Найти все значения k, при которых хотя бы одна общая точка графиков функций y=-(2)/(3)-arcsin x и y=-(2)/(3)-2arctgkx имеет положительную ординату.

Общая точка графиков — это точка (x;y), координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Так как обе функции определены лишь при xin[-1,1] (из-за arcsin x), всюду далее xin[-1,1]. **Условие на общую точку.** Приравнивая правые части, -(2)/(3)-arcsin x=-(2)/(3)-2arctgkx, получаем равносильное равенство arcsin x=2arctgkx. При этом ордината общей точки равна y=-(2)/(3)-arcsin x. **Условие положительности ординаты.** Нужно, чтобы хотя бы у одной общей точки было y>0, то есть -(2)/(3)-arcsin x>0 arcsin x<-(2)/(3). Поскольку функция arcsin возрастает, это равносильно x<sin(-(2)/(3))=-sin(2)/(3). Обозначим x_0=-sin(2)/(3); заметим -1<= x_0<0 (так как 0<23<(pi)/(2), поэтому 0<sin23<1). Итак, задача свелась к следующему: найти все k, при которых уравнение arcsin x=2arctgkx1 имеет хотя бы один корень на полуинтервале [-1,x_0). **Замена.** На [-1,x_0) выгодно перейти к переменной a=arcsin x. Когда x пробегает [-1,x_0), число a пробегает полуинтервал ain[arcsin(-1), arcsin x_0)=[-(pi)/(2),-(2)/(3)), причём x=sin a и соответствие x a взаимно однозначно и монотонно. Заметим, что на всём этом промежутке a<0, значит и x=sin a<0. Перепишем (1). Так как arcsin x=a, уравнение принимает вид 2arctgkx=a, то есть arctg(kx)=(a)/(2). При ain[-(pi)/(2),-(2)/(3)) имеем (a)/(2)in[-(pi)/(4),-(1)/(3))c(-(pi)/(2),(pi)/(2)), поэтому можно взять тангенс обеих частей (он на этом участке корректно обращает arctg): kx=tg(a)/(2). Подставляя x=sin a и учитывая sin a!= 0 (ведь a<=-(2)/(3)<0), выражаем параметр: k=(tg(a)/(2))/(sin a). **Упрощение.** Используя sin a=2sin(a)/(2)cos(a)/(2) и tg(a)/(2)=(sin(a)/(2))/(cos(a)/(2)), получаем k=(sina2/cosa2)/(2sina2cosa2)=(1)/(2cos^2(a)/(2)).2 (Сокращение на sin(a)/(2) законно: (a)/(2)in[-(pi)/(4),-13), там sin(a)/(2)0.) Таким образом, для каждого допустимого x (то есть для каждого ain[-(pi)/(2),-23)) общая точка с положительной ординатой существует тогда и только тогда, когда параметр k равен значению (2). Значит, множество искомых k — это в точности множество значений функции k(a)=(1)/(2cos^2(a)/(2)), ain[-(pi)/(2),-(2)/(3)). **Множество значений.** Исследуем k(a). Пусть t=(a)/(2)in[-(pi)/(4),-(1)/(3)). На этом промежутке t<0 и cos t>0, а производная k'(a)=(d)/(da)((1)/(2)cos^(-2)(a)/(2))=(sina2)/(2cos^(3)a2)<0, поскольку sin(a)/(2)<0, а cos^3(a)/(2)>0. Следовательно, k(a) строго убывает на [-(pi)/(2),-(2)/(3)); как непрерывная строго монотонная функция она взаимно однозначно отображает этот полуинтервал на промежуток между значениями на концах. Концы: - при a=-(pi)/(2) (это x=-1, точка включена): (a)/(2)=-(pi)/(4), cos^2(a)/(2)=12, поэтому k=(1)/(2*12)=1; - при a-(2)/(3) (это x x_0, точка исключена): (a)/(2)-13, и k(1)/(2cos^213). Так как функция убывает, наибольшее значение k=1 достигается (левый конец включён), а граничное значение (1)/(2cos^213) не достигается (правый конец исключён). Поэтому множество значений есть kin((1)/(2cos^2(1)/(3)); 1]. **Проверка концов.** - При k=1 уравнение (1) даёт arcsin x=2arctgx; подставляя x=-1: слева arcsin(-1)=-(pi)/(2), справа 2arctg(-1)=2*(-(pi)/(4))=-(pi)/(2) — равенство выполнено, общая точка существует, и её ордината y=-23-arcsin(-1)=-23+(pi)/(2)>0. Значит k=1 подходит (включаем). - При k=(1)/(2cos^213) единственный подходящий корень даёт x=x_0, где arcsin x_0=-23 и ордината y=-23-(-23)=0, то есть НЕ положительна. Значит эта граница не входит (исключаем). Можно ещё убедиться, что вне найденного промежутка решений нет: при k>1 (а также при k0) на участке [-1,x_0) уравнение (1) корней не имеет, что согласуется с тем, что значение k(a) не выходит за 1. **Ответ.** kin((1)/(2cos^213); 1]

\(\left(\frac{1}{2\cos^2\frac{1}{3}};\,1\right]\)