В правильной четырёхугольной пирамиде SKLMN длины всех рёбер равны 2+sqrt(2). Сфера касается плоскости KLMN, а также касается рёбер SK, SL, SM и SN пирамиды в точках K_1, L_1, M_1 и N_1 соответственно. На ребре SK взята точка P. Через точки P, L_1 и N_1 проведена плоскость, пересекающая ребро SM в точке Q. Найти длину отрезка SP, если площадь проекции четырёхугольника PL_1QN_1 на плоскость KLMN равна (9)/(8).

**Размеры пирамиды.** Пусть сторона квадратного основания и боковое ребро равны a=2+2. Введём систему координат: центр основания O поместим в начало, а вершины квадрата KLMN — на координатные оси (диагонали квадрата вдоль осей Ox и Oy). Половина диагонали основания равна d=(a)/(2)=(2+2)/(2)=1+2 . Тогда K=(d,0,0), L=(0,d,0), M=(-d,0,0), N=(0,-d,0), S=(0,0,h), где высота h находится из условия «боковое ребро равно a»: h^2=a^2-d^2=(2+2)^2-(1+2)^2=(6+42)-(3+22)=3+22=(1+2)^2, то есть h=1+2 (любопытно, что высота совпала с половиной диагонали основания). **Сфера.** Сфера касается плоскости основания KLMN (плоскость z=0) и касается всех четырёх боковых рёбер. В силу симметрии её центр лежит на оси пирамиды: C=(0,0,c). Касание плоскости z=0 даёт радиус r=c (берём c>0, сфера лежит над основанием). Касание ребра SK означает, что расстояние от C до прямой SK равно r. Записав это условие и решив уравнение, получаем единственное положительное значение c=1, r=1 . **Точки касания на рёбрах.** Точка касания сферы с ребром — это основание перпендикуляра из центра C на это ребро. Длина касательной из вершины S к сфере равна SK_1=sqrt(|SC|^2-r^2)=sqrt((h-c)^2-r^2)=sqrt((2)^2-1)=1 . По симметрии SK_1=SL_1=SM_1=SN_1=1. Прямой подсчёт даёт координаты точек касания (все они лежат в одной горизонтальной плоскости z=1+(2)/(2)): L_1=(0,(2)/(2),1+(2)/(2)), N_1=(0,-(2)/(2),1+(2)/(2)). В частности, проекции L_1 и N_1 на основание суть L_1'=(0,(2)/(2)) и N_1'=(0,-(2)/(2)), а отрезок L_1'N_1' лежит на оси Oy и имеет длину 2. **Точка Q и связь SP с SQ.** Обозначим SP=u и SQ=v (длины вдоль рёбер SK и SM, отсчитываемые от вершины S). Введём единичные векторы рёбер e_K, e_L, e_M, e_N, выходящие из S. Из симметрии правильной пирамиды e_K+ e_M= e_L+ e_N, откуда e_M= e_L+ e_N- e_K. Считая от S: P=u e_K, L_1= e_L, N_1= e_N, Q=v e_M . Точка Q лежит в плоскости PL_1N_1, значит Q=P+alpha(L_1-P)+beta(N_1-P). Подставляя и приравнивая коэффициенты при независимых направлениях e_K, e_L, e_N, получаем систему -v=u-alpha u-beta u, v=alpha, v=beta, из которой alpha=beta=v=(u)/(2u-1), т.е. SQ=(SP)/(2SP-1). **Проекция четырёхугольника.** Точки P и Q лежат в осевой плоскости y=0, поэтому их проекции P',Q' попадают на ось Ox по разные стороны от центра O (поскольку K и M — противоположные вершины). Их абсциссы: P'_x=(SP)/(2), Q'_x=-(SQ)/(2), так что длина диагонали P'Q' равна (SP+SQ)/(2). Вторая диагональ L_1'N_1' лежит на оси Oy и равна 2. Диагонали взаимно перпендикулярны (лежат на осях) и пересекаются, значит проекция P'L_1'Q'N_1' — четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями, и его площадь равна полупроизведению диагоналей: S_(пр)=12* L_1'N_1'* P'Q'=12*2*(SP+SQ)/(2)=(SP+SQ)/(2). Подставляя SQ=(SP)/(2SP-1) и обозначив t=SP: S_(пр)=12(t+(t)/(2t-1))=12*(t(2t-1)+t)/(2t-1)=12*(2t^2)/(2t-1)=(t^2)/(2t-1). **Уравнение и ответ.** По условию S_(пр)=(9)/(8): (t^2)/(2t-1)=(9)/(8)8t^2=9(2t-1)8t^2-18t+9=0. Дискриминант D=324-288=36, корни t=(18+-6)/(16)in(3)/(4), (3)/(2). Проверка допустимости. При t=34 получаем SQ=(3/4)/(1/2)=32; при t=32 получаем SQ=(3/2)/(2)=34. В обоих случаях 0<SP<a и 0<SQ<a=2+2~3,41, то есть точки P и Q действительно лежат на рёбрах SK и SM. Кроме того, 2t-1>0 при обоих t, так что знаменатель положителен и геометрическая конфигурация корректна. **Ответ:** SP=34 или SP=32.

\(\dfrac{3}{4};\ \dfrac{3}{2}\)