Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Мехмат МГУ (архив)
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
(x2+(1−a)x−3(a+2))⋅log(x−a)(x−2a−1)=0имеет хотя бы один корень на отрезке [−2;1], а вне этого отрезка корней не имеет.
Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один из множителей, причём оба множителя должны быть определены. Поэтому сначала выпишем область допустимых значений (ОДЗ), порождённую логарифмом log(x−a)(x−2a−1):
⎩⎨⎧x−a>0,x−a=1,x−2a−1>0.То есть x>a, x=a+1 и x>2a+1. Вне этой области ни одно из слагаемых произведения не определено, и уравнение там корней не имеет.
Разложение множителей. Квадратный трёхчлен раскладывается явно:
x2+(1−a)x−3(a+2)=(x+3)(x−(a+2)),в чём легко убедиться раскрытием скобок: (x+3)(x−a−2)=x2−(a+2)x+3x−3(a+2)=x2+(1−a)x−3(a+2). Значит, первый множитель обращается в нуль при x=−3 и при x=a+2.
Второй множитель log(x−a)(x−2a−1) равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен единице:
x−2a−1=1⟺x=2a+2.Итак, корнями уравнения могут быть только три числа: x=−3, x=a+2 и x=2a+2; каждое из них является корнем лишь при условии, что попадает в ОДЗ. Разберём для каждого кандидата, при каких a он принадлежит области определения.
Кандидат x=−3. Подставляя x=−3 в условия ОДЗ, получаем x−a=−a−3, x−2a−1=−2a−4. Требования x−a>0, x−a=1, x−2a−1>0 дают
−a−3>0,−a−3=1,−2a−4>0⟺a<−3,a=−4,a<−2.Совместно: a<−3 и a=−4. При этом сам корень x=−3 не лежит на отрезке [−2;1] (так как −3<−2). Следовательно, как только x=−3 оказывается корнем, у уравнения немедленно появляется корень вне отрезка, и такое значение a условию не удовлетворяет. Вывод: при a<−3, a=−4 уравнение заведомо «плохое».
Кандидат x=a+2. Здесь x−a=2, поэтому условия x−a>0 и x−a=1 выполнены автоматически. Остаётся x−2a−1=1−a>0, то есть a<1. Положение корня на отрезке:
−2⩽a+2⩽1⟺−4⩽a⩽−1.Таким образом, при a<1 число x=a+2 — корень, и он лежит на [−2;1] ровно при −4⩽a⩽−1; при a<−4 он уходит левее −2, при −1<a<1 — правее 1.
Кандидат x=2a+2. Здесь x−a=a+2, а x−2a−1=1>0 (условие на аргумент выполнено всегда). Требования к основанию: a+2>0 и a+2=1, то есть a>−2 и a=−1. Положение корня на отрезке:
−2⩽2a+2⩽1⟺−2⩽a⩽−21.Значит, при a>−2, a=−1 число x=2a+2 — корень; он лежит на [−2;1] при −2⩽a⩽−21 (точнее, при a∈[−2;−21]∖{−1} с учётом исключения a=−1), а при a>−21 уходит правее 1.
Сборка условия. Нужно, чтобы хотя бы один корень попал на [−2;1] и при этом ни один корень не вышел за пределы отрезка. Пройдём по значениям параметра.
1. При a<−3, a=−4 присутствует корень x=−3∈/[−2;1] — условие нарушено.
2. При a=−4. Корень x=−3 исключается: основание x−a=−(−4)−3=1 запрещено. Корень x=a+2=−2 определён (a=−4<1) и лежит на [−2;1] (левый конец). Корень x=2a+2=−6 не определён, так как a=−4<−2. Итого единственный корень x=−2∈[−2;1] — значение a=−4 подходит.
3. При a=−3. Корень x=−3 исключается: основание x−a=−3−(−3)=0 не определено. Корень x=a+2=−1 определён (a=−3<1) и лежит на [−2;1]. Корень x=2a+2=−4 не определён: основание a+2=−1<0. Итого единственный корень x=−1∈[−2;1], вне отрезка корней нет — значение a=−3 подходит.
4. При −3<a⩽−1. Корень x=−3 не определён (нужно было a<−3). Корень x=a+2 определён и лежит на [−2;1], поскольку −4⩽a⩽−1 здесь выполнено (на самом деле a+2∈(−1;1]). Корень x=2a+2 определён лишь при a>−2, a=−1; при таких a он равен 2a+2∈(−2;0] и тоже лежит на [−2;1]. Таким образом, все имеющиеся корни лежат на отрезке, а хотя бы один корень (например, x=a+2) на нём есть. Все эти a подходят.
5. При −1<a<1. Корень x=a+2∈(1;3) выходит за правый конец отрезка — условие нарушено (корень вне [−2;1]). Дополнительно при −1<a<−21 ещё присутствует корень x=2a+2 на отрезке, но наличие корня x=a+2>1 уже делает значение «плохим».
6. При a⩾1. Корень x=a+2 не определён (1−a⩽0); корень x=2a+2⩾4 определён (a>−2) и лежит вне отрезка. Условие нарушено.
Объединяя пункты 2, 3, 4, получаем множество подходящих значений параметра:
a∈{−4}∪[−3;−1].Замечание о граничной точке a=−3. При a=−3 кандидат x=−3 имеет основание логарифма x−a=0 и потому не определён (это не корень), а кандидат x=2a+2=−4 имеет отрицательное основание a+2=−1 и тоже не является корнем. Поэтому при a=−3 у уравнения остаётся единственный корень x=−1, лежащий на [−2;1], и корней вне отрезка нет. По строгому смыслу условия точка a=−3 принадлежит ответу.
Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.