Задача №18138

Найти все решения уравнения

$$3\cos \frac{x}{3}+\left(3-4\sqrt{3}\right)\sin \frac{x}{6}=3-2\sqrt{3},$$

удовлетворяющие условию $\cos \frac{3x}{4}>0\text{.}$

Решаем уравнение

$$3\cos \frac{x}{3}+\left(3-4\sqrt{3}\right)\sin \frac{x}{6}=3-2\sqrt{3}$$

и затем отбираем корни, удовлетворяющие условию $\cos \frac{3x}{4}>0\text{.}$

Сведение к одной тригонометрической функции.

Введём вспомогательный угол $t=\frac{x}{6}\text{.}$ Тогда $\frac{x}{3}=2t\text{,}$ и по формуле косинуса двойного угла

$$\cos \frac{x}{3}=\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t.$$

Уравнение принимает вид

$$3\left(1-2{\sin }^{2}t\right)+\left(3-4\sqrt{3}\right)\sin t=3-2\sqrt{3}.$$

Раскрывая скобки и перенося всё в одну сторону, получаем квадратное уравнение относительно $s=\sin t\text{:}$

$$-6s^2+\left(3-4\sqrt{3}\right)s+2\sqrt{3}=0,\text{или}6s^2+\left(4\sqrt{3}-3\right)s-2\sqrt{3}=0.$$

Решение квадратного уравнения.

Левая часть раскладывается на множители:

$$6s^2+\left(4\sqrt{3}-3\right)s-2\sqrt{3}=(2s-1)\left(3s+2\sqrt{3}\right)=0,$$

что легко проверить раскрытием скобок: $6s^2+4\sqrt{3}s-3s-2\sqrt{3}=6s^2+(4\sqrt{3}-3)s-2\sqrt{3}\text{.}$ Отсюда

$$s=\frac{1}{2}\text{или}s=-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Второй корень посторонний: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}=-\frac{2}{\sqrt{3}}\approx -1,155\text{,}$ и $|s|>1\text{,}$ тогда как $\sin t$ принимает значения только из отрезка $[-1;1]\text{.}$ Поэтому остаётся

$$\sin \frac{x}{6}=\frac{1}{2}.$$

Серии корней уравнения.

Уравнение $\sin \frac{x}{6}=\frac{1}{2}$ даёт две стандартные серии:

$$\frac{x}{6}=\frac{\pi }{6}+2\pi m⟹x=\pi +12\pi m,$$ $$\frac{x}{6}=\frac{5\pi }{6}+2\pi m⟹x=5\pi +12\pi m,m\in \mathbb{Z}.$$

Это полный набор решений исходного уравнения (период $12\pi$ совпадает с наименьшим общим периодом функций $\cos \frac{x}{3}$ и $\sin \frac{x}{6}$).

Отбор по условию $\cos \frac{3x}{4}>0\text{.}$

Рассмотрим каждую серию отдельно, вычисляя $\frac{3x}{4}\text{.}$

Серия I: $x=\pi +12\pi m\text{.}$ Тогда

$$\frac{3x}{4}=\frac{3\pi }{4}+9\pi m,\cos \frac{3x}{4}=\cos \left(\frac{3\pi }{4}+9\pi m\right)=(-1{)}^m\cos \frac{3\pi }{4}=(-1{)}^m\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),$$

поскольку $\cos (\alpha +9\pi m)=\cos (\alpha +\pi m)=(-1{)}^m\cos \alpha \text{.}$ Это число положительно тогда и только тогда, когда $(-1{)}^m=-1\text{,}$ то есть при нечётном $m\text{.}$ Положив $m=2n+1\text{,}$ получаем

$$x=\pi +12\pi (2n+1)=13\pi +24\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Серия II: $x=5\pi +12\pi m\text{.}$ Тогда

$$\frac{3x}{4}=\frac{15\pi }{4}+9\pi m,\cos \frac{3x}{4}=(-1{)}^m\cos \frac{15\pi }{4}=(-1{)}^m\cos \left(4\pi -\frac{\pi }{4}\right)=(-1{)}^m\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Это положительно тогда и только тогда, когда $m$ чётно. Положив $m=2k\text{,}$ получаем

$$x=5\pi +12\pi \cdot 2k=5\pi +24\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ.

Условию задачи удовлетворяют ровно две серии:

$$\boxed{x=5\pi +24\pi k,x=13\pi +24\pi n,k,n\in \mathbb{Z}.}$$

Заметим, что общий период всей задачи (уравнение плюс условие отбора) равен $\mathrm{lcm}\left(12\pi ,\frac{8\pi }{3}\right)=24\pi \text{,}$ и каждая из двух серий поставляет ровно по одному корню на отрезок длины $24\pi \text{,}$ что согласуется с найденными выражениями.

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.