Вокруг пирамиды ABCD описана сфера. Вторая сфера радиуса 1 касается первой внутренним образом в точке D, а также касается плоскости ABC. Известно, что AD=3, cos BAC=(4)/(5), cos BAD=cos CAD=(1)/(sqrt(2)). Найти объём пирамиды ABCD.

Введём прямоугольную систему координат, опираясь на трёхгранный угол при вершине A. По условию рёбра, выходящие из A, образуют углы BAD= CAD=45^ (так как cos=(1)/(2)) и BAC с cos BAC=45 (тогда sin BAC=35). Поскольку BAD= CAD, ребро AD симметрично относительно плоскости, делящей угол BAC пополам. Положим A в начало координат, а биссектрису угла BAC направим по оси x. Если BAC=2, то из cos 2=2cos^2-1=45 получаем cos^2=(9)/(10), то есть cos=(3)/(sqrt(10)), sin=(1)/(sqrt(10)). Единичные направления рёбер AB и AC запишем как u_B=((3)/(sqrt(10)),(1)/(sqrt(10)),0), u_C=((3)/(sqrt(10)),-(1)/(sqrt(10)),0). В силу симметрии единичное направление AD лежит в плоскости xz: u_D=(d_1,0,d_3). Условие u_D*u_B=45^=(1)/(2) даёт d_1*(3)/(sqrt(10))=(1)/(2), откуда d_1=(5)/(3) и d_3=sqrt(1-59)=23. Симметрично выполняется u_D*u_C=(1)/(2). Обозначим AB=c, AC=b. Тогда вершины суть A=(0,0,0), B=cu_B, C=bu_C, D=3u_D=(5,0,2). Заметим важное обстоятельство: точки A,B,C имеют нулевую z-координату, поэтому **плоскость ABC — это плоскость z=0**, а вершина D находится над ней на высоте h=3d_3=2. Значит, высота пирамиды (расстояние от D до плоскости ABC) равна 2 независимо от b и c. Площадь основания: S_(ABC)=12AB* ACsin BAC=12bc*35=(3bc)/(10), поэтому объём пирамиды равен V=13S_(ABC)* h=13*(3bc)/(10)* 2=(bc)/(5).1 Осталось найти произведение bc; его определяют условия на сферы. **Описанная сфера.** Её центр O_1=(x,y,h_1) равноудалён от A,B,C,D. Так как A,B,C лежат в плоскости z=0, точка (x,y) — центр описанной около треугольника ABC окружности; из равенств |O_1A|=|O_1B|=|O_1C| находим x=(sqrt(10))/(12)(b+c), y=(sqrt(10))/(4)(c-b), а из |O_1A|=|O_1D| — аппликату h_1=94-(52)/(24)(b+c). Радиус описанной сферы R=|O_1A|. **Вторая сфера.** Она касается плоскости ABC (то есть z=0) и касается описанной сферы внутренним образом в точке D. Внутреннее касание в точке D означает, что центры O_1,O_2 и точка касания D лежат на одной прямой, причём |O_1O_2|=R-r=R-1, а O_2 расположен между O_1 и D на расстоянии 1 от D. Поскольку D лежит на сфере O_1 (так что (O_1-D)/(R) — единичный вектор), центр второй сферы есть O_2=D+(O_1-D)/(R). Касание этой сферы радиуса 1 с плоскостью z=0 равносильно тому, что её центр удалён от плоскости ровно на 1, то есть z-координата O_2 равна 1 (центр со стороны D): z_(O_2)=2+(h_1-2)/(R)=1. Подставляя h_1 и R и упрощая (умножая на R>0), приходим после возведения в квадрат к соотношению между b и c: 5b^2-8bc+5c^2-62(b+c)+36=0. Это выражение — сумма квадратов. Действительно, выделяя в нём полный квадрат относительно центра (32,32), получаем тождество 5b^2-8bc+5c^2-62(b+c)+36=(1)/(2)(9(b-c)^2+(b+c-62)^2). Сумма двух квадратов равна нулю лишь когда оба слагаемых равны нулю, откуда b-c=0 и b+c=62, b=c=32. Решение единственно. Тогда bc=18, и по формуле (1) V=(bc)/(5)=(18)/(5). **Проверка конфигурации.** При b=c=32 получаем B=((65)/( 5)*,), C симметрична, D=(5,0,2); центр описанной сферы O_1=(5,0,-14), радиус R=94; центр второй сферы O_2=(5,0,1). Тогда |O_2D|=1 (радиус), расстояние от O_2 до плоскости z=0 равно 1 (касание), |O_1O_2|=54=R-1, а точки O_1,O_2,D лежат на одной вертикальной прямой с порядком O_1(z=-14)<O_2(z=1)<D(z=2) — то есть касание внутреннее именно в точке D. Все условия выполнены. Ответ: V=(18)/(5).

\(\frac{18}{5}\)