Задача №18133

Из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью выехал второй. После остановки на 20 мин в пункте $B$ второй автомобиль поехал с той же скоростью назад и через 48 км встретил первый автомобиль, шедший навстречу. Найти расстояние от $A$ до места первой встречи автомобилей, если $AB=480$ км и в момент прибытия первого автомобиля в $B$ расстояние между автомобилями было равно 120 км.

Пусть первый автомобиль выезжает из $A$ в момент времени $t=0$ и движется к $B$ с постоянной скоростью $80$ км/ч; обозначим его положение (расстояние от $A$) через $x_1(t)=80t\text{.}$ Весь путь $AB=480$ км он проходит за время

то есть прибывает в $B$ в момент $t=6\text{.}$

Пусть второй автомобиль выезжает из $A$ с задержкой $t_0>0$ (часов) и движётся к $B$ с постоянной (пока неизвестной) скоростью $v$ км/ч. Его положение на участке $A\to B$ равно $x_2(t)=v(t-t_0)\text{.}$ Так как второй автомобиль успевает доехать до $B\text{,}$ вернуться и при этом догнать первый, он быстрее, то есть $v>80\text{.}$

Хронология движения второго автомобиля.
Он достигает $B$ в момент

стоит $20$ мин $=\frac{1}{3}$ ч и отправляется обратно в момент

На обратном пути его положение равно $480-v(t-t_B^{\ast })\text{.}$

О какой встрече идёт речь.
Так как второй автомобиль быстрее и выезжает позже, сначала он догоняет и обгоняет первый (оба едут в сторону $B$) — это и есть первая встреча. Затем второй доезжает до $B\text{,}$ разворачивается и едет навстречу первому — встреча «в 48 км от $B$» (с автомобилем, ещё идущим к $B$) является второй. Искомое «место первой встречи» — точка обгона. Чтобы её найти, сначала определим $v$ и $t_0$ из двух условий задачи.

Условие о второй встрече (48 км от $B$).
Эта встреча происходит в $48$ км от $B\text{,}$ то есть в $480-48=432$ км от $A\text{.}$ Первый автомобиль оказывается там в момент

В этот момент туда же приходит второй автомобиль, едущий назад от $B\text{,}$ пройдя обратно $48$ км:

Подставляя $t_B^{\ast }$ и $t_2=\frac{27}{5}\text{,}$ получаем первое уравнение:

Условие о расстоянии 120 км в момент прибытия первого в $B\text{.}$
В момент $t=6$ первый автомобиль находится в $B$ (в точке $480$). Второй к этому времени уже выехал из $B$ обратно (это подтвердится ниже), и расстояние между автомобилями равно пройденному им обратному пути:

Решение системы.
Раскроем скобки. Из $(2)\text{:}$

Из $(1)\text{,}$ умножив на $v\text{:}$

Вычтем $(1^{\prime })$ из $(2^{\prime })\text{:}$

Поскольку $\frac{17}{3}-\frac{76}{15}=\frac{85-76}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\text{,}$ имеем

Тогда из $(2^{\prime })\text{:}$ $\frac{17}{3}\cdot 120-120t_0=600\text{,}$ то есть $680-120t_0=600\text{,}$ откуда

Проверка согласованности.
Второй автомобиль достигает $B$ в момент $t_B=\frac{2}{3}+\frac{480}{120}=\frac{2}{3}+4=\frac{14}{3}\approx 4,67$ ч (раньше первого — верно), отправляется обратно в момент $t_B^{\ast }=\frac{14}{3}+\frac{1}{3}=5$ ч. Значит, при $t=6$ он действительно уже возвращается, что оправдывает уравнение $(2)\text{.}$ Вторая встреча в $t_2=5,4>5$ — корректно (второй уже едет назад). Условие «120 км» выполнено: к $t=6$ второй проехал назад $120\cdot (6-5)=120$ км.

Первая встреча (обгон).
Оба автомобиля едут к $B\text{;}$ приравняем их положения при $t>t_0\text{:}$

Расстояние от $A$ до места первой встречи равно

Это момент $t=2<t_B\text{,}$ то есть обгон происходит до прибытия второго автомобиля в $B\text{,}$ как и должно быть.

Ответ: расстояние от $A$ до места первой встречи равно $\boxed{160}$ км.