Найти все значения a, при каждом из которых уравнение (x^2+(1-a)x-3(a+2))*_((x-a))(x-2a-1)=0 имеет хотя бы один корень на отрезке [-2;1], а вне этого отрезка корней не имеет.

Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один из множителей, причём оба множителя должны быть определены. Поэтому сначала выпишем область допустимых значений (ОДЗ), порождённую логарифмом _((x-a))(x-2a-1): cases x-a>0, x-a!= 1, x-2a-1>0. cases То есть x>a, x!= a+1 и x>2a+1. Вне этой области ни одно из слагаемых произведения не определено, и уравнение там корней не имеет. **Разложение множителей.** Квадратный трёхчлен раскладывается явно: x^2+(1-a)x-3(a+2)=(x+3)(x-(a+2)), в чём легко убедиться раскрытием скобок: (x+3)(x-a-2)=x^2-(a+2)x+3x-3(a+2)=x^2+(1-a)x-3(a+2). Значит, первый множитель обращается в нуль при x=-3 и при x=a+2. Второй множитель _((x-a))(x-2a-1) равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен единице: x-2a-1=1 x=2a+2. Итак, корнями уравнения могут быть только три числа: x=-3, x=a+2 и x=2a+2; каждое из них является корнем лишь при условии, что попадает в ОДЗ. Разберём для каждого кандидата, при каких a он принадлежит области определения. **Кандидат x=-3.** Подставляя x=-3 в условия ОДЗ, получаем x-a=-a-3, x-2a-1=-2a-4. Требования x-a>0, x-a!= 1, x-2a-1>0 дают -a-3>0, -a-3!= 1, -2a-4>0 a<-3, a!=-4, a<-2. Совместно: a<-3 и a!=-4. При этом сам корень x=-3 не лежит на отрезке [-2;1] (так как -3<-2). Следовательно, как только x=-3 оказывается корнем, у уравнения немедленно появляется корень вне отрезка, и такое значение a условию не удовлетворяет. Вывод: при a<-3, a!=-4 уравнение заведомо «плохое». **Кандидат x=a+2.** Здесь x-a=2, поэтому условия x-a>0 и x-a!= 1 выполнены автоматически. Остаётся x-2a-1=1-a>0, то есть a<1. Положение корня на отрезке: -2 a+2 1 -4 a -1. Таким образом, при a<1 число x=a+2 — корень, и он лежит на [-2;1] ровно при -4 a -1; при a<-4 он уходит левее -2, при -1<a<1 — правее 1. **Кандидат x=2a+2.** Здесь x-a=a+2, а x-2a-1=1>0 (условие на аргумент выполнено всегда). Требования к основанию: a+2>0 и a+2!= 1, то есть a>-2 и a!=-1. Положение корня на отрезке: -2 2a+2 1 -2 a -12. Значит, при a>-2, a!=-1 число x=2a+2 — корень; он лежит на [-2;1] при -2 a -12 (точнее, при ain[-2;-12]-1 с учётом исключения a=-1), а при a>-12 уходит правее 1. **Сборка условия.** Нужно, чтобы хотя бы один корень попал на [-2;1] и при этом ни один корень не вышел за пределы отрезка. Пройдём по значениям параметра. 1. При a<-3, a!=-4 присутствует корень x=-3not in[-2;1] — условие нарушено. 2. При a=-4. Корень x=-3 исключается: основание x-a=-(-4)-3=1 запрещено. Корень x=a+2=-2 определён (a=-4<1) и лежит на [-2;1] (левый конец). Корень x=2a+2=-6 не определён, так как a=-4<-2. Итого единственный корень x=-2in[-2;1] — значение a=-4 подходит. 3. При a=-3. Корень x=-3 исключается: основание x-a=-3-(-3)=0 не определено. Корень x=a+2=-1 определён (a=-3<1) и лежит на [-2;1]. Корень x=2a+2=-4 не определён: основание a+2=-1<0. Итого единственный корень x=-1in[-2;1], вне отрезка корней нет — значение a=-3 подходит. 4. При -3<a -1. Корень x=-3 не определён (нужно было a<-3). Корень x=a+2 определён и лежит на [-2;1], поскольку -4 a -1 здесь выполнено (на самом деле a+2in(-1;1]). Корень x=2a+2 определён лишь при a>-2, a!=-1; при таких a он равен 2a+2in(-2;0] и тоже лежит на [-2;1]. Таким образом, все имеющиеся корни лежат на отрезке, а хотя бы один корень (например, x=a+2) на нём есть. Все эти a подходят. 5. При -1<a<1. Корень x=a+2in(1;3) выходит за правый конец отрезка — условие нарушено (корень вне [-2;1]). Дополнительно при -1<a<-12 ещё присутствует корень x=2a+2 на отрезке, но наличие корня x=a+2>1 уже делает значение «плохим». 6. При a 1. Корень x=a+2 не определён (1-a 0); корень x=2a+2 4 определён (a>-2) и лежит вне отрезка. Условие нарушено. Объединяя пункты 2, 3, 4, получаем множество подходящих значений параметра: ain-4[-3;-1]. **Замечание о граничной точке a=-3.** При a=-3 кандидат x=-3 имеет основание логарифма x-a=0 и потому не определён (это не корень), а кандидат x=2a+2=-4 имеет отрицательное основание a+2=-1 и тоже не является корнем. Поэтому при a=-3 у уравнения остаётся единственный корень x=-1, лежащий на [-2;1], и корней вне отрезка нет. По строгому смыслу условия точка a=-3 принадлежит ответу. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\{-4\}\cup[-3;-1]\)