В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно, A=35^, D=145^, а площадь треугольника BCE равна 11. Найти площадь пятиугольника ABCDE.

Обозначим углы пятиугольника при вершинах B и C через B и C. По условию диагональ BE делит угол B пополам, а диагональ CE — угол C пополам. Введём обозначения для половинок этих углов: beta=12 B= ABE= EBC, gamma=12 C= BCE= ECD. Диагонали EB и EC, проведённые из вершины E, разбивают пятиугольник на три треугольника: ABCDE= EABU EBCU ECD, поэтому S_(ABCDE)=S_(EAB)+S_(EBC)+S_(ECD). **Шаг 1. Сравнение площадей через общие стороны и равные углы.** Треугольники EAB и EBC имеют общую сторону EB, а углы при вершине B, прилегающие к этой стороне, равны: ABE= EBC=beta. Запишем площади через эту сторону и угол при B: S_(EAB)=12* BA* BE*, S_(EBC)=12* BC* BE*. Отсюда (S_(EAB))/(S_(EBC))=(BA)/(BC). Аналогично треугольники ECD и EBC имеют общую сторону EC и равные прилежащие к ней углы при вершине C: ECD= BCE=gamma, поэтому (S_(ECD))/(S_(EBC))=(CD)/(CB). Следовательно, (S_(ABCDE))/(S_(EBC))=1+(BA)/(BC)+(CD)/(CB).1 Остаётся доказать, что (BA)/(BC)+(CD)/(CB)=1. **Шаг 2. Выражение отношений сторон по теореме синусов.** Углы построенных треугольников определяются однозначно. В треугольнике ABE угол при A равен 35^, угол при B равен beta, значит угол при E равен AEB=180^-35^-beta=145^-beta. В треугольнике BCE угол при E равен BEC=180^-beta-gamma. По теореме синусов: в ABE: (BA)/(sin AEB)=(BE)/(sin 35^) => BA=(BEsin(145^-beta))/(sin 35^); в BCE: (BC)/(sin BEC)=(BE)/() => BC=(BEsin(180^-beta-gamma))/()=(BEsin(beta+gamma))/(). Так как sin(145^-beta)=sin(180^-(145^-beta))=sin(35^+beta), получаем (BA)/(BC)=((35^+beta))/(sin 35^(beta+gamma)).2 Точно так же в треугольнике CDE угол при D равен 145^, угол при C равен gamma, значит DEC=180^-145^-gamma=35^-gamma. По теореме синусов CD=(CEsin(35^-gamma))/(sin 145^), а из треугольника BCE имеем CB=(BEsin(beta+gamma))/() и CE=(BE)/() (по теореме синусов: (CE)/(sin EBC)=(BE)/(sin BCE)). Учитывая sin 145^=sin 35^, получаем (CD)/(CB)=(CEsin(35^-gamma))/(sin 145^)*()/(BEsin(beta+gamma))=((35^-gamma))/(sin 35^(beta+gamma)).3 **Шаг 3. Свёртка суммы.** Сложим (2) и (3). Числитель суммы (общий знаменатель sin 35^(beta+gamma)) равен N=(35^+beta)+(35^-gamma). Применим к каждому слагаемому формулу sin Xsin Y=12(cos(X-Y)-cos(X+Y)): (35^+beta)=12(cos(35^+beta-gamma)-cos(35^+beta+gamma)), (35^-gamma)=12(cos(35^-gamma-beta)-cos(35^-gamma+beta)). При сложении слагаемые cos(35^+beta-gamma) и -cos(35^-gamma+beta) взаимно уничтожаются, и остаётся N=12(cos(35^-beta-gamma)-cos(35^+beta+gamma))=sin 35^(beta+gamma), где на последнем шаге снова применена та же формула в обратную сторону. Поэтому (BA)/(BC)+(CD)/(CB)=(N)/(sin 35^(beta+gamma))=(sin 35^(beta+gamma))/(sin 35^(beta+gamma))=1. Ключевую роль здесь играет равенство 35^+145^=180^: именно из-за него sin 145^=sin 35^ и сумма свёртывается в единицу. **Шаг 4. Ответ.** Подставляя найденное в (1), получаем S_(ABCDE)=S_(EBC)(1+1)=2S_(EBC)=2* 11=22. Геометрически это означает, что S_(EAB)+S_(ECD)=S_(EBC): два «боковых» треугольника в сумме дают ровно центральный, и площадь пятиугольника равна удвоенной площади треугольника BCE. **Ответ:** площадь пятиугольника ABCDE равна 22.

\(22\)