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{x+4}>0⟺x+4>0,\\ 13-x>0,\end{array}⟺-4<x<13.$$

Все дальнейшие выкладки ведём в полосе $x\in (-4;13)\text{.}$

Упрощение числителя. Обозначим числитель через $N(x)\text{.}$ Перейдём к логарифму по основанию $2\text{.}$ Так как

$${\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x+4}=\frac{\ln \sqrt{x+4}}{\ln \sqrt{2}}=\frac{\frac{1}{2}\ln (x+4)}{\frac{1}{2}\ln 2}={\log }_2(x+4),{\log }_{1/2}(13-x)=\frac{\ln (13-x)}{\ln \frac{1}{2}}=-{\log }_2(13-x),$$

и $1={\log }_{2}2\text{,}$ получаем

$$N(x)={\log }_{2}2+{\log }_2(x+4)-{\log }_2(13-x)={\log }_2\frac{2(x+4)}{13-x}.$$

Поскольку в области определения $13-x>0\text{,}$ дробь $\frac{2(x+4)}{13-x}>0\text{,}$ и знак числителя определяется сравнением её с единицей:

$$N(x)⩾0⟺\frac{2(x+4)}{13-x}⩾1⟺2(x+4)⩾13-x⟺3x⩾5⟺x⩾\frac{5}{3}.$$

Итак, на полосе $(-4;13)\text{:}$

$$N(x)>0\text{при}x>\frac{5}{3},N\left(\frac{5}{3}\right)=0,N(x)<0\text{при}-4<x<\frac{5}{3}.$$

Упрощение знаменателя. Разложим квадратные трёхчлены на множители:

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),2x^2-10x+8=2(x-1)(x-4).$$

Тогда знаменатель $D(x)$ равен

$$D(x)=|(x+3)(x-1)|-|2(x-1)(x-4)|=|x-1|\cdot (|x+3|-2|x-4|),$$

поскольку $|x-1|$ — общий неотрицательный множитель. При $x\ne 1$ множитель $|x-1|>0\text{,}$ поэтому знак $D(x)$ совпадает со знаком выражения $g(x)=|x+3|-2|x-4|\text{.}$

Найдём нули $g(x)\text{.}$ Уравнение $|x+3|=2|x-4|$ после возведения в квадрат даёт

$$(x+3{)}^2=4(x-4{)}^2⟺x^2+6x+9=4x^2-32x+64⟺3x^2-38x+55=0,$$

откуда $x=\frac{38\pm \sqrt{1444-660}}{6}=\frac{38\pm 28}{6}\text{,}$ то есть $x=\frac{5}{3}$ и $x=11\text{.}$ Так как при больших по модулю $x$ преобладает слагаемое $-2|x-4|\text{,}$ парабола-«галочка» $g(x)$ отрицательна вне промежутка между корнями и положительна внутри:

$$g(x)>0\text{при}\frac{5}{3}<x<11,g(x)<0\text{при}x<\frac{5}{3}\text{или}x>11.$$

Следовательно, при $x\ne 1\text{:}$

$$D(x)>0\text{при}\frac{5}{3}<x<11,D(x)<0\text{при}x<\frac{5}{3}\text{или}x>11.$$

Знаменатель обращается в нуль при $x=1$ (множитель $|x-1|$) и при $x=\frac{5}{3},x=11$ (множитель $g$); в этих точках дробь не определена, поэтому они исключаются.

Знак дроби на области определения. Точки $x=1,\frac{5}{3},11$ разбивают полосу $(-4;13)$ на четыре промежутка. Составим таблицу знаков (в скобках указано исключение точек, где $D=0$):

Поясним крайние случаи. В точке $x=\frac{5}{3}$ одновременно $N=0$ и $D=0$ — это неопределённость вида $0/0\text{,}$ точка не входит в область определения. В точках $x=1$ и $x=11$ знаменатель равен нулю — они тоже исключаются. Концы полосы $x=-4$ и $x=13$ недостижимы по области определения.

Ответ. Неравенство $\frac{N(x)}{D(x)}⩾0$ выполнено на тех трёх промежутках, где дробь положительна, с выколотыми точками $x=1$ и $x=\frac{5}{3}\text{:}$

$$\boxed{x\in (-4;1)\cup \left(1;\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{5}{3};11\right).}$$