58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Td46,Решаем уравнение \[\left(2\sin^2 x-3\sin x+1\right)\cdot\sqrt{\operatorname{tg}x}=0.\] **Область допустимых значений.** Подкоренное выражение $\sqrt{\operatorname{tg}x}$ определено лишь там, где $\operatorname{tg}x$ существует и неотрицателен: \[\operatorname{tg}x\ge 0,\qquad \cos x\neq 0.\] Условие $\operatorname{tg}x\ge 0$ выполняется на промежутках, где синус и косинус одного знака, то есть при $x\in\left[\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi k\right)$, $k\in\mathbb{Z}$ (точки $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, где $\cos x=0$, из области исключены). **Распадение на множители.** Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель (при сохранении ОДЗ). Получаем две возможности: \[\sqrt{\operatorname{tg}x}=0\qquad\text{или}\qquad 2\sin^2 x-3\sin x+1=0.\] **Первый множитель.** Уравнение $\sqrt{\operatorname{tg}x}=0$ равносильно $\operatorname{tg}x=0$, откуда \[x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\] Проверяем ОДЗ: при $x=\pi k$ имеем $\cos x=\pm1\neq 0$ и $\operatorname{tg}x=0\ge 0$, значит все эти точки допустимы. (Здесь подкоренное выражение само равно нулю, поэтому исходное произведение обращается в нуль независимо от первого множителя.) Итак, вся серия $x=\pi k$ — решения. **Второй множитель.** Решаем квадратное относительно $\sin x$ уравнение $2\sin^2 x-3\sin x+1=0$. Дискриминант $D=9-8=1$, корни \[\sin x=\frac{3\pm 1}{4}\ \Longrightarrow\ \sin x=1\quad\text{или}\quad \sin x=\frac12.\] Случай $\sin x=1$ даёт $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$. Но тогда $\cos x=0$ и $\operatorname{tg}x$ **не определён** — эти значения не входят в ОДЗ, поэтому **посторонние** и отбрасываются. Случай $\sin x=\dfrac12$ даёт две серии: \[x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\] Проверяем ОДЗ $\operatorname{tg}x\ge 0$. Угол $\dfrac{\pi}{6}$ лежит в первой четверти: $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}>0$, $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}>0$ — условие выполнено, серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ допустима. Угол $\dfrac{5\pi}{6}$ лежит во второй четверти: $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}<0$, $\operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{1}{\sqrt3}<0$, поэтому $\sqrt{\operatorname{tg}x}$ не определён — серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ **посторонняя** и отбрасывается. **Объединение.** Допустимыми остаются серии \[x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{и}\quad x=\pi k,\qquad n,k\in\mathbb{Z}.\] **Ответ:** $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ \ x=\pi k,\ \ n,k\in\mathbb{Z}$.5c:T10a5,Требуется решить неравенство \[\left(1-\frac{x}{2}\right)\cdot\log_{13-3\cdot 2^x}4\leqslant 1.\] **Область допустимых значений.** Основание логарифма $b=13-3\cdot 2^x$ должно быть положительным и отличным от единицы: \[13-3\cdot 2^x>0\quad\Longleftrightarrow\quad 2^x<\frac{13}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad x<\log_2\frac{13}{3},\] \[13-3\cdot 2^x\neq 1\quad\Longleftrightarrow\quad 2^x\neq 4\quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 2.\] Итак, ОДЗ: $x<\log_2\dfrac{13}{3}$ и $x\neq 2$. **Преобразование.** Поскольку $4=2^2$, по правилу замены основания \[\log_{b}4=\frac{\log_2 4}{\log_2 b}=\frac{2}{\log_2 b},\qquad b=13-3\cdot 2^x.\] Обозначим $t=\log_2\bigl(13-3\cdot 2^x\bigr)$. Тогда \[\left(1-\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{2}{t}\leqslant 1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2-x}{t}\leqslant 1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2-x-t}{t}\leqslant 0.\] Преобразуем числитель. Заметим, что при $x<\log_2\frac{13}{3}$ число $2^x$ лежит в $(0;\frac{13}{3})$, так что выражение под знаком $t$ положительно. Имеем $2-x=\log_2 4-\log_2 2^x=\log_2\dfrac{4}{2^x}$, и поэтому \[2-x-t=\log_2\frac{4}{2^x}-\log_2\bigl(13-3\cdot 2^x\bigr)=\log_2\frac{4}{2^x\,(13-3\cdot 2^x)}.\] Введём замену $u=2^x>0$. На ОДЗ $00\iff 13-3u>1\iff u<4\iff x<2,\] \[t<0\iff u>4\iff x>2.\] Поскольку на всей ОДЗ \(00$, так что выражение под логарифмом в $N$ положительно и $N$ определено всюду. **Случай 1: $x<2$ (то есть $u<4$), здесь $t>0$.** Неравенство $\frac{N}{t}\leqslant0$ равносильно $N\leqslant 0$: \[\log_2\frac{4}{u(13-3u)}\leqslant 0\iff \frac{4}{u(13-3u)}\leqslant 1\iff 4\leqslant u(13-3u),\] последний переход законен, так как $u(13-3u)>0$. Получаем \[3u^2-13u+4\leqslant 0.\] Корни: $u=\dfrac{13\pm\sqrt{169-48}}{6}=\dfrac{13\pm 11}{6}$, то есть $u=\dfrac{1}{3}$ и $u=4$. Парабола ветвями вверх, значит \[\frac{1}{3}\leqslant u\leqslant 4.\] С учётом ограничения этого случая $u<4$ получаем $\dfrac{1}{3}\leqslant u<4$, то есть \[\log_2\frac{1}{3}\leqslant x<2.\] **Случай 2: $x>2$ (то есть $u>4$), здесь $t<0$.** Неравенство $\frac{N}{t}\leqslant0$ равносильно $N\geqslant 0$: \[\log_2\frac{4}{u(13-3u)}\geqslant 0\iff \frac{4}{u(13-3u)}\geqslant 1\iff 4\geqslant u(13-3u).\] На рассматриваемом промежутке $u\in\left(4;\frac{13}{3}\right)$ функция $u(13-3u)=13u-3u^2$ убывает (её вершина в $u=\frac{13}{6}<4$) и в точке $u=4$ равна $52-48=4$, а при $u\to\frac{13}{3}$ стремится к нулю. Значит на всём $\left(4;\frac{13}{3}\right)$ выполнено $u(13-3u)<4$, и неравенство $4\geqslant u(13-3u)$ верно тождественно. Поэтому подходит весь промежуток $40$ (часов) и движётся к $B$ с постоянной (пока неизвестной) скоростью $v$ км/ч. Его положение на участке $A\to B$ равно $x_2(t)=v\,(t-t_0)$. Так как второй автомобиль успевает доехать до $B$, вернуться и при этом догнать первый, он быстрее, то есть $v>80$. **Хронология движения второго автомобиля.** Он достигает $B$ в момент \[ t_B=t_0+\dfrac{480}{v}, \] стоит $20$ мин $=\dfrac13$ ч и отправляется обратно в момент \[ t_B^{\,*}=t_0+\dfrac{480}{v}+\dfrac13 . \] На обратном пути его положение равно $480-v\,(t-t_B^{\,*})$. **О какой встрече идёт речь.** Так как второй автомобиль быстрее и выезжает позже, сначала он догоняет и обгоняет первый (оба едут в сторону $B$) — это и есть **первая** встреча. Затем второй доезжает до $B$, разворачивается и едет навстречу первому — встреча «в 48 км от $B$» (с автомобилем, ещё идущим к $B$) является **второй**. Искомое «место первой встречи» — точка обгона. Чтобы её найти, сначала определим $v$ и $t_0$ из двух условий задачи. **Условие о второй встрече (48 км от $B$).** Эта встреча происходит в $48$ км от $B$, то есть в $480-48=432$ км от $A$. Первый автомобиль оказывается там в момент \[ t_2=\dfrac{432}{80}=\dfrac{27}{5}=5{,}4 \text{ ч}. \] В этот момент туда же приходит второй автомобиль, едущий назад от $B$, пройдя обратно $48$ км: \[ 480-v\,(t_2-t_B^{\,*})=432\quad\Longrightarrow\quad v\,\Bigl(t_2-t_B^{\,*}\Bigr)=48 . \] Подставляя $t_B^{\,*}$ и $t_2=\dfrac{27}{5}$, получаем первое уравнение: \[ \dfrac{27}{5}-\left(t_0+\dfrac{480}{v}+\dfrac13\right)=\dfrac{48}{v}. \qquad (1) \] **Условие о расстоянии 120 км в момент прибытия первого в $B$.** В момент $t=6$ первый автомобиль находится в $B$ (в точке $480$). Второй к этому времени уже выехал из $B$ обратно (это подтвердится ниже), и расстояние между автомобилями равно пройденному им обратному пути: \[ v\,\bigl(6-t_B^{\,*}\bigr)=120,\qquad\text{то есть}\qquad v\left(6-t_0-\dfrac{480}{v}-\dfrac13\right)=120. \qquad (2) \] **Решение системы.** Раскроем скобки. Из $(2)$: \[ 6v-v t_0-480-\dfrac{v}{3}=120\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{17}{3}v-v t_0=600. \qquad (2') \] Из $(1)$, умножив на $v$: \[ \dfrac{27}{5}v-v t_0-480-\dfrac{v}{3}=48\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{27}{5}v-\dfrac{v}{3}-v t_0=528,\quad\text{то есть}\quad \dfrac{76}{15}v-v t_0=528. \qquad (1') \] Вычтем $(1')$ из $(2')$: \[ \left(\dfrac{17}{3}-\dfrac{76}{15}\right)v=600-528=72. \] Поскольку $\dfrac{17}{3}-\dfrac{76}{15}=\dfrac{85-76}{15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$, имеем \[ \dfrac{3}{5}\,v=72\quad\Longrightarrow\quad v=120 \text{ км/ч}. \] Тогда из $(2')$: $\dfrac{17}{3}\cdot120-120\,t_0=600$, то есть $680-120\,t_0=600$, откуда \[ t_0=\dfrac{80}{120}=\dfrac{2}{3}\text{ ч}=40 \text{ мин}. \] **Проверка согласованности.** Второй автомобиль достигает $B$ в момент $t_B=\dfrac23+\dfrac{480}{120}=\dfrac23+4=\dfrac{14}{3}\approx4{,}67$ ч (раньше первого — верно), отправляется обратно в момент $t_B^{\,*}=\dfrac{14}{3}+\dfrac13=5$ ч. Значит, при $t=6$ он действительно уже возвращается, что оправдывает уравнение $(2)$. Вторая встреча в $t_2=5{,}4>5$ — корректно (второй уже едет назад). Условие «120 км» выполнено: к $t=6$ второй проехал назад $120\cdot(6-5)=120$ км. **Первая встреча (обгон).** Оба автомобиля едут к $B$; приравняем их положения при $t>t_0$: \[ 80t=120\Bigl(t-\dfrac23\Bigr)\quad\Longrightarrow\quad 80t=120t-80\quad\Longrightarrow\quad 40t=80\quad\Longrightarrow\quad t=2 \text{ ч}. \] Расстояние от $A$ до места первой встречи равно \[ x_1(2)=80\cdot2=160 \text{ км}. \] Это момент $t=22$ | $x=0$ | Замечания о границах. При $a=0$ имеем $\sqrt{-a/2}=0$, и обе формулы дают общий корень $x=0$ — это согласовано. При $a=2$ получается $\sqrt{(2-a)/6}=0$, поэтому набор $\pm\sqrt{(2-a)/6},\,0$ сводится к одному значению $x=0$, что естественно переходит в случай $a>2$. При $a=-1$ обе формулы совпадают: $\sqrt{(2-a)/6}=\sqrt{1/2}=\sqrt{-a/2}$, и решение $x=\pm\sqrt{1/2}$ единственно (двойной корень). Это и есть приведённый выше ответ.60:T17f9,Введём прямоугольную систему координат, опираясь на трёхгранный угол при вершине $A$. По условию рёбра, выходящие из $A$, образуют углы $\angle BAD=\angle CAD=45^\circ$ (так как $\cos=\tfrac{1}{\sqrt2}$) и $\angle BAC$ с $\cos\angle BAC=\tfrac45$ (тогда $\sin\angle BAC=\tfrac35$). Поскольку $\angle BAD=\angle CAD$, ребро $AD$ симметрично относительно плоскости, делящей угол $BAC$ пополам. Положим $A$ в начало координат, а биссектрису угла $BAC$ направим по оси $x$. Если $\angle BAC=2\varphi$, то из $\cos 2\varphi=2\cos^2\varphi-1=\tfrac45$ получаем $\cos^2\varphi=\tfrac{9}{10}$, то есть $\cos\varphi=\tfrac{3}{\sqrt{10}}$, $\sin\varphi=\tfrac{1}{\sqrt{10}}$. Единичные направления рёбер $AB$ и $AC$ запишем как \[\mathbf{u}_B=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{10}},\,\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,0\Bigr),\qquad \mathbf{u}_C=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{10}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,0\Bigr).\] В силу симметрии единичное направление $AD$ лежит в плоскости $xz$: $\mathbf{u}_D=(d_1,0,d_3)$. Условие $\mathbf{u}_D\cdot\mathbf{u}_B=\cos45^\circ=\tfrac{1}{\sqrt2}$ даёт $d_1\cdot\tfrac{3}{\sqrt{10}}=\tfrac{1}{\sqrt2}$, откуда $d_1=\tfrac{\sqrt5}{3}$ и $d_3=\sqrt{1-\tfrac59}=\tfrac23$. Симметрично выполняется $\mathbf{u}_D\cdot\mathbf{u}_C=\tfrac{1}{\sqrt2}$. Обозначим $AB=c$, $AC=b$. Тогда вершины суть \[A=(0,0,0),\quad B=c\,\mathbf{u}_B,\quad C=b\,\mathbf{u}_C,\quad D=3\,\mathbf{u}_D=\bigl(\sqrt5,\,0,\,2\bigr).\] Заметим важное обстоятельство: точки $A,B,C$ имеют нулевую $z$-координату, поэтому **плоскость $ABC$ — это плоскость $z=0$**, а вершина $D$ находится над ней на высоте \[h=3d_3=2.\] Значит, высота пирамиды (расстояние от $D$ до плоскости $ABC$) равна $2$ независимо от $b$ и $c$. Площадь основания: $S_{ABC}=\tfrac12\,AB\cdot AC\sin\angle BAC=\tfrac12\,bc\cdot\tfrac35=\tfrac{3bc}{10}$, поэтому объём пирамиды равен \[V=\frac13\,S_{ABC}\cdot h=\frac13\cdot\frac{3bc}{10}\cdot 2=\frac{bc}{5}.\tag{1}\] Осталось найти произведение $bc$; его определяют условия на сферы. **Описанная сфера.** Её центр $O_1=(x,y,h_1)$ равноудалён от $A,B,C,D$. Так как $A,B,C$ лежат в плоскости $z=0$, точка $(x,y)$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности; из равенств $|O_1A|=|O_1B|=|O_1C|$ находим \[x=\frac{\sqrt{10}}{12}(b+c),\qquad y=\frac{\sqrt{10}}{4}(c-b),\] а из $|O_1A|=|O_1D|$ — аппликату \[h_1=\frac94-\frac{5\sqrt2}{24}(b+c).\] Радиус описанной сферы $R=|O_1A|$. **Вторая сфера.** Она касается плоскости $ABC$ (то есть $z=0$) и касается описанной сферы внутренним образом в точке $D$. Внутреннее касание в точке $D$ означает, что центры $O_1,O_2$ и точка касания $D$ лежат на одной прямой, причём $|O_1O_2|=R-r=R-1$, а $O_2$ расположен между $O_1$ и $D$ на расстоянии $1$ от $D$. Поскольку $D$ лежит на сфере $O_1$ (так что $\dfrac{O_1-D}{R}$ — единичный вектор), центр второй сферы есть \[O_2=D+\frac{O_1-D}{R}.\] Касание этой сферы радиуса $1$ с плоскостью $z=0$ равносильно тому, что её центр удалён от плоскости ровно на $1$, то есть $z$-координата $O_2$ равна $1$ (центр со стороны $D$): \[z_{O_2}=2+\frac{h_1-2}{R}=1.\] Подставляя $h_1$ и $R$ и упрощая (умножая на $R>0$), приходим после возведения в квадрат к соотношению между $b$ и $c$: \[5b^2-8bc+5c^2-6\sqrt2\,(b+c)+36=0.\] Это выражение — сумма квадратов. Действительно, выделяя в нём полный квадрат относительно центра $(3\sqrt2,3\sqrt2)$, получаем тождество \[5b^2-8bc+5c^2-6\sqrt2\,(b+c)+36=\frac{1}{2}\Bigl(9\,(b-c)^2+\bigl(b+c-6\sqrt2\bigr)^2\Bigr).\] Сумма двух квадратов равна нулю лишь когда оба слагаемых равны нулю, откуда \[b-c=0\quad\text{и}\quad b+c=6\sqrt2,\qquad\Longrightarrow\qquad b=c=3\sqrt2.\] Решение единственно. Тогда $bc=18$, и по формуле (1) \[V=\frac{bc}{5}=\frac{18}{5}.\] **Проверка конфигурации.** При $b=c=3\sqrt2$ получаем $B=(\tfrac{6\sqrt5}{ \,5}\cdot\!,\dots)$, $C$ симметрична, $D=(\sqrt5,0,2)$; центр описанной сферы $O_1=(\sqrt5,0,-\tfrac14)$, радиус $R=\tfrac94$; центр второй сферы $O_2=(\sqrt5,0,1)$. Тогда $|O_2D|=1$ (радиус), расстояние от $O_2$ до плоскости $z=0$ равно $1$ (касание), $|O_1O_2|=\tfrac54=R-1$, а точки $O_1,O_2,D$ лежат на одной вертикальной прямой с порядком $O_1\,(z=-\tfrac14)2\$ — \$x=0\$","answer":"при \$a<-1\$ — нет решений; при \$-1\\leqslant a\\leqslant 0\$ — \$x=\\pm\\sqrt{\\dfrac{2-a}{6}},\\ \\pm\\sqrt{\\dfrac{-a}{2}}\$; при \$02\$ — \$x=0\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm1997-07","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"6290f0c5-88f2-4a2d-b8e3-fbfd7f4dcd63","code":"tag-88","name":"Уравнения высших степеней"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"}]}},{"problem_id":"97956217-7e80-4641-aa98-b8c333b15ca8","collection_id":"7c1d7c67-1654-4516-a541-c44ee874e3cb","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"97956217-7e80-4641-aa98-b8c333b15ca8","short_id":18136,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Вокруг пирамиды \$ABCD\$ описана сфера. Вторая сфера радиуса 1 касается первой внутренним образом в точке \$D\$, а также касается плоскости \$ABC\$. Известно, что\n\\[AD=3,\\quad \\cos\\angle BAC=\\frac{4}{5},\\quad \\cos\\angle BAD=\\cos\\angle CAD=\\frac{1}{\\sqrt{2}}.\\]\nНайти объём пирамиды \$ABCD\$.","answer_text":"\$\\frac{18}{5}\$","answer":"\$\\frac{18}{5}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm1997-07","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"6a844a55-c4ae-48bf-ab44-99496cfea3af","code":"tag-94","name":"Вписанные сферы"},{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"dc9d1c05-5fc8-4d47-9b65-1f606fc6a345","code":"tag-211","name":"Объем тела"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]