Задача №18139

Решить неравенство

$${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{6-x}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right)\cdot {\log }_3\left(3x-x^2-\frac{5}{4}\right)⩽{\log }_{\frac{1}{3}}\left(\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x\right|+\frac{3}{2}\right)\cdot {\log }_2\left(3x-x^2-\frac{5}{4}\right).$$

Введём обозначения для трёх выражений, стоящих под логарифмами:

$$A=\sqrt{6-x}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4},B=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x\right|+\frac{3}{2},C=3x-x^2-\frac{5}{4}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$${\log }_{1/2}A\cdot {\log }_{3}C⩽{\log }_{1/3}B\cdot {\log }_{2}C.$$

Область определения. Логарифмы существуют, когда все их аргументы положительны.

Аргумент $\sqrt{6-x}$ требует $6-x⩾0\text{,}$ то есть $x⩽6\text{.}$

Аргумент $B$ положителен всегда: $B=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x\right|+\frac{3}{2}⩾\frac{3}{2}>0\text{.}$

Аргумент $C$ положителен на интервале между корнями уравнения $3x-x^2-\frac{5}{4}=0\text{.}$ Это уравнение равносильно $x^2-3x+\frac{5}{4}=0\text{,}$ его корни $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{5}{2}\text{;}$ поскольку коэффициент при $x^2$ в $C$ отрицателен, имеем $C>0$ ровно при $x\in \left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)\text{.}$

Наконец, проверим положительность $A$ на этом интервале. При $x\in \left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$ выражение $-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ меняется от $1$ (при $x=\frac{1}{2}$) до $0$ (при $x=\frac{5}{2}$), а $\sqrt{6-x}⩾\sqrt{6-\frac{5}{2}}=\sqrt{3,5}>1\text{,}$ поэтому $A>0$ на всём интервале. Условие $x⩽6$ здесь автоматически выполнено.

Итак, область определения неравенства — это интервал

$$D=\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right).$$

Сведение к произведению. Воспользуемся тождествами ${\log }_{1/2}A=-{\log }_{2}A$ и ${\log }_{1/3}B=-{\log }_{3}B\text{,}$ а также формулой перехода к натуральным логарифмам ${\log }_{a}t=\frac{\ln t}{\ln a}\text{.}$ Получаем

$${\log }_{1/2}A\cdot {\log }_{3}C=-\frac{\ln A}{\ln 2}\cdot \frac{\ln C}{\ln 3}=-\frac{\ln A\ln C}{\ln 2\ln 3},{\log }_{1/3}B\cdot {\log }_{2}C=-\frac{\ln B}{\ln 3}\cdot \frac{\ln C}{\ln 2}=-\frac{\ln B\ln C}{\ln 2\ln 3}.$$

Перенесём всё в одну часть. Разность правой и левой частей равна

$${\log }_{1/3}B\cdot {\log }_{2}C-{\log }_{1/2}A\cdot {\log }_{3}C=\frac{\ln C}{\ln 2\ln 3}(\ln A-\ln B)=\frac{\ln C\cdot \ln \frac{A}{B}}{\ln 2\ln 3}.$$

Так как $\ln 2\ln 3>0\text{,}$ исходное неравенство $(\text{левая}⩽\text{правая})$ равносильно на $D$ неравенству

$$\ln C\cdot \ln \frac{A}{B}⩾0.$$

Знак множителя $\ln C\text{.}$ Заметим, что

$$C-1=3x-x^2-\frac{5}{4}-1=-(x^2-3x+\frac{9}{4})=-(x-\frac{3}{2}{)}^2⩽0,$$

то есть на всей области $C⩽1\text{,}$ причём $C=1$ только при $x=\frac{3}{2}\text{.}$ Значит, $\ln C⩽0$ на $D\text{,}$ и $\ln C=0$ лишь при $x=\frac{3}{2}\text{.}$

Разберём два случая.

Случай 1: $x=\frac{3}{2}\text{.}$ Здесь $C=1\text{,}$ поэтому $\ln C=0$ и произведение $\ln C\cdot \ln \frac{A}{B}=0⩾0\text{.}$ Неравенство выполнено (обе части исходного неравенства обращаются в нуль, так как ${\log }_{3}C={\log }_{2}C=0$). Точка $x=\frac{3}{2}$ входит в ответ.

Случай 2: $x\in D,x\ne \frac{3}{2}\text{.}$ Тогда $\ln C<0$ строго, и неравенство $\ln C\cdot \ln \frac{A}{B}⩾0$ равносильно $\ln \frac{A}{B}⩽0\text{,}$ то есть $A⩽B\text{.}$

Решим неравенство $A⩽B$ на $D\text{.}$ При $x>\frac{1}{2}$ имеем $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x<0\text{,}$ поэтому $\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x\right|=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ и

$$B=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}.$$

Подставляя $A=\sqrt{6-x}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\text{,}$ приводим неравенство $A⩽B$ к виду

$$\sqrt{6-x}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}⩽\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}⟺\sqrt{6-x}⩽x.$$

На области $x>0\text{,}$ поэтому правая часть положительна и неравенство равносильно $6-x⩽x^2\text{,}$ то есть

$$x^2+x-6⩾0⟺(x-2)(x+3)⩾0⟺x⩾2(\text{учитывая }x>0).$$

Пересекая с областью $D=\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$ и условием $x\ne \frac{3}{2}\text{,}$ получаем из случая 2 множество $\left[2;\frac{5}{2}\right)\text{.}$ Граничная точка $x=2$ даёт здесь равенство $\sqrt{6-2}=2\text{,}$ то есть $A=B$ и $\ln \frac{A}{B}=0\text{,}$ поэтому она удовлетворяет неравенству; точка $x=\frac{5}{2}$ не входит в область определения.

Объединение. Из случаев 1 и 2 получаем решение

$$\left\{\frac{3}{2}\right\}\cup \left[2;\frac{5}{2}\right).$$

Замечание о граничной точке $x=2\text{.}$ В этой точке $A=B=\frac{9}{4}\text{,}$ а $C=\frac{3}{4}\text{.}$ Хотя ни одна из частей неравенства не равна нулю по отдельности $({\log }_{1/2}\frac{9}{4}\cdot {\log }_3\frac{3}{4}={\log }_{1/3}\frac{9}{4}\cdot {\log }_2\frac{3}{4}\approx 0,3064)\text{,}$ они в точности равны между собой, поскольку ${\log }_{1/2}A\cdot {\log }_{3}C-{\log }_{1/3}B\cdot {\log }_{2}C=\frac{\ln C\cdot \ln (A/B)}{\ln 2\ln 3}=0$ при $A=B\text{.}$ Поэтому нестрогое неравенство $⩽$ в точке $x=2$ обращается в верное равенство, и эта точка входит в решение.

Ответ: $\left\{\frac{3}{2}\right\}\cup \left[2;\frac{5}{2}\right)\text{.}$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.