Задача №18146

Найти все значения $k\text{,}$ при которых хотя бы одна общая точка графиков функций

$$y=-\frac{2}{3}-\arcsin x\text{и}y=-\frac{2}{3}-2\mathrm{arctg}kx$$

имеет положительную ординату.

Общая точка графиков — это точка $(x;y)\text{,}$ координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Так как обе функции определены лишь при $x\in [-1,1]$ (из-за $\arcsin x$), всюду далее $x\in [-1,1]\text{.}$

Условие на общую точку. Приравнивая правые части,

$$-\frac{2}{3}-\arcsin x=-\frac{2}{3}-2\mathrm{arctg}kx,$$

получаем равносильное равенство

$$\arcsin x=2\mathrm{arctg}kx.$$

При этом ордината общей точки равна $y=-\frac{2}{3}-\arcsin x\text{.}$

Условие положительности ординаты. Нужно, чтобы хотя бы у одной общей точки было $y>0\text{,}$ то есть

$$-\frac{2}{3}-\arcsin x>0⟺\arcsin x<-\frac{2}{3}.$$

Поскольку функция $\arcsin$ возрастает, это равносильно

$$x<\sin \left(-\frac{2}{3}\right)=-\sin \frac{2}{3}.$$

Обозначим $x_0=-\sin \frac{2}{3}\text{;}$ заметим $-1\le x_0<0$ (так как $0<\frac{2}{3}<\frac{\pi }{2}\text{,}$ поэтому $0<\sin \frac{2}{3}<1$). Итак, задача свелась к следующему: найти все $k\text{,}$ при которых уравнение

$$\arcsin x=2\mathrm{arctg}kx\text{\hspace{1em}(1)}$$

имеет хотя бы один корень на полуинтервале $[-1,x_0)\text{.}$

Замена. На $[-1,x_0)$ выгодно перейти к переменной $a=\arcsin x\text{.}$ Когда $x$ пробегает $[-1,x_0)\text{,}$ число $a$ пробегает полуинтервал

$$a\in \left[\arcsin (-1),\arcsin x_0\right)=\left[-\frac{\pi }{2},-\frac{2}{3}\right),$$

причём $x=\sin a$ и соответствие $x\leftrightarrow a$ взаимно однозначно и монотонно. Заметим, что на всём этом промежутке $a<0\text{,}$ значит и $x=\sin a<0\text{.}$

Перепишем (1). Так как $\arcsin x=a\text{,}$ уравнение принимает вид $2\mathrm{arctg}kx=a\text{,}$ то есть

$$\mathrm{arctg}(kx)=\frac{a}{2}.$$

При $a\in \left[-\frac{\pi }{2},-\frac{2}{3}\right)$ имеем $\frac{a}{2}\in \left[-\frac{\pi }{4},-\frac{1}{3}\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ поэтому можно взять тангенс обеих частей (он на этом участке корректно обращает $\mathrm{arctg}$):

$$kx=\mathrm{tg}\frac{a}{2}.$$

Подставляя $x=\sin a$ и учитывая $\sin a\ne 0$ (ведь $a\le -\frac{2}{3}<0$), выражаем параметр:

$$k=\frac{\mathrm{tg}\frac{a}{2}}{\sin a}.$$

Упрощение. Используя $\sin a=2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}$ и $\mathrm{tg}\frac{a}{2}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}\text{,}$ получаем

$$k=\frac{\sin \frac{a}{2}/\cos \frac{a}{2}}{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}=\frac{1}{2{\cos }^2\frac{a}{2}}.\text{\hspace{1em}(2)}$$

(Сокращение на $\sin \frac{a}{2}$ законно: $\frac{a}{2}\in [-\frac{\pi }{4},-\frac{1}{3})\text{,}$ там $\sin \frac{a}{2}\ne 0\text{.}$)

Таким образом, для каждого допустимого $x$ (то есть для каждого $a\in [-\frac{\pi }{2},-\frac{2}{3})$) общая точка с положительной ординатой существует тогда и только тогда, когда параметр $k$ равен значению (2). Значит, множество искомых $k$ — это в точности множество значений функции

$$k(a)=\frac{1}{2{\cos }^2\frac{a}{2}},a\in \left[-\frac{\pi }{2},-\frac{2}{3}\right).$$

Множество значений. Исследуем $k(a)\text{.}$ Пусть $t=\frac{a}{2}\in \left[-\frac{\pi }{4},-\frac{1}{3}\right)\text{.}$ На этом промежутке $t<0$ и $\cos t>0\text{,}$ а производная

$$k^{\prime }(a)=\frac{d}{da}\left(\frac{1}{2}{\cos }^{-2}\frac{a}{2}\right)=\frac{\sin \frac{a}{2}}{2{\cos }^3\frac{a}{2}}<0,$$

поскольку $\sin \frac{a}{2}<0\text{,}$ а ${\cos }^3\frac{a}{2}>0\text{.}$ Следовательно, $k(a)$ строго убывает на $\left[-\frac{\pi }{2},-\frac{2}{3}\right)\text{;}$ как непрерывная строго монотонная функция она взаимно однозначно отображает этот полуинтервал на промежуток между значениями на концах.

Концы:

• при $a=-\frac{\pi }{2}$ (это $x=-1\text{,}$ точка включена): $\frac{a}{2}=-\frac{\pi }{4}\text{,}$ ${\cos }^2\frac{a}{2}=\frac{1}{2}\text{,}$ поэтому

$$k=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}=1;$$

• при $a\to -\frac{2}{3}$ (это $x\to x_0\text{,}$ точка исключена): $\frac{a}{2}\to -\frac{1}{3}\text{,}$ и

$$k\to \frac{1}{2{\cos }^2\frac{1}{3}}.$$

Так как функция убывает, наибольшее значение $k=1$ достигается (левый конец включён), а граничное значение $\frac{1}{2{\cos }^2\frac{1}{3}}$ не достигается (правый конец исключён). Поэтому множество значений есть

$$k\in \left(\frac{1}{2{\cos }^2\frac{1}{3}};1\right].$$

Проверка концов.

• При $k=1$ уравнение (1) даёт $\arcsin x=2\mathrm{arctg}x\text{;}$ подставляя $x=-1\text{:}$ слева $\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}\text{,}$ справа $2\mathrm{arctg}(-1)=2\cdot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\pi }{2}$ — равенство выполнено, общая точка существует, и её ордината $y=-\frac{2}{3}-\arcsin (-1)=-\frac{2}{3}+\frac{\pi }{2}>0\text{.}$ Значит $k=1$ подходит (включаем).
• При $k=\frac{1}{2{\cos }^2\frac{1}{3}}$ единственный подходящий корень даёт $x=x_0\text{,}$ где $\arcsin x_0=-\frac{2}{3}$ и ордината $y=-\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=0\text{,}$ то есть НЕ положительна. Значит эта граница не входит (исключаем).

Можно ещё убедиться, что вне найденного промежутка решений нет: при $k>1$ (а также при $k\le 0$) на участке $[-1,x_0)$ уравнение (1) корней не имеет, что согласуется с тем, что значение $k(a)$ не выходит за $1\text{.}$

Ответ.

$$\boxed{k\in \left(\frac{1}{2{\cos }^2\frac{1}{3}};1\right]}$$