Задача №18147

Четырехугольная пирамида $SABCD$ вписана в сферу, центр которой лежит в плоскости основания $ABCD\text{.}$ Диагонали $AC$ и $BD$ основания пересекаются в точке $H\text{,}$ причем $SH$ — высота пирамиды. Найти ребра $CS$ и $CD\text{,}$ если $CH=4\text{,}$ $AS=3\frac{3}{4}\text{,}$ $AD=3$ и $AB=BS\text{.}$

Ключевые следствия из условия. Пусть $O$ — центр описанной сферы радиуса $R\text{.}$ По условию $O$ лежит в плоскости основания. Тогда сечение сферы плоскостью основания — это окружность того же радиуса $R$ с центром $O\text{,}$ и на ней лежат все четыре вершины основания. Значит, четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность (центр $O\text{,}$ радиус $R$), а вершина $S$ лежит на сфере.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $H\text{,}$ поместив основание в плоскость $Oxy\text{.}$ Так как $SH$ — высота пирамиды, $SH\perp$ основанию, то $S=(0,0,h)\text{,}$ где $h=SH>0\text{,}$ а сама точка $H=(0,0,0)$ и центр $O$ лежат в плоскости $z=0\text{.}$

Степень точки $H$ и нахождение $SH\text{.}$ Поскольку $O$ — центр сферы и $S$ на ней, $OS=R\text{.}$ Отрезок $SH$ перпендикулярен основанию, а $O,H$ лежат в основании, поэтому по теореме Пифагора

Величина $O{H}^2-R^2$ есть степень точки $H$ относительно описанной окружности основания. Диагональ $AC$ — хорда этой окружности, проходящая через внутреннюю точку $H\text{,}$ поэтому та же степень равна $-HA\cdot HC\text{.}$ Сравнивая, получаем основное соотношение

Точно так же для второй хорды $BD\text{:}$ $S{H}^2=HB\cdot HD\text{,}$ откуда заодно $HA\cdot HC=HB\cdot HD$ (теорема о пересекающихся хордах).

Так как $SH\perp$ основанию, для любой точки $P$ основания $P{S}^2=P{H}^2+S{H}^2\text{.}$ В частности

Подставляя $AS=\frac{15}{4}$ и $HC=4\text{:}$

(второй корень отрицателен и отбрасывается). Тогда

Ребро $CS\text{.}$ Так как $SH\perp$ основанию и $CH$ лежит в основании,

Ребро $CD\text{.}$ Расставим координаты в основании. Диагональ $AC$ направим по оси $Ox\text{:}$ точка $H$ лежит внутри отрезка $AC$ (диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются внутри), поэтому

ведь $HC=4\text{,}$ $HA=\frac{9}{4}\text{,}$ и $A,C$ лежат по разные стороны от $H\text{.}$

Серединный перпендикуляр к хорде $AC$ проходит через центр $O\text{;}$ абсцисса середины $AC$ равна

поэтому $O=\left(\frac{7}{8},k\right)$ при некотором $k\text{,}$ и радиус определяется из

Пусть $B=(b_x,b_y)\text{.}$ Условие $AB=BS$ при $BS=\sqrt{H{B}^2+S{H}^2}=\sqrt{b_x^2+b_y^2+9}$ даёт

откуда $\frac{9}{2}{b}_x+\frac{81}{16}=9\text{,}$ то есть $b_x=\frac{7}{8}\text{.}$ Значит, точка $B$ лежит на вертикали $x=\frac{7}{8}\text{,}$ проходящей через центр $O\text{.}$ Подставляя $B=\left(\frac{7}{8},b_y\right)$ в уравнение окружности:

Точки $B$ и $D$ лежат на прямой $BD\text{,}$ проходящей через $H\text{,}$ по разные стороны от него, причём $HB\cdot HD=S{H}^2=9\text{.}$ Если $HB=\sqrt{b_x^2+b_y^2}=\sqrt{\frac{49}{64}+b_y^2}\text{,}$ то $HD=\frac{9}{HB}\text{,}$ и $D$ получается из направления $B$ сжатием в отношении $HD/HB=9/H{B}^2$ с противоположным знаком:

(Прямая проверка показывает, что при этом $D$ автоматически попадает на описанную окружность — соотношение пересекающихся хорд эквивалентно вписанности.)

Осталось использовать $AD=3\text{.}$ Записывая $A{D}^2=9$ с найденными координатами $A$ и $D\text{,}$ получаем уравнение относительно $b_y\text{;}$ его решение даёт $b_y^2=\frac{33887}{3136}$ (берём $b_y>0\text{,}$ располагая $B$ над осью $Ox$). Тогда прямое вычисление даёт

Проверка согласованности. При найденных координатах: $HA\cdot HC=9=HB\cdot HD=S{H}^2\text{;}$ все четыре вершины $A,B,C,D$ равноудалены от $O$ (лежат на одной окружности радиуса $R=\sqrt{R^2}$); $OS=R$ (вершина $S$ на сфере); диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются строго внутри в точке $H$ (четырёхугольник выпуклый). Все данные условия выполнены: $CH=4\text{,}$ $AS=\frac{15}{4}\text{,}$ $AD=3\text{,}$ $AB=BS\text{.}$

Ответ: $CS=5,CD=\frac{16}{3}.$