Точка F лежит на продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E и сторону CD в точке G. Известно, что AE=2 см, GF=3 см. Найти отношение площадей треугольников BAE и EDG.

Обозначим длины сторон параллелограмма: BC=AD=a, AB=CD=b. Точка F лежит на продолжении стороны BC за точку C, поэтому C лежит между B и F; положим CF=c. Тогда BF=BC+CF=a+c. Прямая AF последовательно пересекает диагональ BD в точке E и сторону CD в точке G, причём на отрезке AF точки идут в порядке A,E,G,F (это видно из того, что BD проходит внутри параллелограмма ближе к A, а сторона CD дальше). Дано AE=2 см, GF=3 см. **Шаг 1. Точка G: отношение AG:GF.** Так как ABCD — параллелограмм, то CD AB; значит и отрезок CG (часть прямой CD) параллелен AB. В треугольнике ABF точка C лежит на стороне BF, а точка G — на стороне AF, причём CG AB. Следовательно, треугольники FCG и FBA подобны (общий угол при вершине F и равные накрест/соответственные углы из параллельности), откуда (FG)/(FA)=(FC)/(FB)=(c)/(a+c). Тогда (AG)/(AF)=1-(FG)/(FA)=(a)/(a+c), и значит (AG)/(GF)=(a)/(c). **Шаг 2. Точка E: отношение AE:EF.** Точка E — пересечение прямой AF с диагональю BD. Удобно найти положение E на отрезке AF. Рассмотрим треугольник ABD: его сторона AB параллельна CD, а прямая AF и диагональ BD пересекаются в E. Прямой подсчёт (например, разложением векторов AE=t*AF и приравниванием к точке диагонали BD) даёт (AE)/(AF)=(a)/(2a+c). Тем самым все три части отрезка AF выражаются через a и c: из шага 1 и шага 2 получаем (AE)/(AF)=(a)/(2a+c), (AG)/(AF)=(a)/(a+c), (GF)/(AF)=(c)/(a+c). **Шаг 3. Использование условия AE=2, GF=3.** Поделив, найдём (AE)/(GF)=(a/(2a+c))/(c/(a+c))=(a(a+c))/(c(2a+c)). По условию (AE)/(GF)=(2)/(3), то есть (a(a+c))/(c(2a+c))=(2)/(3). Раскрывая, получаем 3a(a+c)=2c(2a+c), то есть 3a^2+3ac=4ac+2c^2, откуда 3a^2-ac-2c^2=0. Решая это однородное уравнение относительно отношения a/c (разделим на c^2, положив x=a/c): 3x^2-x-2=0, x=(1+-sqrt(1+24))/(6)=(1+-5)/(6). Положительный корень x=1 (отрицательный x=-23 отброшен, так как длины положительны). Значит a=c, то есть BC=CF. **Шаг 4. Деление отрезка AF и длина EG.** Подставив c=a в найденные доли, получим (AE)/(AF)=(a)/(3a)=13, (AG)/(AF)=(a)/(2a)=12, (GF)/(AF)=12. Следовательно AE:EG:GF=13:(12-13):12=13:16:12=2:1:3. Это согласуется с данными AE=2, GF=3 и даёт EG=1 см, AF=6 см. В частности, (EA)/(EG)=(2)/(1)=2. **Шаг 5. Подобие треугольников BAE и DGE и отношение площадей.** Точка E лежит одновременно на прямой AF (на ней точки A и G) и на прямой BD (на ней точки B и D). При вершине E углы AEB и GED вертикальные, значит равны. Кроме того AB CD, а Gin CD, поэтому AB GD; отсюда EAB= EGD как накрест лежащие при секущей AF. Значит треугольники EAB и EGD подобны: BAE DGE, k=(EA)/(EG)=2. (Коэффициент подобия можно проверить и по второй паре сходственных сторон: (EB)/(ED)=(EA)/(EG)=2, что согласуется.) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: (S_(BAE))/(S_(EDG))=k^2=2^2=4. **Ответ:** отношение площадей треугольников BAE и EDG равно 4.

\(4\)