Задача №18131

Решить уравнение

$$\left(2{\sin }^{2}x-3\sin x+1\right)\cdot \sqrt{\mathrm{tg}x}=0.$$

Решаем уравнение

$$\left(2{\sin }^{2}x-3\sin x+1\right)\cdot \sqrt{\mathrm{tg}x}=0.$$

Область допустимых значений. Подкоренное выражение $\sqrt{\mathrm{tg}x}$ определено лишь там, где $\mathrm{tg}x$ существует и неотрицателен:

$$\mathrm{tg}x\ge 0,\cos x\ne 0.$$

Условие $\mathrm{tg}x\ge 0$ выполняется на промежутках, где синус и косинус одного знака, то есть при $x\in \left[\pi k;\frac{\pi }{2}+\pi k\right)\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}$ (точки $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{,}$ где $\cos x=0\text{,}$ из области исключены).

Распадение на множители. Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель (при сохранении ОДЗ). Получаем две возможности:

$$\sqrt{\mathrm{tg}x}=0\text{или}2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0.$$

Первый множитель. Уравнение $\sqrt{\mathrm{tg}x}=0$ равносильно $\mathrm{tg}x=0\text{,}$ откуда

$$x=\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Проверяем ОДЗ: при $x=\pi k$ имеем $\cos x=\pm 1\ne 0$ и $\mathrm{tg}x=0\ge 0\text{,}$ значит все эти точки допустимы. (Здесь подкоренное выражение само равно нулю, поэтому исходное произведение обращается в нуль независимо от первого множителя.) Итак, вся серия $x=\pi k$ — решения.

Второй множитель. Решаем квадратное относительно $\sin x$ уравнение $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0\text{.}$ Дискриминант $D=9-8=1\text{,}$ корни

$$\sin x=\frac{3\pm 1}{4}⟹\sin x=1\text{или}\sin x=\frac{1}{2}.$$

Случай $\sin x=1$ даёт $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{.}$ Но тогда $\cos x=0$ и $\mathrm{tg}x$ не определён — эти значения не входят в ОДЗ, поэтому посторонние и отбрасываются.

Случай $\sin x=\frac{1}{2}$ даёт две серии:

$$x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{и}x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Проверяем ОДЗ $\mathrm{tg}x\ge 0\text{.}$ Угол $\frac{\pi }{6}$ лежит в первой четверти: $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}>0\text{,}$ $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}>0$ — условие выполнено, серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ допустима. Угол $\frac{5\pi }{6}$ лежит во второй четверти: $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0\text{,}$ $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}<0\text{,}$ поэтому $\sqrt{\mathrm{tg}x}$ не определён — серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ посторонняя и отбрасывается.

Объединение. Допустимыми остаются серии

$$x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{и}x=\pi k,n,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,x=\pi k,n,k\in \mathbb{Z}\text{.}$