Для всех значений параметра a решить уравнение |x^4+(2a-1)/(3)x^2+(2a^2+a+2)/(12)|=(a)/(2)*|x^2+(a)/(3)-(1)/(6)|+(a+1)/(6).

**Ключевая замена.** Левая часть зависит от x только через x^2. Рассмотрим выражение под внешним модулем как квадратный трёхчлен относительно x^2 и выделим полный квадрат. Заметим, что x^4+(2a-1)/(3)x^2+(2a^2+a+2)/(12) =(x^2+(2a-1)/(6))^2+((a+1)(2a+5))/(36), что проверяется раскрытием скобок: квадрат даёт x^4+(2a-1)/(3)x^2+((2a-1)^2)/(36), а остаток (2a^2+a+2)/(12)-((2a-1)^2)/(36)=((a+1)(2a+5))/(36). При этом (2a-1)/(6)=(a)/(3)-16, то есть выражение в скобках совпадает с тем, что стоит под внутренним модулем справа. Введём w=x^2+(a)/(3)-16, R=((a+1)(2a+5))/(36). Тогда уравнение принимает вид |w^2+R|=(a)/(2)|w|+(a+1)/(6). Обозначим s=|w| 0; поскольку w^2=s^2, уравнение равносильно |s^2+R|=(a)/(2)s+(a+1)/(6), s 0. 1 Левая часть неотрицательна, поэтому необходимо (a)/(2)s+(a+1)/(6) 0. 2 **Случай a<-1: решений нет.** Здесь (a+1)/(6)<0 и a<0, поэтому при любом s 0 слагаемое (a)/(2)s 0. Значит, правая часть строго отрицательна, условие (2) нарушено, и равенство (1) невозможно. Решений нет. **Раскрытие модуля слева.** Пусть теперь a -1. Рассмотрим два случая знака s^2+R. *Случай A: s^2+R 0.* Уравнение (1) превращается в s^2-(a)/(2)s+(R-(a+1)/(6))=0. Так как R-(a+1)/(6)=((a+1)(2a-1))/(36), дискриминант равен D=(a^2)/(4)-((a+1)(2a-1))/(9)=((a-2)^2)/(36) 0, то есть является полным квадратом. Отсюда s=(a2+-|a-2|6)/(2), что даёт s_1=(a+1)/(6), s_2=(2a-1)/(6). *Случай B: s^2+R<0.* Тогда уравнение (1) даёт -(s^2+R)=(a)/(2)s+(a+1)/(6), то есть s^2+(a)/(2)s+((a+1)(2a+11))/(36)=0. Условие s^2+R<0 требует R<0, то есть -52<a<-1. Но это противоречит уже разобранному a -1: для a -1 имеем R 0, значит s^2+R 0 всегда, и случай B вообще не реализуется. (Формально: при a-1 для любого s 0 выражение s^2+R R 0.) Поэтому новых решений случай B не приносит. **Отбор корней s_1,s_2 и условие неотрицательности.** Оба значения должны быть неотрицательны (как модуль s=|w|), и для них автоматически выполнено условие s^2+R 0 (см. выше), так что они действительно удовлетворяют (1). - s_1=(a+1)/(6) 0 a -1 (выполнено). - s_2=(2a-1)/(6) 0 a 12. **Возврат к x.** Из s=|w| следует w=+- s, а w=x^2+(a)/(3)-16, поэтому x^2=16-(a)/(3)+- s, при условии x^2 0. 1) Из s_1=(a+1)/(6) (при a -1): w=+s_1: x^2=16-(a)/(3)+(a+1)/(6)=(2-a)/(6) ( 0 <=> a 2), w=-s_1: x^2=16-(a)/(3)-(a+1)/(6)=-(a)/(2) ( 0 <=> a 0). 2) Из s_2=(2a-1)/(6) (при a 12): w=+s_2: x^2=16-(a)/(3)+(2a-1)/(6)=0 => x=0, w=-s_2: x^2=16-(a)/(3)-(2a-1)/(6)=(1-2a)/(3) ( 0 <=> a 12), а так как s_2 требует a12, последняя ветвь даёт лишь a=12, где x^2=0 — это уже корень x=0. Нового решения нет. **Сборка ответа по промежуткам.** Собираем живые корни в x: - корень x=+-sqrt((2-a)/(6)) существует при -1 a 2; - корень x=+-sqrt((-a)/(2)) существует при -1 a 0; - корень x=0 (из s_2) существует при a 12. Отсюда: | Промежуток | Решения | |---|---| | a<-1 | нет решений | | -1 a 0 | x=+-sqrt((2-a)/(6)), +-sqrt((-a)/(2)) | | 0<a<12 | x=+-sqrt((2-a)/(6)) | | 12 a 2 | x=+-sqrt((2-a)/(6)), 0 | | a>2 | x=0 | Замечания о границах. При a=0 имеем sqrt(-a/2)=0, и обе формулы дают общий корень x=0 — это согласовано. При a=2 получается sqrt((2-a)/6)=0, поэтому набор +-sqrt((2-a)/6),0 сводится к одному значению x=0, что естественно переходит в случай a>2. При a=-1 обе формулы совпадают: sqrt((2-a)/6)=sqrt(1/2)=sqrt(-a/2), и решение x=+-sqrt(1/2) единственно (двойной корень). Это и есть приведённый выше ответ.

при \(a<-1\) — нет решений; при \(-1\leqslant a\leqslant 0\) — \(x=\pm\sqrt{\dfrac{2-a}{6}},\ \pm\sqrt{\dfrac{-a}{2}}\); при \(0<a<\dfrac{1}{2}\) — \(x=\pm\sqrt{\dfrac{2-a}{6}}\); при \(\dfrac{1}{2}\leqslant a\leqslant 2\) — \(x=\pm\sqrt{\dfrac{2-a}{6}},\ 0\); при \(a>2\) — \(x=0\)