Задача №18141

В правильной четырёхугольной пирамиде $SKLMN$ длины всех рёбер равны $2+\sqrt{2}\text{.}$ Сфера касается плоскости $KLMN\text{,}$ а также касается рёбер $SK\text{,}$ $SL\text{,}$ $SM$ и $SN$ пирамиды в точках $K_1\text{,}$ $L_1\text{,}$ $M_1$ и $N_1$ соответственно. На ребре $SK$ взята точка $P\text{.}$ Через точки $P\text{,}$ $L_1$ и $N_1$ проведена плоскость, пересекающая ребро $SM$ в точке $Q\text{.}$ Найти длину отрезка $SP\text{,}$ если площадь проекции четырёхугольника $P{L}_{1}Q{N}_1$ на плоскость $KLMN$ равна $\frac{9}{8}\text{.}$

Размеры пирамиды. Пусть сторона квадратного основания и боковое ребро равны $a=2+\sqrt{2}\text{.}$ Введём систему координат: центр основания $O$ поместим в начало, а вершины квадрата $KLMN$ — на координатные оси (диагонали квадрата вдоль осей $Ox$ и $Oy$). Половина диагонали основания равна

Тогда

где высота $h$ находится из условия «боковое ребро равно $a$»:

то есть $h=1+\sqrt{2}$ (любопытно, что высота совпала с половиной диагонали основания).

Сфера. Сфера касается плоскости основания $KLMN$ (плоскость $z=0$) и касается всех четырёх боковых рёбер. В силу симметрии её центр лежит на оси пирамиды: $C=(0,0,c)\text{.}$ Касание плоскости $z=0$ даёт радиус $r=c$ (берём $c>0\text{,}$ сфера лежит над основанием). Касание ребра $SK$ означает, что расстояние от $C$ до прямой $SK$ равно $r\text{.}$ Записав это условие и решив уравнение, получаем единственное положительное значение

Точки касания на рёбрах. Точка касания сферы с ребром — это основание перпендикуляра из центра $C$ на это ребро. Длина касательной из вершины $S$ к сфере равна

По симметрии $S{K}_1=S{L}_1=S{M}_1=S{N}_1=1\text{.}$ Прямой подсчёт даёт координаты точек касания (все они лежат в одной горизонтальной плоскости $z=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$):

В частности, проекции $L_1$ и $N_1$ на основание суть $L_1^{\prime }=(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $N_1^{\prime }=(0,-\frac{\sqrt{2}}{2})\text{,}$ а отрезок $L_1^{\prime }{N}_1^{\prime }$ лежит на оси $Oy$ и имеет длину $\sqrt{2}\text{.}$

Точка $Q$ и связь $SP$ с $SQ\text{.}$ Обозначим $SP=u$ и $SQ=v$ (длины вдоль рёбер $SK$ и $SM\text{,}$ отсчитываемые от вершины $S$). Введём единичные векторы рёбер ${\vec{e}}_K,{\vec{e}}_L,{\vec{e}}_M,{\vec{e}}_N\text{,}$ выходящие из $S\text{.}$ Из симметрии правильной пирамиды ${\vec{e}}_K+{\vec{e}}_M={\vec{e}}_L+{\vec{e}}_N\text{,}$ откуда ${\vec{e}}_M={\vec{e}}_L+{\vec{e}}_N-{\vec{e}}_K\text{.}$ Считая от $S\text{:}$

Точка $Q$ лежит в плоскости $P{L}_1{N}_1\text{,}$ значит $Q=P+\alpha (L_1-P)+\beta (N_1-P)\text{.}$ Подставляя и приравнивая коэффициенты при независимых направлениях ${\vec{e}}_K,{\vec{e}}_L,{\vec{e}}_N\text{,}$ получаем систему

из которой

Проекция четырёхугольника. Точки $P$ и $Q$ лежат в осевой плоскости $y=0\text{,}$ поэтому их проекции $P^{\prime },Q^{\prime }$ попадают на ось $Ox$ по разные стороны от центра $O$ (поскольку $K$ и $M$ — противоположные вершины). Их абсциссы:

так что длина диагонали $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ равна $\frac{SP+SQ}{\sqrt{2}}\text{.}$ Вторая диагональ $L_1^{\prime }{N}_1^{\prime }$ лежит на оси $Oy$ и равна $\sqrt{2}\text{.}$ Диагонали взаимно перпендикулярны (лежат на осях) и пересекаются, значит проекция $P^{\prime }{L}_1^{\prime }{Q}^{\prime }{N}_1^{\prime }$ — четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями, и его площадь равна полупроизведению диагоналей:

Подставляя $SQ=\frac{SP}{2SP-1}$ и обозначив $t=SP\text{:}$

Уравнение и ответ. По условию $S_{\text{пр}}=\frac{9}{8}\text{:}$

Дискриминант $D=324-288=36\text{,}$ корни

Проверка допустимости. При $t=\frac{3}{4}$ получаем $SQ=\frac{3/4}{1/2}=\frac{3}{2}\text{;}$ при $t=\frac{3}{2}$ получаем $SQ=\frac{3/2}{2}=\frac{3}{4}\text{.}$ В обоих случаях $0<SP<a$ и $0<SQ<a=2+\sqrt{2}\approx 3,41\text{,}$ то есть точки $P$ и $Q$ действительно лежат на рёбрах $SK$ и $SM\text{.}$ Кроме того, $2t-1>0$ при обоих $t\text{,}$ так что знаменатель положителен и геометрическая конфигурация корректна.

Ответ: $SP=\frac{3}{4}$ или $SP=\frac{3}{2}\text{.}$