58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tbc9,Введём замену $ t=4^{x} $. Поскольку $ 4^{x}>0 $ при всех $ x $, новая переменная пробегает все значения $ t>0 $. Выразим через $ t $ каждое слагаемое: \[ 4^{2x-2}=\dfrac{4^{2x}}{4^{2}}=\dfrac{(4^{x})^{2}}{16}=\dfrac{t^{2}}{16},\qquad 4^{x}=t,\qquad 4^{x-1}=\dfrac{4^{x}}{4}=\dfrac{t}{4}. \] Уравнение принимает вид \[ \dfrac{t^{2}}{16}-t+\left|\dfrac{t}{4}-\dfrac{1}{3}\right|=-\dfrac{7}{3},\qquad t>0. \] Раскроем модуль. Подмодульное выражение $ \dfrac{t}{4}-\dfrac{1}{3} $ меняет знак в точке $ t=\dfrac{4}{3} $: оно неотрицательно при $ t\geqslant\dfrac{4}{3} $ и отрицательно при $ 00$. **Сведение к одной тригонометрической функции.** Введём вспомогательный угол $t=\dfrac{x}{6}$. Тогда $\dfrac{x}{3}=2t$, и по формуле косинуса двойного угла \[\cos\frac{x}{3}=\cos 2t=1-2\sin^2 t.\] Уравнение принимает вид \[3\left(1-2\sin^2 t\right)+\left(3-4\sqrt{3}\right)\sin t=3-2\sqrt{3}.\] Раскрывая скобки и перенося всё в одну сторону, получаем квадратное уравнение относительно $s=\sin t$: \[-6s^2+\left(3-4\sqrt{3}\right)s+2\sqrt{3}=0,\qquad\text{или}\qquad 6s^2+\left(4\sqrt{3}-3\right)s-2\sqrt{3}=0.\] **Решение квадратного уравнения.** Левая часть раскладывается на множители: \[6s^2+\left(4\sqrt{3}-3\right)s-2\sqrt{3}=(2s-1)\left(3s+2\sqrt{3}\right)=0,\] что легко проверить раскрытием скобок: $6s^2+4\sqrt3\,s-3s-2\sqrt3=6s^2+(4\sqrt3-3)s-2\sqrt3$. Отсюда \[s=\frac{1}{2}\qquad\text{или}\qquad s=-\frac{2\sqrt{3}}{3}.\] Второй корень посторонний: $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{2}{\sqrt3}\approx-1{,}155$, и $|s|>1$, тогда как $\sin t$ принимает значения только из отрезка $[-1;1]$. Поэтому остаётся \[\sin\frac{x}{6}=\frac{1}{2}.\] **Серии корней уравнения.** Уравнение $\sin\dfrac{x}{6}=\dfrac12$ даёт две стандартные серии: \[\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi m\quad\Longrightarrow\quad x=\pi+12\pi m,\] \[\frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi m\quad\Longrightarrow\quad x=5\pi+12\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z}.\] Это полный набор решений исходного уравнения (период $12\pi$ совпадает с наименьшим общим периодом функций $\cos\frac{x}{3}$ и $\sin\frac{x}{6}$). **Отбор по условию $\cos\dfrac{3x}{4}>0$.** Рассмотрим каждую серию отдельно, вычисляя $\dfrac{3x}{4}$. Серия I: $x=\pi+12\pi m$. Тогда \[\frac{3x}{4}=\frac{3\pi}{4}+9\pi m,\qquad \cos\frac{3x}{4}=\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}+9\pi m\right)=(-1)^{m}\cos\frac{3\pi}{4}=(-1)^{m}\!\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right),\] поскольку $\cos(\alpha+9\pi m)=\cos(\alpha+\pi m)=(-1)^m\cos\alpha$. Это число положительно тогда и только тогда, когда $(-1)^m=-1$, то есть при нечётном $m$. Положив $m=2n+1$, получаем \[x=\pi+12\pi(2n+1)=13\pi+24\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] Серия II: $x=5\pi+12\pi m$. Тогда \[\frac{3x}{4}=\frac{15\pi}{4}+9\pi m,\qquad \cos\frac{3x}{4}=(-1)^{m}\cos\frac{15\pi}{4}=(-1)^{m}\cos\!\left(4\pi-\frac{\pi}{4}\right)=(-1)^{m}\frac{\sqrt2}{2}.\] Это положительно тогда и только тогда, когда $m$ чётно. Положив $m=2k$, получаем \[x=5\pi+12\pi\cdot 2k=5\pi+24\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Ответ.** Условию задачи удовлетворяют ровно две серии: \[\boxed{\,x=5\pi+24\pi k,\qquad x=13\pi+24\pi n,\qquad k,n\in\mathbb{Z}.\,}\] Заметим, что общий период всей задачи (уравнение плюс условие отбора) равен $\operatorname{lcm}\!\left(12\pi,\dfrac{8\pi}{3}\right)=24\pi$, и каждая из двух серий поставляет ровно по одному корню на отрезок длины $24\pi$, что согласуется с найденными выражениями. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5d:T18c3,Введём обозначения для трёх выражений, стоящих под логарифмами: \[A=\sqrt{6-x}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{4},\qquad B=\left|\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}x\right|+\tfrac{3}{2},\qquad C=3x-x^2-\tfrac{5}{4}.\] Тогда неравенство принимает вид \[\log_{1/2}A\cdot\log_3 C\leqslant\log_{1/3}B\cdot\log_2 C.\] **Область определения.** Логарифмы существуют, когда все их аргументы положительны. Аргумент $\sqrt{6-x}$ требует $6-x\geqslant0$, то есть $x\leqslant6$. Аргумент $B$ положителен всегда: $B=\left|\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}x\right|+\tfrac{3}{2}\geqslant\tfrac{3}{2}>0$. Аргумент $C$ положителен на интервале между корнями уравнения $3x-x^2-\tfrac{5}{4}=0$. Это уравнение равносильно $x^2-3x+\tfrac{5}{4}=0$, его корни $x=\tfrac12$ и $x=\tfrac52$; поскольку коэффициент при $x^2$ в $C$ отрицателен, имеем $C>0$ ровно при $x\in\left(\tfrac12;\tfrac52\right)$. Наконец, проверим положительность $A$ на этом интервале. При $x\in\left(\tfrac12;\tfrac52\right)$ выражение $-\tfrac12 x+\tfrac54$ меняется от $1$ (при $x=\tfrac12$) до $0$ (при $x=\tfrac52$), а $\sqrt{6-x}\geqslant\sqrt{6-\tfrac52}=\sqrt{3{,}5}>1$, поэтому $A>0$ на всём интервале. Условие $x\leqslant6$ здесь автоматически выполнено. Итак, область определения неравенства — это интервал \[D=\left(\tfrac12;\tfrac52\right).\] **Сведение к произведению.** Воспользуемся тождествами $\log_{1/2}A=-\log_2 A$ и $\log_{1/3}B=-\log_3 B$, а также формулой перехода к натуральным логарифмам $\log_a t=\dfrac{\ln t}{\ln a}$. Получаем \[\log_{1/2}A\cdot\log_3 C=-\frac{\ln A}{\ln 2}\cdot\frac{\ln C}{\ln 3}=-\frac{\ln A\,\ln C}{\ln 2\,\ln 3},\qquad \log_{1/3}B\cdot\log_2 C=-\frac{\ln B}{\ln 3}\cdot\frac{\ln C}{\ln 2}=-\frac{\ln B\,\ln C}{\ln 2\,\ln 3}.\] Перенесём всё в одну часть. Разность правой и левой частей равна \[\log_{1/3}B\cdot\log_2 C-\log_{1/2}A\cdot\log_3 C=\frac{\ln C}{\ln 2\,\ln 3}\bigl(\ln A-\ln B\bigr)=\frac{\ln C\cdot\ln\frac{A}{B}}{\ln 2\,\ln 3}.\] Так как $\ln 2\,\ln 3>0$, исходное неравенство $\bigl(\text{левая}\leqslant\text{правая}\bigr)$ равносильно на $D$ неравенству \[\ln C\cdot\ln\frac{A}{B}\geqslant0.\] **Знак множителя $\ln C$.** Заметим, что \[C-1=3x-x^2-\tfrac{5}{4}-1=-\Bigl(x^2-3x+\tfrac{9}{4}\Bigr)=-\Bigl(x-\tfrac32\Bigr)^2\leqslant0,\] то есть на всей области $C\leqslant1$, причём $C=1$ только при $x=\tfrac32$. Значит, $\ln C\leqslant0$ на $D$, и $\ln C=0$ лишь при $x=\tfrac32$. Разберём два случая. **Случай 1: $x=\tfrac32$.** Здесь $C=1$, поэтому $\ln C=0$ и произведение $\ln C\cdot\ln\frac{A}{B}=0\geqslant0$. Неравенство выполнено (обе части исходного неравенства обращаются в нуль, так как $\log_3 C=\log_2 C=0$). Точка $x=\tfrac32$ входит в ответ. **Случай 2: $x\in D,\ x\neq\tfrac32$.** Тогда $\ln C<0$ строго, и неравенство $\ln C\cdot\ln\frac{A}{B}\geqslant0$ равносильно $\ln\frac{A}{B}\leqslant0$, то есть $A\leqslant B$. Решим неравенство $A\leqslant B$ на $D$. При $x>\tfrac12$ имеем $\tfrac14-\tfrac12 x<0$, поэтому $\left|\tfrac14-\tfrac12 x\right|=\tfrac12 x-\tfrac14$ и \[B=\tfrac12 x-\tfrac14+\tfrac32=\tfrac12 x+\tfrac54.\] Подставляя $A=\sqrt{6-x}-\tfrac12 x+\tfrac54$, приводим неравенство $A\leqslant B$ к виду \[\sqrt{6-x}-\tfrac12 x+\tfrac54\leqslant\tfrac12 x+\tfrac54\iff\sqrt{6-x}\leqslant x.\] На области $x>0$, поэтому правая часть положительна и неравенство равносильно $6-x\leqslant x^2$, то есть \[x^2+x-6\geqslant0\iff(x-2)(x+3)\geqslant0\iff x\geqslant2\quad(\text{учитывая }x>0).\] Пересекая с областью $D=\left(\tfrac12;\tfrac52\right)$ и условием $x\neq\tfrac32$, получаем из случая 2 множество $\left[2;\tfrac52\right)$. Граничная точка $x=2$ даёт здесь равенство $\sqrt{6-2}=2$, то есть $A=B$ и $\ln\frac{A}{B}=0$, поэтому она удовлетворяет неравенству; точка $x=\tfrac52$ не входит в область определения. **Объединение.** Из случаев 1 и 2 получаем решение \[\left\{\tfrac32\right\}\cup\left[2;\tfrac52\right).\] Замечание о граничной точке $x=2$. В этой точке $A=B=\tfrac94$, а $C=\tfrac34$. Хотя ни одна из частей неравенства не равна нулю по отдельности $\bigl(\log_{1/2}\tfrac94\cdot\log_3\tfrac34=\log_{1/3}\tfrac94\cdot\log_2\tfrac34\approx0{,}3064\bigr)$, они в точности равны между собой, поскольку $\log_{1/2}A\cdot\log_3 C-\log_{1/3}B\cdot\log_2 C=\dfrac{\ln C\cdot\ln(A/B)}{\ln 2\,\ln 3}=0$ при $A=B$. Поэтому нестрогое неравенство $\leqslant$ в точке $x=2$ обращается в верное равенство, и эта точка входит в решение. **Ответ:** $\left\{\dfrac{3}{2}\right\}\cup\left[2;\dfrac{5}{2}\right)$. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5e:T1495,Обозначим длины сторон параллелограмма: $BC=AD=a$, $AB=CD=b$. Точка $F$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$, поэтому $C$ лежит между $B$ и $F$; положим $CF=c$. Тогда $BF=BC+CF=a+c$. Прямая $AF$ последовательно пересекает диагональ $BD$ в точке $E$ и сторону $CD$ в точке $G$, причём на отрезке $AF$ точки идут в порядке $A,\,E,\,G,\,F$ (это видно из того, что $BD$ проходит внутри параллелограмма ближе к $A$, а сторона $CD$ дальше). Дано $AE=2$ см, $GF=3$ см. **Шаг 1. Точка $G$: отношение $AG:GF$.** Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $CD\parallel AB$; значит и отрезок $CG$ (часть прямой $CD$) параллелен $AB$. В треугольнике $ABF$ точка $C$ лежит на стороне $BF$, а точка $G$ — на стороне $AF$, причём $CG\parallel AB$. Следовательно, треугольники $FCG$ и $FBA$ подобны (общий угол при вершине $F$ и равные накрест/соответственные углы из параллельности), откуда \[\frac{FG}{FA}=\frac{FC}{FB}=\frac{c}{a+c}.\] Тогда \[\frac{AG}{AF}=1-\frac{FG}{FA}=\frac{a}{a+c},\qquad\text{и значит}\qquad \frac{AG}{GF}=\frac{a}{c}.\] **Шаг 2. Точка $E$: отношение $AE:EF$.** Точка $E$ — пересечение прямой $AF$ с диагональю $BD$. Удобно найти положение $E$ на отрезке $AF$. Рассмотрим треугольник $ABD$: его сторона $AB$ параллельна $CD$, а прямая $AF$ и диагональ $BD$ пересекаются в $E$. Прямой подсчёт (например, разложением векторов $\overrightarrow{AE}=t\cdot\overrightarrow{AF}$ и приравниванием к точке диагонали $BD$) даёт \[\frac{AE}{AF}=\frac{a}{2a+c}.\] Тем самым все три части отрезка $AF$ выражаются через $a$ и $c$: из шага 1 и шага 2 получаем \[\frac{AE}{AF}=\frac{a}{2a+c},\qquad \frac{AG}{AF}=\frac{a}{a+c},\qquad \frac{GF}{AF}=\frac{c}{a+c}.\] **Шаг 3. Использование условия $AE=2,\ GF=3$.** Поделив, найдём \[\frac{AE}{GF}=\frac{a/(2a+c)}{c/(a+c)}=\frac{a(a+c)}{c(2a+c)}.\] По условию $\dfrac{AE}{GF}=\dfrac{2}{3}$, то есть \[\frac{a(a+c)}{c(2a+c)}=\frac{2}{3}.\] Раскрывая, получаем $3a(a+c)=2c(2a+c)$, то есть $3a^2+3ac=4ac+2c^2$, откуда \[3a^2-ac-2c^2=0.\] Решая это однородное уравнение относительно отношения $a/c$ (разделим на $c^2$, положив $x=a/c$): $3x^2-x-2=0$, $x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{6}=\dfrac{1\pm5}{6}$. Положительный корень $x=1$ (отрицательный $x=-\tfrac23$ отброшен, так как длины положительны). Значит \[a=c,\qquad\text{то есть } BC=CF.\] **Шаг 4. Деление отрезка $AF$ и длина $EG$.** Подставив $c=a$ в найденные доли, получим \[\frac{AE}{AF}=\frac{a}{3a}=\frac13,\qquad \frac{AG}{AF}=\frac{a}{2a}=\frac12,\qquad \frac{GF}{AF}=\frac12.\] Следовательно $AE:EG:GF=\dfrac13:\left(\dfrac12-\dfrac13\right):\dfrac12=\dfrac13:\dfrac16:\dfrac12=2:1:3$. Это согласуется с данными $AE=2$, $GF=3$ и даёт $EG=1$ см, $AF=6$ см. В частности, \[\frac{EA}{EG}=\frac{2}{1}=2.\] **Шаг 5. Подобие треугольников $BAE$ и $DGE$ и отношение площадей.** Точка $E$ лежит одновременно на прямой $AF$ (на ней точки $A$ и $G$) и на прямой $BD$ (на ней точки $B$ и $D$). При вершине $E$ углы $\angle AEB$ и $\angle GED$ вертикальные, значит равны. Кроме того $AB\parallel CD$, а $G\in CD$, поэтому $AB\parallel GD$; отсюда $\angle EAB=\angle EGD$ как накрест лежащие при секущей $AF$. Значит треугольники $EAB$ и $EGD$ подобны: \[\triangle BAE\sim\triangle DGE,\qquad k=\frac{EA}{EG}=2.\] (Коэффициент подобия можно проверить и по второй паре сходственных сторон: $\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{EA}{EG}=2$, что согласуется.) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{BAE}}{S_{EDG}}=k^2=2^2=4.\] **Ответ:** отношение площадей треугольников $BAE$ и $EDG$ равно $\boxed{4}$.5f:T17f3,**Размеры пирамиды.** Пусть сторона квадратного основания и боковое ребро равны $a=2+\sqrt2$. Введём систему координат: центр основания $O$ поместим в начало, а вершины квадрата $KLMN$ — на координатные оси (диагонали квадрата вдоль осей $Ox$ и $Oy$). Половина диагонали основания равна \[ d=\frac{a}{\sqrt2}=\frac{2+\sqrt2}{\sqrt2}=1+\sqrt2 . \] Тогда \[ K=(d,0,0),\quad L=(0,d,0),\quad M=(-d,0,0),\quad N=(0,-d,0),\qquad S=(0,0,h), \] где высота $h$ находится из условия «боковое ребро равно $a$»: \[ h^2=a^2-d^2=(2+\sqrt2)^2-(1+\sqrt2)^2=(6+4\sqrt2)-(3+2\sqrt2)=3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2, \] то есть $h=1+\sqrt2$ (любопытно, что высота совпала с половиной диагонали основания). **Сфера.** Сфера касается плоскости основания $KLMN$ (плоскость $z=0$) и касается всех четырёх боковых рёбер. В силу симметрии её центр лежит на оси пирамиды: $C=(0,0,c)$. Касание плоскости $z=0$ даёт радиус $r=c$ (берём $c>0$, сфера лежит над основанием). Касание ребра $SK$ означает, что расстояние от $C$ до прямой $SK$ равно $r$. Записав это условие и решив уравнение, получаем единственное положительное значение \[ c=1,\qquad r=1 . \] **Точки касания на рёбрах.** Точка касания сферы с ребром — это основание перпендикуляра из центра $C$ на это ребро. Длина касательной из вершины $S$ к сфере равна \[ SK_1=\sqrt{|SC|^2-r^2}=\sqrt{(h-c)^2-r^2}=\sqrt{(\sqrt2)^2-1}=1 . \] По симметрии $SK_1=SL_1=SM_1=SN_1=1$. Прямой подсчёт даёт координаты точек касания (все они лежат в одной горизонтальной плоскости $z=1+\tfrac{\sqrt2}{2}$): \[ L_1=\Bigl(0,\tfrac{\sqrt2}{2},\,1+\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr),\qquad N_1=\Bigl(0,-\tfrac{\sqrt2}{2},\,1+\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr). \] В частности, проекции $L_1$ и $N_1$ на основание суть $L_1'=\bigl(0,\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)$ и $N_1'=\bigl(0,-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)$, а отрезок $L_1'N_1'$ лежит на оси $Oy$ и имеет длину $\sqrt2$. **Точка $Q$ и связь $SP$ с $SQ$.** Обозначим $SP=u$ и $SQ=v$ (длины вдоль рёбер $SK$ и $SM$, отсчитываемые от вершины $S$). Введём единичные векторы рёбер $\vec e_K,\vec e_L,\vec e_M,\vec e_N$, выходящие из $S$. Из симметрии правильной пирамиды $\vec e_K+\vec e_M=\vec e_L+\vec e_N$, откуда $\vec e_M=\vec e_L+\vec e_N-\vec e_K$. Считая от $S$: \[ P=u\,\vec e_K,\quad L_1=\vec e_L,\quad N_1=\vec e_N,\quad Q=v\,\vec e_M . \] Точка $Q$ лежит в плоскости $PL_1N_1$, значит $Q=P+\alpha(L_1-P)+\beta(N_1-P)$. Подставляя и приравнивая коэффициенты при независимых направлениях $\vec e_K,\vec e_L,\vec e_N$, получаем систему \[ -v=u-\alpha u-\beta u,\qquad v=\alpha,\qquad v=\beta, \] из которой \[ \alpha=\beta=v=\frac{u}{2u-1},\qquad\text{т.е.}\qquad SQ=\frac{SP}{2\,SP-1}. \] **Проекция четырёхугольника.** Точки $P$ и $Q$ лежат в осевой плоскости $y=0$, поэтому их проекции $P',Q'$ попадают на ось $Ox$ по разные стороны от центра $O$ (поскольку $K$ и $M$ — противоположные вершины). Их абсциссы: \[ P'_x=\frac{SP}{\sqrt2},\qquad Q'_x=-\frac{SQ}{\sqrt2}, \] так что длина диагонали $P'Q'$ равна $\dfrac{SP+SQ}{\sqrt2}$. Вторая диагональ $L_1'N_1'$ лежит на оси $Oy$ и равна $\sqrt2$. Диагонали взаимно перпендикулярны (лежат на осях) и пересекаются, значит проекция $P'L_1'Q'N_1'$ — четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями, и его площадь равна полупроизведению диагоналей: \[ S_{\text{пр}}=\frac12\cdot L_1'N_1'\cdot P'Q'=\frac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{SP+SQ}{\sqrt2}=\frac{SP+SQ}{2}. \] Подставляя $SQ=\dfrac{SP}{2\,SP-1}$ и обозначив $t=SP$: \[ S_{\text{пр}}=\frac12\left(t+\frac{t}{2t-1}\right)=\frac12\cdot\frac{t(2t-1)+t}{2t-1}=\frac12\cdot\frac{2t^2}{2t-1}=\frac{t^2}{2t-1}. \] **Уравнение и ответ.** По условию $S_{\text{пр}}=\dfrac{9}{8}$: \[ \frac{t^2}{2t-1}=\frac{9}{8}\;\Longrightarrow\; 8t^2=9(2t-1)\;\Longrightarrow\; 8t^2-18t+9=0. \] Дискриминант $D=324-288=36$, корни \[ t=\frac{18\pm6}{16}\in\left\{\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}\right\}. \] Проверка допустимости. При $t=\dfrac34$ получаем $SQ=\dfrac{3/4}{1/2}=\dfrac32$; при $t=\dfrac32$ получаем $SQ=\dfrac{3/2}{2}=\dfrac34$. В обоих случаях $00$ при обоих $t$, так что знаменатель положителен и геометрическая конфигурация корректна. **Ответ:** $SP=\dfrac34$ или $SP=\dfrac32$.60:T1d95,Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один из множителей, причём оба множителя должны быть определены. Поэтому сначала выпишем область допустимых значений (ОДЗ), порождённую логарифмом $\log_{(x-a)}(x-2a-1)$: \[\begin{cases} x-a>0,\\ x-a\neq 1,\\ x-2a-1>0. \end{cases}\] То есть $x>a$, $x\neq a+1$ и $x>2a+1$. Вне этой области ни одно из слагаемых произведения не определено, и уравнение там корней не имеет. **Разложение множителей.** Квадратный трёхчлен раскладывается явно: \[x^2+(1-a)x-3(a+2)=(x+3)\bigl(x-(a+2)\bigr),\] в чём легко убедиться раскрытием скобок: $(x+3)(x-a-2)=x^2-(a+2)x+3x-3(a+2)=x^2+(1-a)x-3(a+2)$. Значит, первый множитель обращается в нуль при $x=-3$ и при $x=a+2$. Второй множитель $\log_{(x-a)}(x-2a-1)$ равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен единице: \[x-2a-1=1\iff x=2a+2.\] Итак, корнями уравнения могут быть только три числа: $x=-3$, $x=a+2$ и $x=2a+2$; каждое из них является корнем лишь при условии, что попадает в ОДЗ. Разберём для каждого кандидата, при каких $a$ он принадлежит области определения. **Кандидат $x=-3$.** Подставляя $x=-3$ в условия ОДЗ, получаем $x-a=-a-3$, $x-2a-1=-2a-4$. Требования $x-a>0$, $x-a\neq 1$, $x-2a-1>0$ дают \[-a-3>0,\quad -a-3\neq 1,\quad -2a-4>0\iff a<-3,\quad a\neq-4,\quad a<-2.\] Совместно: $a<-3$ и $a\neq-4$. При этом сам корень $x=-3$ не лежит на отрезке $[-2;1]$ (так как $-3<-2$). Следовательно, как только $x=-3$ оказывается корнем, у уравнения немедленно появляется корень вне отрезка, и такое значение $a$ условию не удовлетворяет. Вывод: при $a<-3,\ a\neq-4$ уравнение заведомо «плохое». **Кандидат $x=a+2$.** Здесь $x-a=2$, поэтому условия $x-a>0$ и $x-a\neq 1$ выполнены автоматически. Остаётся $x-2a-1=1-a>0$, то есть $a<1$. Положение корня на отрезке: \[-2\leqslant a+2\leqslant 1\iff -4\leqslant a\leqslant -1.\] Таким образом, при $a<1$ число $x=a+2$ — корень, и он лежит на $[-2;1]$ ровно при $-4\leqslant a\leqslant -1$; при $a<-4$ он уходит левее $-2$, при $-10$ (условие на аргумент выполнено всегда). Требования к основанию: $a+2>0$ и $a+2\neq 1$, то есть $a>-2$ и $a\neq-1$. Положение корня на отрезке: \[-2\leqslant 2a+2\leqslant 1\iff -2\leqslant a\leqslant -\tfrac12.\] Значит, при $a>-2,\ a\neq-1$ число $x=2a+2$ — корень; он лежит на $[-2;1]$ при $-2\leqslant a\leqslant -\tfrac12$ (точнее, при $a\in[-2;-\tfrac12]\setminus\{-1\}$ с учётом исключения $a=-1$), а при $a>-\tfrac12$ уходит правее $1$. **Сборка условия.** Нужно, чтобы хотя бы один корень попал на $[-2;1]$ и при этом ни один корень не вышел за пределы отрезка. Пройдём по значениям параметра. 1. При $a<-3,\ a\neq-4$ присутствует корень $x=-3\notin[-2;1]$ — условие нарушено. 2. При $a=-4$. Корень $x=-3$ исключается: основание $x-a=-(-4)-3=1$ запрещено. Корень $x=a+2=-2$ определён ($a=-4<1$) и лежит на $[-2;1]$ (левый конец). Корень $x=2a+2=-6$ не определён, так как $a=-4<-2$. Итого единственный корень $x=-2\in[-2;1]$ — значение $a=-4$ подходит. 3. При $a=-3$. Корень $x=-3$ исключается: основание $x-a=-3-(-3)=0$ не определено. Корень $x=a+2=-1$ определён ($a=-3<1$) и лежит на $[-2;1]$. Корень $x=2a+2=-4$ не определён: основание $a+2=-1<0$. Итого единственный корень $x=-1\in[-2;1]$, вне отрезка корней нет — значение $a=-3$ подходит. 4. При $-3-2,\ a\neq-1$; при таких $a$ он равен $2a+2\in(-2;0]$ и тоже лежит на $[-2;1]$. Таким образом, все имеющиеся корни лежат на отрезке, а хотя бы один корень (например, $x=a+2$) на нём есть. Все эти $a$ подходят. 5. При $-11$ уже делает значение «плохим». 6. При $a\geqslant 1$. Корень $x=a+2$ не определён ($1-a\leqslant 0$); корень $x=2a+2\geqslant 4$ определён ($a>-2$) и лежит вне отрезка. Условие нарушено. Объединяя пункты 2, 3, 4, получаем множество подходящих значений параметра: \[\boxed{\,a\in\{-4\}\cup[-3;\,-1]\,}.\] **Замечание о граничной точке $a=-3$.** При $a=-3$ кандидат $x=-3$ имеет основание логарифма $x-a=0$ и потому не определён (это не корень), а кандидат $x=2a+2=-4$ имеет отрицательное основание $a+2=-1$ и тоже не является корнем. Поэтому при $a=-3$ у уравнения остаётся единственный корень $x=-1$, лежащий на $[-2;1]$, и корней вне отрезка нет. По строгому смыслу условия точка $a=-3$ принадлежит ответу. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — март 1998\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — март 1998\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1998-03\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T00:10:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — март 1998\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — март 1998-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — март 1998"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1998-03","serverCollection":{"id":"3d8db00f-0648-48ef-98c4-22719e90f01d","name":"Мехмат МГУ — март 1998","code":"mehmat-1998-03","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"03","session_label":"Досрочный экзамен, 1998 год (март)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1998-03.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1998},"created_at":"2026-06-10T00:10:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"bee96bd7-f635-4b3e-99aa-5e2ff5317eee","collection_id":"3d8db00f-0648-48ef-98c4-22719e90f01d","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"bee96bd7-f635-4b3e-99aa-5e2ff5317eee","short_id":18137,"task_number":17,"topic_id":"00156014-ec95-442a-bd08-75465bf37087","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить уравнение\n\\[4^{2x-2}-4^x+\\left|4^{x-1}-\\frac{1}{3}\\right|=-\\frac{7}{3}.\\]","answer_text":"\$1; \\dfrac{3}{2}\$","answer":"\$1; \\dfrac{3}{2}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"03","variant_key":"mm1998-03","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"00156014-ec95-442a-bd08-75465bf37087","name":"Показательные уравнения","description":null},"tags":[{"id":"1561837c-f5e6-4e19-9d89-ecdaba78d70c","code":"tag-19","name":"Показательные уравнения, свойства степени"},{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"e007efe4-fb15-42f2-b085-578c49c5651c","code":"tag-214","name":"Показательные уравнения"}]}},{"problem_id":"2d481664-f069-4953-9e26-28cf2a870b5c","collection_id":"3d8db00f-0648-48ef-98c4-22719e90f01d","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"2d481664-f069-4953-9e26-28cf2a870b5c","short_id":18138,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Найти все решения уравнения\n\\[3\\cos\\frac{x}{3}+\\left(3-4\\sqrt{3}\\right)\\sin\\frac{x}{6}=3-2\\sqrt{3},\\]\nудовлетворяющие условию \$\\cos\\frac{3x}{4}>0\$.","answer_text":"\$x=5\\pi+24\\pi n;\\ \\ x=13\\pi+24\\pi k,\\ \\ n,k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x=5\\pi+24\\pi n;\\ \\ x=13\\pi+24\\pi k,\\ \\ n,k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"03","variant_key":"mm1998-03","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"}]}},{"problem_id":"b7337d4d-fe4e-4655-834c-494a5daae72e","collection_id":"3d8db00f-0648-48ef-98c4-22719e90f01d","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b7337d4d-fe4e-4655-834c-494a5daae72e","short_id":18139,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\log_{\\frac{1}{2}}\\left(\\sqrt{6-x}-\\frac{1}{2}x+\\frac{5}{4}\\right)\\cdot\\log_3\\left(3x-x^2-\\frac{5}{4}\\right)\\leqslant\\log_{\\frac{1}{3}}\\left(\\left|\\frac{1}{4}-\\frac{1}{2}x\\right|+\\frac{3}{2}\\right)\\cdot\\log_2\\left(3x-x^2-\\frac{5}{4}\\right).\\]","answer_text":"\$\\left\\{\\dfrac{3}{2}\\right\\}\\cup\\left[2;\\dfrac{5}{2}\\right)\$","answer":"\$\\left\\{\\dfrac{3}{2}\\right\\}\\cup\\left[2;\\dfrac{5}{2}\\right)\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm1998-03","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"6c18d539-1834-46d0-b798-41ad971a1439","code":"tag-96","name":"Неравенства рациональные относительно логарифмической функции"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"964d4d27-fcc9-479b-9d53-070085a70ac8","collection_id":"3d8db00f-0648-48ef-98c4-22719e90f01d","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"964d4d27-fcc9-479b-9d53-070085a70ac8","short_id":18140,"task_number":18,"topic_id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Точка \$F\$ лежит на продолжении стороны \$BC\$ параллелограмма \$ABCD\$ за точку \$C\$. Отрезок \$AF\$ пересекает диагональ \$BD\$ в точке \$E\$ и сторону \$CD\$ в точке \$G\$. Известно, что \$AE=2\$ см, \$GF=3\$ см. Найти отношение площадей треугольников \$BAE\$ и \$EDG\$.","answer_text":"\$4\$","answer":"\$4\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm1998-03","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","name":"Подобие и площади","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"b633416d-9727-449b-9f79-507d99258444","code":"tag-174","name":"Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат"},{"id":"f2d68cba-3299-4e70-8a56-cfcc817dd013","code":"tag-233","name":"Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур"}]}},{"problem_id":"a544d6ee-114f-4fb1-af4d-244bdfa11dfe","collection_id":"3d8db00f-0648-48ef-98c4-22719e90f01d","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a544d6ee-114f-4fb1-af4d-244bdfa11dfe","short_id":18141,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"В правильной четырёхугольной пирамиде \$SKLMN\$ длины всех рёбер равны \$2+\\sqrt{2}\$. Сфера касается плоскости \$KLMN\$, а также касается рёбер \$SK\$, \$SL\$, \$SM\$ и \$SN\$ пирамиды в точках \$K_1\$, \$L_1\$, \$M_1\$ и \$N_1\$ соответственно. На ребре \$SK\$ взята точка \$P\$. Через точки \$P\$, \$L_1\$ и \$N_1\$ проведена плоскость, пересекающая ребро \$SM\$ в точке \$Q\$. Найти длину отрезка \$SP\$, если площадь проекции четырёхугольника \$PL_1QN_1\$ на плоскость \$KLMN\$ равна \$\\dfrac{9}{8}\$.","answer_text":"\$\\dfrac{3}{4};\\ \\dfrac{3}{2}\$","answer":"\$\\dfrac{3}{4};\\ \\dfrac{3}{2}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm1998-03","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"21d0f6ea-1a09-4672-be9b-dcc5d1bc43a9","code":"tag-31","name":"Правильная четырёхугольная пирамида"},{"id":"6a844a55-c4ae-48bf-ab44-99496cfea3af","code":"tag-94","name":"Вписанные сферы"},{"id":"9962f8bd-ac77-492c-8df1-5b71d561cc85","code":"tag-136","name":"Сечение, проходящее через три точки"},{"id":"e8f5fdb1-5579-4548-9b56-dab622e0e0aa","code":"tag-226","name":"Площадь сечения и площадь проекции сечения"}]}},{"problem_id":"902f6455-c064-4a84-8be5-29e3c6656fba","collection_id":"3d8db00f-0648-48ef-98c4-22719e90f01d","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"902f6455-c064-4a84-8be5-29e3c6656fba","short_id":18142,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найти все значения \$a\$, при каждом из которых уравнение\n\\[\\left(x^2+(1-a)x-3(a+2)\\right)\\cdot\\log_{(x-a)}(x-2a-1)=0\\]\nимеет хотя бы один корень на отрезке \$[-2;1]\$, а вне этого отрезка корней не имеет.","answer_text":"\$\\{-4\\}\\cup[-3;-1]\$","answer":"\$\\{-4\\}\\cup[-3;-1]\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm1998-03","year":1998},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]