Решить неравенство (1-(x)/(2))*_(13-3* 2^x)4 1.

Требуется решить неравенство (1-(x)/(2))*_(13-3* 2^x)4 1. **Область допустимых значений.** Основание логарифма b=13-3* 2^x должно быть положительным и отличным от единицы: 13-3* 2^x>0 2^x<(13)/(3) x<_2(13)/(3), 13-3* 2^x!= 1 2^x!= 4 x!= 2. Итак, ОДЗ: x<_2(13)/(3) и x!= 2. **Преобразование.** Поскольку 4=2^2, по правилу замены основания _(b)4=(_2 4)/(_2 b)=(2)/(_2 b), b=13-3* 2^x. Обозначим t=_2(13-3* 2^x). Тогда (1-(x)/(2))*(2)/(t) 1 (2-x)/(t) 1 (2-x-t)/(t) 0. Преобразуем числитель. Заметим, что при x<_2(13)/(3) число 2^x лежит в (0;(13)/(3)), так что выражение под знаком t положительно. Имеем 2-x=_2 4-_2 2^x=_2(4)/(2^x), и поэтому 2-x-t=_2(4)/(2^x)-_2(13-3* 2^x)=_2(4)/(2^x(13-3* 2^x)). Введём замену u=2^x>0. На ОДЗ 0<u<(13)/(3), причём u!= 4. Тогда числитель и знаменатель таковы: N=2-x-t=_2(4)/(u(13-3u)), t=_2(13-3u), а решаемое неравенство — это (N)/(t) 0. Знак знаменателя определяется так: t=_2(13-3u)>0 13-3u>1 u<4 x<2, t<0 u>4 x>2. Поскольку на всей ОДЗ 0<u<(13)/(3), произведение u(13-3u)>0, так что выражение под логарифмом в N положительно и N определено всюду. **Случай 1: x<2 (то есть u<4), здесь t>0.** Неравенство (N)/(t)0 равносильно N 0: _2(4)/(u(13-3u)) 0 (4)/(u(13-3u)) 1 4 u(13-3u), последний переход законен, так как u(13-3u)>0. Получаем 3u^2-13u+4 0. Корни: u=(13+-sqrt(169-48))/(6)=(13+- 11)/(6), то есть u=(1)/(3) и u=4. Парабола ветвями вверх, значит (1)/(3) u 4. С учётом ограничения этого случая u<4 получаем (1)/(3) u<4, то есть _2(1)/(3) x<2. **Случай 2: x>2 (то есть u>4), здесь t<0.** Неравенство (N)/(t)0 равносильно N 0: _2(4)/(u(13-3u)) 0 (4)/(u(13-3u)) 1 4 u(13-3u). На рассматриваемом промежутке uin(4;(13)/(3)) функция u(13-3u)=13u-3u^2 убывает (её вершина в u=(13)/(6)<4) и в точке u=4 равна 52-48=4, а при u(13)/(3) стремится к нулю. Значит на всём (4;(13)/(3)) выполнено u(13-3u)<4, и неравенство 4 u(13-3u) верно тождественно. Поэтому подходит весь промежуток 4<u<(13)/(3), то есть 2<x<_2(13)/(3). **Объединение.** Точка x=2 исключена (основание равно 1), точки x_2(13)/(3) вне ОДЗ. Левый конец x=_213 входит (там b=12, и неравенство обращается в равенство 11). Складывая оба случая: xin[_2(1)/(3);2)U(2;_2(13)/(3)).

\(\left[\log_2\frac{1}{3};\,2\right)\cup\left(2;\,\log_2\frac{13}{3}\right)\)