Задача №18134

В треугольнике $ABC$ длина $AB$ равна 3, $\angle ACB=\arcsin \frac{3}{5}\text{.}$ Хорда $KN$ окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $L$ соответственно. Известно, что $\angle ABC=\angle CML\text{,}$ площадь четырёхугольника $ABLM$ равна 2, а длина $LM$ равна 1. Найти высоту треугольника $KNC\text{,}$ опущенную из вершины $C\text{,}$ и его площадь.

Обозначения: в треугольнике $ABC$ положим $AB=c=3\text{,}$ а $\angle ACB=\gamma =\arcsin \frac{3}{5}\text{.}$ Так как арксинус даёт острый угол, $\gamma$ острый и

1. Радиус описанной окружности. По теореме синусов диаметр описанной окружности равен

2. Подобие треугольников $CML$ и $CBA\text{.}$ Точки $M\in AC$ и $L\in BC$ лежат на хорде $KN\text{,}$ причём по условию $\angle ABC=\angle CML\text{.}$ Угол $CML$ — внешний угол четырёхугольника $ABLM$ при вершине $M\text{;}$ его равенство внутреннему углу $\angle ABC$ при противоположной вершине означает, что четырёхугольник $ABLM$ вписанный, а заодно даёт подобие треугольников по двум углам:

с соответствием вершин $C\to C,M\to B,L\to A\text{.}$ Отсюда коэффициент подобия

так как $ML=LM=1\text{,}$ а $AB=3\text{.}$ Кроме того, из подобия $\angle CLM=\angle CAB\text{:}$ значит прямая $ML$ (то есть хорда $KN$) антипараллельна стороне $AB$ относительно угла $C\text{.}$

3. Высота треугольника $KNC\text{,}$ опущенная из $C\text{.}$ Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: $S_{CML}=k^2{S}_{CBA}\text{.}$ Четырёхугольник $ABLM$ есть разность треугольников $CBA$ и $CML\text{,}$ поэтому

При $k=\frac{1}{3}$ получаем

Высота треугольника $CML\text{,}$ опущенная из вершины $C$ на сторону $ML\text{,}$ равна

Но точки $M,L$ лежат на прямой $KN\text{,}$ значит расстояние от $C$ до прямой $KN$ совпадает с расстоянием от $C$ до прямой $ML\text{,}$ то есть с $h_C\text{.}$ Следовательно, высота треугольника $KNC\text{,}$ опущенная из вершины $C\text{,}$ равна

4. Длина хорды $KN\text{.}$ Найдём стороны при вершине $C\text{.}$ Из $S_{CBA}=\frac{1}{2}CA\cdot CB\sin \gamma =\frac{9}{4}$ получаем

а по теореме косинусов $A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2CA\cdot CB\cos \gamma$ находим

Тогда $(CA+CB{)}^2=21+2\cdot \frac{15}{2}=36\text{,}$ откуда $CA+CB=6\text{,}$ и $CA,CB$ — корни уравнения $t^2-6t+\frac{15}{2}=0\text{,}$ то есть $\{CA,CB\}=\{3-\frac{\sqrt{6}}{2},3+\frac{\sqrt{6}}{2}\}$ (какая из сторон какая — для ответа несущественно).

Хорда $KN$ антипараллельна $AB$ относительно угла $C\text{,}$ а это равносильно тому, что $KN$ параллельна касательной к окружности в точке $C\text{.}$ Поэтому хорды $AB$ и $KN$ равноудалены от центра $O\text{:}$ расстояние от $O$ до $AB$ равно

и такое же расстояние от $O$ до $KN\text{.}$ Равноудалённые от центра хорды равны, значит

(Тот же результат даёт степень точки: для точки $M$ на хордах $AC$ и $KN$ выполнено $MK\cdot MN=MA\cdot MC\text{,}$ и порядок точек на хорде есть $K,M,L,N\text{;}$ прямое вычисление снова приводит к $KN=3\text{.}$)

5. Площадь треугольника $KNC\text{.}$ Основание $KN=3\text{,}$ высота из $C$ равна $\frac{1}{2}\text{,}$ поэтому

Ответ. Высота треугольника $KNC\text{,}$ опущенная из вершины $C\text{,}$ равна $\frac{1}{2}\text{;}$ его площадь равна $\frac{3}{4}\text{.}$