Задача №18132

Решить неравенство

$$\left(1-\frac{x}{2}\right)\cdot {\log }_{13-3\cdot 2^x}4⩽1.$$

Требуется решить неравенство

$$\left(1-\frac{x}{2}\right)\cdot {\log }_{13-3\cdot 2^x}4⩽1.$$

Область допустимых значений. Основание логарифма $b=13-3\cdot 2^x$ должно быть положительным и отличным от единицы:

$$13-3\cdot 2^x>0⟺2^x<\frac{13}{3}⟺x<{\log }_2\frac{13}{3},$$ $$13-3\cdot 2^x\ne 1⟺2^x\ne 4⟺x\ne 2.$$

Итак, ОДЗ: $x<{\log }_2\frac{13}{3}$ и $x\ne 2\text{.}$

Преобразование. Поскольку $4=2^2\text{,}$ по правилу замены основания

$${\log }_{b}4=\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}b}=\frac{2}{{\log }_{2}b},b=13-3\cdot 2^x.$$

Обозначим $t={\log }_2(13-3\cdot 2^x)\text{.}$ Тогда

$$\left(1-\frac{x}{2}\right)\cdot \frac{2}{t}⩽1⟺\frac{2-x}{t}⩽1⟺\frac{2-x-t}{t}⩽0.$$

Преобразуем числитель. Заметим, что при $x<{\log }_2\frac{13}{3}$ число $2^x$ лежит в $(0;\frac{13}{3})\text{,}$ так что выражение под знаком $t$ положительно. Имеем $2-x={\log }_{2}4-{\log }_2{2}^x={\log }_2\frac{4}{2^x}\text{,}$ и поэтому

$$2-x-t={\log }_2\frac{4}{2^x}-{\log }_2(13-3\cdot 2^x)={\log }_2\frac{4}{2^x(13-3\cdot 2^x)}.$$

Введём замену $u=2^x>0\text{.}$ На ОДЗ $0<u<\frac{13}{3}\text{,}$ причём $u\ne 4\text{.}$ Тогда числитель и знаменатель таковы:

$$N=2-x-t={\log }_2\frac{4}{u(13-3u)},t={\log }_2(13-3u),$$

а решаемое неравенство — это $\frac{N}{t}⩽0\text{.}$

Знак знаменателя определяется так:

$$t={\log }_2(13-3u)>0⟺13-3u>1⟺u<4⟺x<2,$$ $$t<0⟺u>4⟺x>2.$$

Поскольку на всей ОДЗ $0<u<\frac{13}{3}\text{,}$ произведение $u(13-3u)>0\text{,}$ так что выражение под логарифмом в $N$ положительно и $N$ определено всюду.

Случай 1: $x<2$ (то есть $u<4$), здесь $t>0\text{.}$ Неравенство $\frac{N}{t}⩽0$ равносильно $N⩽0\text{:}$

$${\log }_2\frac{4}{u(13-3u)}⩽0⟺\frac{4}{u(13-3u)}⩽1⟺4⩽u(13-3u),$$

последний переход законен, так как $u(13-3u)>0\text{.}$ Получаем

$$3u^2-13u+4⩽0.$$

Корни: $u=\frac{13\pm \sqrt{169-48}}{6}=\frac{13\pm 11}{6}\text{,}$ то есть $u=\frac{1}{3}$ и $u=4\text{.}$ Парабола ветвями вверх, значит

$$\frac{1}{3}⩽u⩽4.$$

С учётом ограничения этого случая $u<4$ получаем $\frac{1}{3}⩽u<4\text{,}$ то есть

$${\log }_2\frac{1}{3}⩽x<2.$$

Случай 2: $x>2$ (то есть $u>4$), здесь $t<0\text{.}$ Неравенство $\frac{N}{t}⩽0$ равносильно $N⩾0\text{:}$

$${\log }_2\frac{4}{u(13-3u)}⩾0⟺\frac{4}{u(13-3u)}⩾1⟺4⩾u(13-3u).$$

На рассматриваемом промежутке $u\in \left(4;\frac{13}{3}\right)$ функция $u(13-3u)=13u-3u^2$ убывает (её вершина в $u=\frac{13}{6}<4$) и в точке $u=4$ равна $52-48=4\text{,}$ а при $u\to \frac{13}{3}$ стремится к нулю. Значит на всём $\left(4;\frac{13}{3}\right)$ выполнено $u(13-3u)<4\text{,}$ и неравенство $4⩾u(13-3u)$ верно тождественно. Поэтому подходит весь промежуток $4<u<\frac{13}{3}\text{,}$ то есть

$$2<x<{\log }_2\frac{13}{3}.$$

Объединение. Точка $x=2$ исключена (основание равно $1$), точки $x⩾{\log }_2\frac{13}{3}$ вне ОДЗ. Левый конец $x={\log }_2\frac{1}{3}$ входит (там $b=12\text{,}$ и неравенство обращается в равенство $1⩽1$). Складывая оба случая:

$$\boxed{x\in \left[{\log }_2\frac{1}{3};2\right)\cup \left(2;{\log }_2\frac{13}{3}\right).}$$