Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно, ∠A=35∘, ∠D=145∘, а площадь треугольника BCE равна 11. Найти площадь пятиугольника ABCDE.
Обозначим углы пятиугольника при вершинах B и C через ∠B и ∠C. По условию диагональ BE делит угол B пополам, а диагональ CE — угол C пополам. Введём обозначения для половинок этих углов:
β=21∠B=∠ABE=∠EBC,γ=21∠C=∠BCE=∠ECD.Диагонали EB и EC, проведённые из вершины E, разбивают пятиугольник на три треугольника:
ABCDE=△EAB∪△EBC∪△ECD,поэтому
SABCDE=SEAB+SEBC+SECD.Шаг 1. Сравнение площадей через общие стороны и равные углы.
Треугольники EAB и EBC имеют общую сторону EB, а углы при вершине B, прилегающие к этой стороне, равны: ∠ABE=∠EBC=β. Запишем площади через эту сторону и угол при B:
SEAB=21⋅BA⋅BE⋅sinβ,SEBC=21⋅BC⋅BE⋅sinβ.Отсюда
SEBCSEAB=BCBA.Аналогично треугольники ECD и EBC имеют общую сторону EC и равные прилежащие к ней углы при вершине C: ∠ECD=∠BCE=γ, поэтому
SEBCSECD=CBCD.Следовательно,
SEBCSABCDE=1+BCBA+CBCD.(1)Остаётся доказать, что BCBA+CBCD=1.
Шаг 2. Выражение отношений сторон по теореме синусов.
Углы построенных треугольников определяются однозначно. В треугольнике ABE угол при A равен 35∘, угол при B равен β, значит угол при E равен ∠AEB=180∘−35∘−β=145∘−β. В треугольнике BCE угол при E равен ∠BEC=180∘−β−γ. По теореме синусов:
в △ABE:sin∠AEBBA=sin35∘BE ⇒ BA=sin35∘BEsin(145∘−β); в △BCE:sin∠BECBC=sinγBE ⇒ BC=sinγBEsin(180∘−β−γ)=sinγBEsin(β+γ).Так как sin(145∘−β)=sin(180∘−(145∘−β))=sin(35∘+β), получаем
BCBA=sin35∘sin(β+γ)sinγsin(35∘+β).(2)Точно так же в треугольнике CDE угол при D равен 145∘, угол при C равен γ, значит ∠DEC=180∘−145∘−γ=35∘−γ. По теореме синусов CD=sin145∘CEsin(35∘−γ), а из треугольника BCE имеем CB=sinγBEsin(β+γ) и CE=sinγBEsinβ (по теореме синусов: sin∠EBCCE=sin∠BCEBE). Учитывая sin145∘=sin35∘, получаем
CBCD=sin145∘CEsin(35∘−γ)⋅BEsin(β+γ)sinγ=sin35∘sin(β+γ)sinβsin(35∘−γ).(3)Шаг 3. Свёртка суммы.
Сложим (2) и (3). Числитель суммы (общий знаменатель sin35∘sin(β+γ)) равен
N=sinγsin(35∘+β)+sinβsin(35∘−γ).Применим к каждому слагаемому формулу sinXsinY=21(cos(X−Y)−cos(X+Y)):
sinγsin(35∘+β)=21(cos(35∘+β−γ)−cos(35∘+β+γ)), sinβsin(35∘−γ)=21(cos(35∘−γ−β)−cos(35∘−γ+β)).При сложении слагаемые cos(35∘+β−γ) и −cos(35∘−γ+β) взаимно уничтожаются, и остаётся
N=21(cos(35∘−β−γ)−cos(35∘+β+γ))=sin35∘sin(β+γ),где на последнем шаге снова применена та же формула в обратную сторону. Поэтому
BCBA+CBCD=sin35∘sin(β+γ)N=sin35∘sin(β+γ)sin35∘sin(β+γ)=1.Ключевую роль здесь играет равенство 35∘+145∘=180∘: именно из-за него sin145∘=sin35∘ и сумма свёртывается в единицу.
Шаг 4. Ответ.
Подставляя найденное в (1), получаем
SABCDE=SEBC(1+1)=2SEBC=2⋅11=22.Геометрически это означает, что SEAB+SECD=SEBC: два «боковых» треугольника в сумме дают ровно центральный, и площадь пятиугольника равна удвоенной площади треугольника BCE.
Ответ: площадь пятиугольника ABCDE равна 22.