Решить неравенство _((1)/(2))(sqrt(6-x)-(1)/(2)x+(5)/(4))*_3(3x-x^2-(5)/(4))_((1)/(3))(|(1)/(4)-(1)/(2)x|+(3)/(2))*_2(3x-x^2-(5)/(4)).

Введём обозначения для трёх выражений, стоящих под логарифмами: A=sqrt(6-x)-(1)/(2)x+(5)/(4), B=|(1)/(4)-(1)/(2)x|+(3)/(2), C=3x-x^2-(5)/(4). Тогда неравенство принимает вид _(1/2)A*_3 C_(1/3)B*_2 C. **Область определения.** Логарифмы существуют, когда все их аргументы положительны. Аргумент sqrt(6-x) требует 6-x0, то есть x6. Аргумент B положителен всегда: B=|(1)/(4)-(1)/(2)x|+(3)/(2)(3)/(2)>0. Аргумент C положителен на интервале между корнями уравнения 3x-x^2-(5)/(4)=0. Это уравнение равносильно x^2-3x+(5)/(4)=0, его корни x=12 и x=52; поскольку коэффициент при x^2 в C отрицателен, имеем C>0 ровно при xin(12;52). Наконец, проверим положительность A на этом интервале. При xin(12;52) выражение -12 x+54 меняется от 1 (при x=12) до 0 (при x=52), а sqrt(6-x)(6-52)=sqrt(3,5)>1, поэтому A>0 на всём интервале. Условие x6 здесь автоматически выполнено. Итак, область определения неравенства — это интервал D=(12;52). **Сведение к произведению.** Воспользуемся тождествами _(1/2)A=-_2 A и _(1/3)B=-_3 B, а также формулой перехода к натуральным логарифмам _a t=(ln t)/(ln a). Получаем _(1/2)A*_3 C=-(ln A)/(ln 2)*(ln C)/(ln 3)=-(ln Aln C)/(ln 2ln 3), _(1/3)B*_2 C=-(ln B)/(ln 3)*(ln C)/(ln 2)=-(ln Bln C)/(ln 2ln 3). Перенесём всё в одну часть. Разность правой и левой частей равна _(1/3)B*_2 C-_(1/2)A*_3 C=(ln C)/(ln 2ln 3)(ln A-ln B)=(ln C*lnAB)/(ln 2ln 3). Так как ln 2ln 3>0, исходное неравенство (леваяправая) равносильно на D неравенству ln C*ln(A)/(B)0. **Знак множителя ln C.** Заметим, что C-1=3x-x^2-(5)/(4)-1=-(x^2-3x+(9)/(4))=-(x-32)^20, то есть на всей области C1, причём C=1 только при x=32. Значит, ln C0 на D, и ln C=0 лишь при x=32. Разберём два случая. **Случай 1: x=32.** Здесь C=1, поэтому ln C=0 и произведение ln C*ln(A)/(B)=00. Неравенство выполнено (обе части исходного неравенства обращаются в нуль, так как _3 C=_2 C=0). Точка x=32 входит в ответ. **Случай 2: xin D, x!=32.** Тогда ln C<0 строго, и неравенство ln C*ln(A)/(B)0 равносильно ln(A)/(B)0, то есть A B. Решим неравенство A B на D. При x>12 имеем 14-12 x<0, поэтому |14-12 x|=12 x-14 и B=12 x-14+32=12 x+54. Подставляя A=sqrt(6-x)-12 x+54, приводим неравенство A B к виду sqrt(6-x)-12 x+5412 x+54(6-x) x. На области x>0, поэтому правая часть положительна и неравенство равносильно 6-x x^2, то есть x^2+x-60(x-2)(x+3)0 x2 (учитывая x>0). Пересекая с областью D=(12;52) и условием x!=32, получаем из случая 2 множество [2;52). Граничная точка x=2 даёт здесь равенство sqrt(6-2)=2, то есть A=B и ln(A)/(B)=0, поэтому она удовлетворяет неравенству; точка x=52 не входит в область определения. **Объединение.** Из случаев 1 и 2 получаем решение 32U[2;52). Замечание о граничной точке x=2. В этой точке A=B=94, а C=34. Хотя ни одна из частей неравенства не равна нулю по отдельности (_(1/2)94*_334=_(1/3)94*_234~0,3064), они в точности равны между собой, поскольку _(1/2)A*_3 C-_(1/3)B*_2 C=(ln C*ln(A/B))/(ln 2ln 3)=0 при A=B. Поэтому нестрогое неравенство в точке x=2 обращается в верное равенство, и эта точка входит в решение. **Ответ:** (3)/(2)U[2;(5)/(2)). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\left\{\dfrac{3}{2}\right\}\cup\left[2;\dfrac{5}{2}\right)\)