Задача №18137

Решить уравнение

$$4^{2x-2}-4^x+\left|4^{x-1}-\frac{1}{3}\right|=-\frac{7}{3}.$$

Введём замену $t=4^x\text{.}$ Поскольку $4^x>0$ при всех $x\text{,}$ новая переменная пробегает все значения $t>0\text{.}$ Выразим через $t$ каждое слагаемое:

$$4^{2x-2}=\frac{4^{2x}}{4^2}=\frac{(4^x{)}^2}{16}=\frac{t^2}{16},4^x=t,4^{x-1}=\frac{4^x}{4}=\frac{t}{4}.$$

Уравнение принимает вид

$$\frac{t^2}{16}-t+\left|\frac{t}{4}-\frac{1}{3}\right|=-\frac{7}{3},t>0.$$

Раскроем модуль. Подмодульное выражение $\frac{t}{4}-\frac{1}{3}$ меняет знак в точке $t=\frac{4}{3}\text{:}$ оно неотрицательно при $t⩾\frac{4}{3}$ и отрицательно при $0<t<\frac{4}{3}\text{.}$ Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t⩾\frac{4}{3}\text{.}$ Здесь $\left|\frac{t}{4}-\frac{1}{3}\right|=\frac{t}{4}-\frac{1}{3}\text{,}$ и уравнение становится

$$\frac{t^2}{16}-t+\frac{t}{4}-\frac{1}{3}+\frac{7}{3}=0⟺\frac{t^2}{16}-\frac{3t}{4}+2=0.$$

Умножая на $16\text{,}$ получаем $t^2-12t+32=0\text{,}$ откуда $t=4$ или $t=8\text{.}$ Оба значения удовлетворяют условию $t⩾\frac{4}{3}\text{,}$ поэтому оба годятся.

Случай 2: $0<t<\frac{4}{3}\text{.}$ Здесь $\left|\frac{t}{4}-\frac{1}{3}\right|=-\left(\frac{t}{4}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{t}{4}\text{,}$ и уравнение принимает вид

$$\frac{t^2}{16}-t-\frac{t}{4}+\frac{1}{3}+\frac{7}{3}=0⟺\frac{t^2}{16}-\frac{5t}{4}+\frac{8}{3}=0.$$

Умножая на $48\text{,}$ получаем $3t^2-60t+128=0\text{,}$ откуда

$$t=\frac{60\pm \sqrt{3600-1536}}{6}=\frac{60\pm \sqrt{2064}}{6}=10\pm \frac{2\sqrt{129}}{3}.$$

Численно $\sqrt{129}\approx 11,36\text{,}$ поэтому корни приближённо равны $2,43$ и $17,57\text{.}$ Оба больше $\frac{4}{3}\approx 1,33\text{,}$ то есть не удовлетворяют ограничению $0<t<\frac{4}{3}\text{.}$ Значит, в этом случае решений нет.

Итак, для $t$ допустимы лишь значения $t=4$ и $t=8\text{.}$ Вернёмся к переменной $x\text{,}$ решая $4^x=t\text{:}$

$$4^x=4⟹x=1,4^x=8⟹x={\log }_{4}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}.$$

Проверка подстановкой подтверждает оба корня. При $x=1\text{:}$ $4^0-4^1+\left|4^0-\frac{1}{3}\right|=1-4+\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}\text{.}$ При $x=\frac{3}{2}\text{:}$ $4^1-4^{3/2}+\left|4^{1/2}-\frac{1}{3}\right|=4-8+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}\text{.}$ Оба раза получается правая часть $-\frac{7}{3}\text{.}$

Ответ: $x=1$ и $x=\frac{3}{2}\text{.}$