Решить уравнение (2sin^2 x-3sin x+1)*sqrt(tgx)=0.

Решаем уравнение (2sin^2 x-3sin x+1)*sqrt(tgx)=0. **Область допустимых значений.** Подкоренное выражение sqrt(tgx) определено лишь там, где tgx существует и неотрицателен: tgx>= 0, cos x!= 0. Условие tgx>= 0 выполняется на промежутках, где синус и косинус одного знака, то есть при xin[pi k; (pi)/(2)+pi k), kinZ (точки x=(pi)/(2)+pi k, где cos x=0, из области исключены). **Распадение на множители.** Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель (при сохранении ОДЗ). Получаем две возможности: sqrt(tgx)=0 или 2sin^2 x-3sin x+1=0. **Первый множитель.** Уравнение sqrt(tgx)=0 равносильно tgx=0, откуда x=pi k, kinZ. Проверяем ОДЗ: при x=pi k имеем cos x=+-1!= 0 и tgx=0>= 0, значит все эти точки допустимы. (Здесь подкоренное выражение само равно нулю, поэтому исходное произведение обращается в нуль независимо от первого множителя.) Итак, вся серия x=pi k — решения. **Второй множитель.** Решаем квадратное относительно sin x уравнение 2sin^2 x-3sin x+1=0. Дискриминант D=9-8=1, корни sin x=(3+- 1)/(4) sin x=1 или sin x=12. Случай sin x=1 даёт x=(pi)/(2)+2pi n. Но тогда cos x=0 и tgx **не определён** — эти значения не входят в ОДЗ, поэтому **посторонние** и отбрасываются. Случай sin x=12 даёт две серии: x=(pi)/(6)+2pi n и x=(5pi)/(6)+2pi n, ninZ. Проверяем ОДЗ tgx>= 0. Угол (pi)/(6) лежит в первой четверти: cos(pi)/(6)=(3)/(2)>0, tg(pi)/(6)=(1)/(3)>0 — условие выполнено, серия x=(pi)/(6)+2pi n допустима. Угол (5pi)/(6) лежит во второй четверти: cos(5pi)/(6)=-(3)/(2)<0, tg(5pi)/(6)=-(1)/(3)<0, поэтому sqrt(tgx) не определён — серия x=(5pi)/(6)+2pi n **посторонняя** и отбрасывается. **Объединение.** Допустимыми остаются серии x=(pi)/(6)+2pi n и x=pi k, n,kinZ. **Ответ:** x=(pi)/(6)+2pi n, x=pi k, n,kinZ.

\(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\ \pi k,\ n,k\in\mathbb{Z}\)