В треугольнике ABC длина AB равна 3, ACB=arcsin(3)/(5). Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что ABC= CML, площадь четырёхугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1. Найти высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C, и его площадь.

Обозначения: в треугольнике ABC положим AB=c=3, а ACB=gamma=arcsin35. Так как арксинус даёт острый угол, gamma острый и =35, =45 . **1. Радиус описанной окружности.** По теореме синусов диаметр описанной окружности равен 2R=(AB)/(sin ACB)=(3)/(3/5)=5, R=52 . **2. Подобие треугольников CML и CBA.** Точки Min AC и Lin BC лежат на хорде KN, причём по условию ABC= CML. Угол CML — внешний угол четырёхугольника ABLM при вершине M; его равенство внутреннему углу ABC при противоположной вершине означает, что четырёхугольник ABLM вписанный, а заодно даёт подобие треугольников по двум углам: C — общий, CML= CBA CML CBA с соответствием вершин C C, M B, L A. Отсюда коэффициент подобия k=(ML)/(AB)=(1)/(3), так как ML=LM=1, а AB=3. Кроме того, из подобия CLM= CAB: значит прямая ML (то есть хорда KN) антипараллельна стороне AB относительно угла C. **3. Высота треугольника KNC, опущенная из C.** Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: S_(CML)=k^2S_(CBA). Четырёхугольник ABLM есть разность треугольников CBA и CML, поэтому S_(ABLM)=S_(CBA)-S_(CML)=S_(CBA)(1-k^(2))=2 . При k=13 получаем S_(CBA)=(2)/(1-19)=(9)/(4), S_(CML)=k^(2)S_(CBA)=19*94=14 . Высота треугольника CML, опущенная из вершины C на сторону ML, равна h_(C)=(2S_(CML))/(ML)=(2*14)/(1)=12 . Но точки M,L лежат на прямой KN, значит расстояние от C до прямой KN совпадает с расстоянием от C до прямой ML, то есть с h_C. Следовательно, высота треугольника KNC, опущенная из вершины C, равна h=12. **4. Длина хорды KN.** Найдём стороны при вершине C. Из S_(CBA)=12CA* CB=94 получаем CA* CB=(2*94)/(35)=(15)/(2), а по теореме косинусов AB^(2)=CA^(2)+CB^(2)-2CA* CB находим CA^(2)+CB^(2)=9+2*(15)/(2)*45=21 . Тогда (CA+CB)^2=21+2*(15)/(2)=36, откуда CA+CB=6, и CA,CB — корни уравнения t^(2)-6t+(15)/(2)=0, то есть CA,CB=3-(6)/(2), 3+(6)/(2) (какая из сторон какая — для ответа несущественно). Хорда KN антипараллельна AB относительно угла C, а это равносильно тому, что KN параллельна касательной к окружности в точке C. Поэтому хорды AB и KN равноудалены от центра O: расстояние от O до AB равно sqrt(R^(2)-((AB)/(2))^(2))=sqrt((25)/(4)-94)=2, и такое же расстояние от O до KN. Равноудалённые от центра хорды равны, значит KN=AB=3 . (Тот же результат даёт степень точки: для точки M на хордах AC и KN выполнено MK* MN=MA* MC, и порядок точек на хорде есть K,M,L,N; прямое вычисление снова приводит к KN=3.) **5. Площадь треугольника KNC.** Основание KN=3, высота из C равна 12, поэтому S_(KNC)=12* KN* h=12* 3*12=34. **Ответ.** Высота треугольника KNC, опущенная из вершины C, равна 12; его площадь равна 34.

\(\frac{1}{2};\ \frac{3}{4}\)