Четырехугольная пирамида SABCD вписана в сферу, центр которой лежит в плоскости основания ABCD. Диагонали AC и BD основания пересекаются в точке H, причем SH — высота пирамиды. Найти ребра CS и CD, если CH=4, AS=3(3)/(4), AD=3 и AB=BS.

**Ключевые следствия из условия.** Пусть O — центр описанной сферы радиуса R. По условию O лежит в плоскости основания. Тогда сечение сферы плоскостью основания — это окружность того же радиуса R с центром O, и на ней лежат все четыре вершины основания. Значит, **четырёхугольник ABCD вписан в окружность** (центр O, радиус R), а вершина S лежит на сфере. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке H, поместив основание в плоскость Oxy. Так как SH — высота пирамиды, SH основанию, то S=(0,0,h), где h=SH>0, а сама точка H=(0,0,0) и центр O лежат в плоскости z=0. **Степень точки H и нахождение SH.** Поскольку O — центр сферы и S на ней, OS=R. Отрезок SH перпендикулярен основанию, а O,H лежат в основании, поэтому по теореме Пифагора OS^2=OH^2+SH^2 OH^2-R^2=OH^2-OS^2=-SH^2. Величина OH^2-R^2 есть степень точки H относительно описанной окружности основания. Диагональ AC — хорда этой окружности, проходящая через внутреннюю точку H, поэтому та же степень равна -HA* HC. Сравнивая, получаем основное соотношение SH^2=HA* HC. Точно так же для второй хорды BD: SH^2=HB* HD, откуда заодно HA* HC=HB* HD (теорема о пересекающихся хордах). Так как SH основанию, для любой точки P основания PS^2=PH^2+SH^2. В частности AS^2=HA^2+SH^2=HA^2+HA* HC. Подставляя AS=(15)/(4) и HC=4: (225)/(16)=HA^2+4HA 16HA^2+64HA-225=0 HA=(9)/(4) (второй корень отрицателен и отбрасывается). Тогда SH^2=HA* HC=(9)/(4)*4=9, SH=3. **Ребро CS.** Так как SH основанию и CH лежит в основании, CS=sqrt(CH^2+SH^2)=sqrt(16+9)=sqrt(25)=5. **Ребро CD.** Расставим координаты в основании. Диагональ AC направим по оси Ox: точка H лежит внутри отрезка AC (диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются внутри), поэтому C=(4,0), A=(-(9)/(4),0), ведь HC=4, HA=(9)/(4), и A,C лежат по разные стороны от H. Серединный перпендикуляр к хорде AC проходит через центр O; абсцисса середины AC равна (-(9)/(4)+4)/(2)=(7)/(8), поэтому O=((7)/(8),k) при некотором k, и радиус определяется из R^2=(4-78)^2+k^2=(625)/(64)+k^2. Пусть B=(b_x,b_y). Условие AB=BS при BS=sqrt(HB^2+SH^2)=sqrt(b_x^2+b_y^2+9) даёт AB^2=BS^2: (b_x+94)^2+b_y^2=b_x^2+b_y^2+9, откуда 92b_x+(81)/(16)=9, то есть b_x=(7)/(8). Значит, точка B лежит на вертикали x=78, проходящей через центр O. Подставляя B=(78,b_y) в уравнение окружности: (78-78)^2+(b_y-k)^2=(625)/(64)+k^2 b_y^2-2b_yk=(625)/(64). Точки B и D лежат на прямой BD, проходящей через H, по разные стороны от него, причём HB* HD=SH^2=9. Если HB=sqrt(b_x^2+b_y^2)=sqrt((49)/(64)+b_y^2), то HD=(9)/(HB), и D получается из направления B сжатием в отношении HD/HB=9/HB^2 с противоположным знаком: D=(-(9b_x)/(HB^2),-(9b_y)/(HB^2))=(-(63/8)/((49)/(64)+b_y^2),-(9b_y)/((49)/(64)+b_y^2)). (Прямая проверка показывает, что при этом D автоматически попадает на описанную окружность — соотношение пересекающихся хорд эквивалентно вписанности.) Осталось использовать AD=3. Записывая AD^2=9 с найденными координатами A и D, получаем уравнение относительно b_y; его решение даёт b_y^2=(33887)/(3136) (берём b_y>0, располагая B над осью Ox). Тогда прямое вычисление даёт CD^2=(C_x-D_x)^2+(C_y-D_y)^2=(256)/(9), CD=(16)/(3). **Проверка согласованности.** При найденных координатах: HA* HC=9=HB* HD=SH^2; все четыре вершины A,B,C,D равноудалены от O (лежат на одной окружности радиуса R=sqrt(R^2)); OS=R (вершина S на сфере); диагонали AC и BD пересекаются строго внутри в точке H (четырёхугольник выпуклый). Все данные условия выполнены: CH=4, AS=(15)/(4), AD=3, AB=BS. **Ответ:** CS=5, CD=(16)/(3).

\(CS=5,\ CD=\frac{16}{3}\)