Решить уравнение 4^(2x-2)-4^x+|4^(x-1)-(1)/(3)|=-(7)/(3).

Введём замену t=4^(x) . Поскольку 4^(x)>0 при всех x , новая переменная пробегает все значения t>0 . Выразим через t каждое слагаемое: 4^(2x-2)=(4^(2x))/(4^(2))=((4^(x))^(2))/(16)=(t^(2))/(16), 4^(x)=t, 4^(x-1)=(4^(x))/(4)=(t)/(4). Уравнение принимает вид (t^(2))/(16)-t+|(t)/(4)-(1)/(3)|=-(7)/(3), t>0. Раскроем модуль. Подмодульное выражение (t)/(4)-(1)/(3) меняет знак в точке t=(4)/(3) : оно неотрицательно при t(4)/(3) и отрицательно при 0<t<(4)/(3) . Рассмотрим два случая. **Случай 1: t(4)/(3) .** Здесь |(t)/(4)-(1)/(3)|=(t)/(4)-(1)/(3) , и уравнение становится (t^(2))/(16)-t+(t)/(4)-(1)/(3)+(7)/(3)=0 (t^(2))/(16)-(3t)/(4)+2=0. Умножая на 16 , получаем t^(2)-12t+32=0 , откуда t=4 или t=8 . Оба значения удовлетворяют условию t(4)/(3) , поэтому оба годятся. **Случай 2: 0<t<(4)/(3) .** Здесь |(t)/(4)-(1)/(3)|=-((t)/(4)-(1)/(3))=(1)/(3)-(t)/(4) , и уравнение принимает вид (t^(2))/(16)-t-(t)/(4)+(1)/(3)+(7)/(3)=0 (t^(2))/(16)-(5t)/(4)+(8)/(3)=0. Умножая на 48 , получаем 3t^(2)-60t+128=0 , откуда t=(60+-sqrt(3600-1536))/(6)=(60+-sqrt(2064))/(6)=10+-(2sqrt(129))/(3). Численно sqrt(129)~ 11,36 , поэтому корни приближённо равны 2,43 и 17,57 . Оба больше (4)/(3)~ 1,33 , то есть не удовлетворяют ограничению 0<t<(4)/(3) . Значит, в этом случае решений нет. Итак, для t допустимы лишь значения t=4 и t=8 . Вернёмся к переменной x , решая 4^(x)=t : 4^(x)=4 x=1, 4^(x)=8 x=_(4)8=(_(2)8)/(_(2)4)=(3)/(2). Проверка подстановкой подтверждает оба корня. При x=1 : 4^(0)-4^(1)+|4^(0)-13|=1-4+23=-73 . При x=32 : 4^(1)-4^(3/2)+|4^(1/2)-13|=4-8+53=-73 . Оба раза получается правая часть -(7)/(3) . **Ответ:** x=1 и x=(3)/(2) .

\(1; \dfrac{3}{2}\)