Найти все решения уравнения 3cos(x)/(3)+(3-4sqrt(3))sin(x)/(6)=3-2sqrt(3), удовлетворяющие условию cos(3x)/(4)>0.

Решаем уравнение 3cos(x)/(3)+(3-4sqrt(3))sin(x)/(6)=3-2sqrt(3) и затем отбираем корни, удовлетворяющие условию cos(3x)/(4)>0. **Сведение к одной тригонометрической функции.** Введём вспомогательный угол t=(x)/(6). Тогда (x)/(3)=2t, и по формуле косинуса двойного угла cos(x)/(3)=cos 2t=1-2sin^2 t. Уравнение принимает вид 3(1-2sin^2 t)+(3-4sqrt(3))sin t=3-2sqrt(3). Раскрывая скобки и перенося всё в одну сторону, получаем квадратное уравнение относительно s=sin t: -6s^2+(3-4sqrt(3))s+2sqrt(3)=0, или 6s^2+(4sqrt(3)-3)s-2sqrt(3)=0. **Решение квадратного уравнения.** Левая часть раскладывается на множители: 6s^2+(4sqrt(3)-3)s-2sqrt(3)=(2s-1)(3s+2sqrt(3))=0, что легко проверить раскрытием скобок: 6s^2+43s-3s-23=6s^2+(43-3)s-23. Отсюда s=(1)/(2) или s=-(2sqrt(3))/(3). Второй корень посторонний: -(2sqrt(3))/(3)=-(2)/(3)~-1,155, и |s|>1, тогда как sin t принимает значения только из отрезка [-1;1]. Поэтому остаётся sin(x)/(6)=(1)/(2). **Серии корней уравнения.** Уравнение sin(x)/(6)=12 даёт две стандартные серии: (x)/(6)=(pi)/(6)+2pi m x=pi+12pi m, (x)/(6)=(5pi)/(6)+2pi m x=5pi+12pi m, minZ. Это полный набор решений исходного уравнения (период 12pi совпадает с наименьшим общим периодом функций cos(x)/(3) и sin(x)/(6)). **Отбор по условию cos(3x)/(4)>0.** Рассмотрим каждую серию отдельно, вычисляя (3x)/(4). Серия I: x=pi+12pi m. Тогда (3x)/(4)=(3pi)/(4)+9pi m, cos(3x)/(4)=cos((3pi)/(4)+9pi m)=(-1)^(m)cos(3pi)/(4)=(-1)^(m)(-(2)/(2)), поскольку cos(alpha+9pi m)=cos(alpha+pi m)=(-1)^m. Это число положительно тогда и только тогда, когда (-1)^m=-1, то есть при нечётном m. Положив m=2n+1, получаем x=pi+12pi(2n+1)=13pi+24pi n, ninZ. Серия II: x=5pi+12pi m. Тогда (3x)/(4)=(15pi)/(4)+9pi m, cos(3x)/(4)=(-1)^(m)cos(15pi)/(4)=(-1)^(m)cos(4pi-(pi)/(4))=(-1)^(m)(2)/(2). Это положительно тогда и только тогда, когда m чётно. Положив m=2k, получаем x=5pi+12pi* 2k=5pi+24pi k, kinZ. **Ответ.** Условию задачи удовлетворяют ровно две серии: x=5pi+24pi k, x=13pi+24pi n, k,ninZ. Заметим, что общий период всей задачи (уравнение плюс условие отбора) равен lcm(12pi,(8pi)/(3))=24pi, и каждая из двух серий поставляет ровно по одному корню на отрезок длины 24pi, что согласуется с найденными выражениями. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(x=5\pi+24\pi n;\ \ x=13\pi+24\pi k,\ \ n,k\in\mathbb{Z}\)