Задача №18136

Вокруг пирамиды $ABCD$ описана сфера. Вторая сфера радиуса 1 касается первой внутренним образом в точке $D\text{,}$ а также касается плоскости $ABC\text{.}$ Известно, что

$$AD=3,\cos \angle BAC=\frac{4}{5},\cos \angle BAD=\cos \angle CAD=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Найти объём пирамиды $ABCD\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат, опираясь на трёхгранный угол при вершине $A\text{.}$ По условию рёбра, выходящие из $A\text{,}$ образуют углы $\angle BAD=\angle CAD=45^{\circ }$ (так как $\cos =\frac{1}{\sqrt{2}}$) и $\angle BAC$ с $\cos \angle BAC=\frac{4}{5}$ (тогда $\sin \angle BAC=\frac{3}{5}$). Поскольку $\angle BAD=\angle CAD\text{,}$ ребро $AD$ симметрично относительно плоскости, делящей угол $BAC$ пополам.

Положим $A$ в начало координат, а биссектрису угла $BAC$ направим по оси $x\text{.}$ Если $\angle BAC=2\phi \text{,}$ то из $\cos 2\phi =2{\cos }^2\phi -1=\frac{4}{5}$ получаем ${\cos }^2\phi =\frac{9}{10}\text{,}$ то есть $\cos \phi =\frac{3}{\sqrt{10}}\text{,}$ $\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{10}}\text{.}$ Единичные направления рёбер $AB$ и $AC$ запишем как

$${\mathbf{u}}_B=(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}},0),{\mathbf{u}}_C=(\frac{3}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}},0).$$

В силу симметрии единичное направление $AD$ лежит в плоскости $xz\text{:}$ ${\mathbf{u}}_D=(d_1,0,d_3)\text{.}$ Условие ${\mathbf{u}}_D\cdot {\mathbf{u}}_B=\cos 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$ даёт $d_1\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ откуда $d_1=\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $d_3=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}\text{.}$ Симметрично выполняется ${\mathbf{u}}_D\cdot {\mathbf{u}}_C=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$

Обозначим $AB=c\text{,}$ $AC=b\text{.}$ Тогда вершины суть

$$A=(0,0,0),B=c{\mathbf{u}}_B,C=b{\mathbf{u}}_C,D=3{\mathbf{u}}_D=(\sqrt{5},0,2).$$

Заметим важное обстоятельство: точки $A,B,C$ имеют нулевую $z$-координату, поэтому плоскость $ABC$ — это плоскость $z=0$, а вершина $D$ находится над ней на высоте

$$h=3d_3=2.$$

Значит, высота пирамиды (расстояние от $D$ до плоскости $ABC$) равна $2$ независимо от $b$ и $c\text{.}$

Площадь основания: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin \angle BAC=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{3}{5}=\frac{3bc}{10}\text{,}$ поэтому объём пирамиды равен

$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{3bc}{10}\cdot 2=\frac{bc}{5}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Осталось найти произведение $bc\text{;}$ его определяют условия на сферы.

Описанная сфера. Её центр $O_1=(x,y,h_1)$ равноудалён от $A,B,C,D\text{.}$ Так как $A,B,C$ лежат в плоскости $z=0\text{,}$ точка $(x,y)$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности; из равенств $|O_{1}A|=|O_{1}B|=|O_{1}C|$ находим

$$x=\frac{\sqrt{10}}{12}(b+c),y=\frac{\sqrt{10}}{4}(c-b),$$

а из $|O_{1}A|=|O_{1}D|$ — аппликату

$$h_1=\frac{9}{4}-\frac{5\sqrt{2}}{24}(b+c).$$

Радиус описанной сферы $R=|O_{1}A|\text{.}$

Вторая сфера. Она касается плоскости $ABC$ (то есть $z=0$) и касается описанной сферы внутренним образом в точке $D\text{.}$ Внутреннее касание в точке $D$ означает, что центры $O_1,O_2$ и точка касания $D$ лежат на одной прямой, причём $|O_1{O}_2|=R-r=R-1\text{,}$ а $O_2$ расположен между $O_1$ и $D$ на расстоянии $1$ от $D\text{.}$ Поскольку $D$ лежит на сфере $O_1$ (так что $\frac{O_1-D}{R}$ — единичный вектор), центр второй сферы есть

$$O_2=D+\frac{O_1-D}{R}.$$

Касание этой сферы радиуса $1$ с плоскостью $z=0$ равносильно тому, что её центр удалён от плоскости ровно на $1\text{,}$ то есть $z$-координата $O_2$ равна $1$ (центр со стороны $D$):

$$z_{O_2}=2+\frac{h_1-2}{R}=1.$$

Подставляя $h_1$ и $R$ и упрощая (умножая на $R>0$), приходим после возведения в квадрат к соотношению между $b$ и $c\text{:}$

$$5b^2-8bc+5c^2-6\sqrt{2}(b+c)+36=0.$$

Это выражение — сумма квадратов. Действительно, выделяя в нём полный квадрат относительно центра $(3\sqrt{2},3\sqrt{2})\text{,}$ получаем тождество

$$5b^2-8bc+5c^2-6\sqrt{2}(b+c)+36=\frac{1}{2}(9(b-c{)}^2+(b+c-6\sqrt{2}{)}^2).$$

Сумма двух квадратов равна нулю лишь когда оба слагаемых равны нулю, откуда

$$b-c=0\text{и}b+c=6\sqrt{2},⟹b=c=3\sqrt{2}.$$

Решение единственно. Тогда $bc=18\text{,}$ и по формуле (1)

$$V=\frac{bc}{5}=\frac{18}{5}.$$

Проверка конфигурации. При $b=c=3\sqrt{2}$ получаем $B=(\frac{6\sqrt{5}}{5}\cdot ,\dots )\text{,}$ $C$ симметрична, $D=(\sqrt{5},0,2)\text{;}$ центр описанной сферы $O_1=(\sqrt{5},0,-\frac{1}{4})\text{,}$ радиус $R=\frac{9}{4}\text{;}$ центр второй сферы $O_2=(\sqrt{5},0,1)\text{.}$ Тогда $|O_{2}D|=1$ (радиус), расстояние от $O_2$ до плоскости $z=0$ равно $1$ (касание), $|O_1{O}_2|=\frac{5}{4}=R-1\text{,}$ а точки $O_1,O_2,D$ лежат на одной вертикальной прямой с порядком $O_1(z=-\frac{1}{4})<O_2(z=1)<D(z=2)$ — то есть касание внутреннее именно в точке $D\text{.}$ Все условия выполнены.

Ответ: $V=\frac{18}{5}\text{.}$