Фигура задана на координатной плоскости системой cases(y^2-x^2)^2+6(y^2-x^2)-(y+x)^2+5y+7x+1<0, y>1-x.cases Сколько интервалов на прямой y=2-x образует ортогональная проекция этой фигуры на указанную прямую?

**Замена координат.** Удобно перейти к новым переменным, связанным с направлением прямой y=2-x , то есть x+y=2 . Положим s=x+y, a=y-x. Это поворот осей на 45^: прямые x+y=const — это линии уровня s , а перпендикулярные им прямые (вдоль которых идёт ортогональная проекция на прямую x+y=2 ) — это линии уровня a . Поэтому при ортогональной проекции на прямую y=2-x все точки с одним и тем же значением a=y-x попадают в одну точку прямой, и положение проекции взаимно однозначно (с точностью до постоянного множителя длины) определяется величиной a . Значит, проекция фигуры — это множество тех значений a , для которых в фигуре есть хотя бы одна точка; число интервалов проекции равно числу интервалов этого множества значений a . **Преобразование первого неравенства.** Заметим, что y^2-x^2=(y-x)(y+x)=as . Прямой подстановкой x=(s-a)/(2), y=(s+a)/(2) левая часть приводится к виду (y^2-x^2)^2+6(y^2-x^2)-(y+x)^2+5y+7x+1=(a^2-1)s^2+6(a+1)s+(1-a). (Это тождество: после раскрытия обе части совпадают.) Обозначим G(a,s)=(a^2-1)s^2+6(a+1)s+(1-a). Второе неравенство системы y>1-x есть просто s>1 . Таким образом, фигура задаётся условиями G(a,s)<0 и s>1 , а вопрос сводится к следующему: **для каких a существует s>1 такое, что G(a,s)<0 ?** **Анализ как квадратного трёхчлена по s .** Старший коэффициент равен a^2-1 . Понадобятся ещё две величины: G(a,1)=(a^2-1)+6(a+1)+(1-a)=(a+2)(a+3), D_s=(6(a+1))^2-4(a^2-1)(1-a)=4(a+1)(a+2)(a+5) (дискриминант по s). Вершина параболы (по s ) находится в точке s_*=-(3(a+1))/(a^2-1)=-(3)/(a-1) . Разберём случаи по знаку старшего коэффициента a^2-1 . **Случай -1<a<1 (ветви вниз).** Здесь a^2-1<0 , поэтому при s+inf имеем G(a,s)-inf . Значит, для любого такого a найдётся s>1 с G<0 . Весь интервал (-1;1) **входит** в искомое множество. (Подчеркнём: чем ближе a к границам +-1 , тем большее s требуется, но решение всё равно существует.) **Случай a>1 (ветви вверх).** Тогда все три множителя a+1, a+2, a+5 положительны, так что D_s>0 — корни вещественны. Но вершина s_*=-(3)/(a-1)<0 лежит левее s=1 , а при s=1 значение G(a,1)=(a+2)(a+3)>0 . Так как парабола ветвями вверх и в точке s=1 положительна, а минимум на луче s1 достигается в s=1 , то G(a,s)>0 при всех s>1 . Решений нет. **Случай a<-1 (ветви вверх).** Здесь a+1<0 . Смотрим на знак D_s=4(a+1)(a+2)(a+5) . - При -2<a<-1 : множители дают (-)(+)(+) , то есть D_s<0 . Вещественных корней нет, парабола ветвями вверх — значит G>0 всюду. Решений нет. - При a<-5 : (-)(-)(-)<0 , снова D_s<0 , решений нет. - При -5<a<-2 : D_s>0 , корни вещественны, возможно решение. Здесь решающим является знак G(a,1)=(a+2)(a+3) : - при -3<a<-2 имеем (a+2)(a+3)<0 , то есть G(a,1)<0 ; парабола ветвями вверх и в s=1 отрицательна, значит правее единицы (внутри корней) есть s>1 с G<0 . Эти a **входят** в множество. - при -5<a<-3 имеем G(a,1)>0 , а вершина s_*=-(3)/(a-1)in(0,5;0,75)<1 , поэтому на луче s1 минимум достигается в s=1 , где G0 ; значит G>0 при всех s>1 . Решений нет. **Проверка граничных значений.** a=-3: G=8s^2-12s+4=4(s-1)(2s-1)>0 при s>1 (нет); a=-2: G=3(s-1)^20 (строго <0 не бывает, нет); a=-1: G===2>0 (нет); a=1: G=12s>0 при s>1 (нет). Все четыре граничные точки из множества исключаются. **Итог.** Множество значений a=y-x , для которых фигура непуста, есть в точности (-3;-2) U (-1;1). Это два непересекающихся интервала, разделённых промежутком [-2;-1] , на котором точек фигуры нет. Следовательно, ортогональная проекция фигуры на прямую y=2-x состоит из 2 интервалов.

\(2\)