Задача №18140

Точка $F$ лежит на продолжении стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ за точку $C\text{.}$ Отрезок $AF$ пересекает диагональ $BD$ в точке $E$ и сторону $CD$ в точке $G\text{.}$ Известно, что $AE=2$ см, $GF=3$ см. Найти отношение площадей треугольников $BAE$ и $EDG\text{.}$

Обозначим длины сторон параллелограмма: $BC=AD=a\text{,}$ $AB=CD=b\text{.}$ Точка $F$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C\text{,}$ поэтому $C$ лежит между $B$ и $F\text{;}$ положим $CF=c\text{.}$ Тогда $BF=BC+CF=a+c\text{.}$ Прямая $AF$ последовательно пересекает диагональ $BD$ в точке $E$ и сторону $CD$ в точке $G\text{,}$ причём на отрезке $AF$ точки идут в порядке $A,E,G,F$ (это видно из того, что $BD$ проходит внутри параллелограмма ближе к $A\text{,}$ а сторона $CD$ дальше). Дано $AE=2$ см, $GF=3$ см.

Шаг 1. Точка $G\text{:}$ отношение $AG:GF\text{.}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $CD\parallel AB\text{;}$ значит и отрезок $CG$ (часть прямой $CD$) параллелен $AB\text{.}$ В треугольнике $ABF$ точка $C$ лежит на стороне $BF\text{,}$ а точка $G$ — на стороне $AF\text{,}$ причём $CG\parallel AB\text{.}$ Следовательно, треугольники $FCG$ и $FBA$ подобны (общий угол при вершине $F$ и равные накрест/соответственные углы из параллельности), откуда

Тогда

Шаг 2. Точка $E\text{:}$ отношение $AE:EF\text{.}$

Точка $E$ — пересечение прямой $AF$ с диагональю $BD\text{.}$ Удобно найти положение $E$ на отрезке $AF\text{.}$ Рассмотрим треугольник $ABD\text{:}$ его сторона $AB$ параллельна $CD\text{,}$ а прямая $AF$ и диагональ $BD$ пересекаются в $E\text{.}$ Прямой подсчёт (например, разложением векторов $\overrightarrow{AE}=t\cdot \overrightarrow{AF}$ и приравниванием к точке диагонали $BD$) даёт

Тем самым все три части отрезка $AF$ выражаются через $a$ и $c\text{:}$ из шага 1 и шага 2 получаем

Шаг 3. Использование условия $AE=2,GF=3\text{.}$

Поделив, найдём

По условию $\frac{AE}{GF}=\frac{2}{3}\text{,}$ то есть

Раскрывая, получаем $3a(a+c)=2c(2a+c)\text{,}$ то есть $3a^2+3ac=4ac+2c^2\text{,}$ откуда

Решая это однородное уравнение относительно отношения $a/c$ (разделим на $c^2\text{,}$ положив $x=a/c$): $3x^2-x-2=0\text{,}$ $x=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{6}=\frac{1\pm 5}{6}\text{.}$ Положительный корень $x=1$ (отрицательный $x=-\frac{2}{3}$ отброшен, так как длины положительны). Значит

Шаг 4. Деление отрезка $AF$ и длина $EG\text{.}$

Подставив $c=a$ в найденные доли, получим

Следовательно $AE:EG:GF=\frac{1}{3}:\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right):\frac{1}{2}=\frac{1}{3}:\frac{1}{6}:\frac{1}{2}=2:1:3\text{.}$ Это согласуется с данными $AE=2\text{,}$ $GF=3$ и даёт $EG=1$ см, $AF=6$ см. В частности,

Шаг 5. Подобие треугольников $BAE$ и $DGE$ и отношение площадей.

Точка $E$ лежит одновременно на прямой $AF$ (на ней точки $A$ и $G$) и на прямой $BD$ (на ней точки $B$ и $D$). При вершине $E$ углы $\angle AEB$ и $\angle GED$ вертикальные, значит равны. Кроме того $AB\parallel CD\text{,}$ а $G\in CD\text{,}$ поэтому $AB\parallel GD\text{;}$ отсюда $\angle EAB=\angle EGD$ как накрест лежащие при секущей $AF\text{.}$ Значит треугольники $EAB$ и $EGD$ подобны:

(Коэффициент подобия можно проверить и по второй паре сходственных сторон: $\frac{EB}{ED}=\frac{EA}{EG}=2\text{,}$ что согласуется.) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Ответ: отношение площадей треугольников $BAE$ и $EDG$ равно $\boxed{4}\text{.}$