Из пункта A в пункт B со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью выехал второй. После остановки на 20 мин в пункте B второй автомобиль поехал с той же скоростью назад и через 48 км встретил первый автомобиль, шедший навстречу. Найти расстояние от A до места первой встречи автомобилей, если AB=480 км и в момент прибытия первого автомобиля в B расстояние между автомобилями было равно 120 км.

Пусть первый автомобиль выезжает из A в момент времени t=0 и движется к B с постоянной скоростью 80 км/ч; обозначим его положение (расстояние от A) через x_1(t)=80t. Весь путь AB=480 км он проходит за время t_1=(480)/(80)=6 ч, то есть прибывает в B в момент t=6. Пусть второй автомобиль выезжает из A с задержкой t_0>0 (часов) и движётся к B с постоянной (пока неизвестной) скоростью v км/ч. Его положение на участке A B равно x_2(t)=v(t-t_0). Так как второй автомобиль успевает доехать до B, вернуться и при этом догнать первый, он быстрее, то есть v>80. **Хронология движения второго автомобиля.** Он достигает B в момент t_B=t_0+(480)/(v), стоит 20 мин =13 ч и отправляется обратно в момент t_B^(*)=t_0+(480)/(v)+13 . На обратном пути его положение равно 480-v(t-t_B^(*)). **О какой встрече идёт речь.** Так как второй автомобиль быстрее и выезжает позже, сначала он догоняет и обгоняет первый (оба едут в сторону B) — это и есть **первая** встреча. Затем второй доезжает до B, разворачивается и едет навстречу первому — встреча «в 48 км от B» (с автомобилем, ещё идущим к B) является **второй**. Искомое «место первой встречи» — точка обгона. Чтобы её найти, сначала определим v и t_0 из двух условий задачи. **Условие о второй встрече (48 км от B).** Эта встреча происходит в 48 км от B, то есть в 480-48=432 км от A. Первый автомобиль оказывается там в момент t_2=(432)/(80)=(27)/(5)=5,4 ч. В этот момент туда же приходит второй автомобиль, едущий назад от B, пройдя обратно 48 км: 480-v(t_2-t_B^(*))=432 v(t_2-t_B^(*))=48 . Подставляя t_B^(*) и t_2=(27)/(5), получаем первое уравнение: (27)/(5)-(t_0+(480)/(v)+13)=(48)/(v). (1) **Условие о расстоянии 120 км в момент прибытия первого в B.** В момент t=6 первый автомобиль находится в B (в точке 480). Второй к этому времени уже выехал из B обратно (это подтвердится ниже), и расстояние между автомобилями равно пройденному им обратному пути: v(6-t_B^(*))=120, то есть v(6-t_0-(480)/(v)-13)=120. (2) **Решение системы.** Раскроем скобки. Из (2): 6v-v t_0-480-(v)/(3)=120 (17)/(3)v-v t_0=600. (2') Из (1), умножив на v: (27)/(5)v-v t_0-480-(v)/(3)=48 (27)/(5)v-(v)/(3)-v t_0=528, то есть (76)/(15)v-v t_0=528. (1') Вычтем (1') из (2'): ((17)/(3)-(76)/(15))v=600-528=72. Поскольку (17)/(3)-(76)/(15)=(85-76)/(15)=(9)/(15)=(3)/(5), имеем (3)/(5)v=72 v=120 км/ч. Тогда из (2'): (17)/(3)*120-120t_0=600, то есть 680-120t_0=600, откуда t_0=(80)/(120)=(2)/(3) ч=40 мин. **Проверка согласованности.** Второй автомобиль достигает B в момент t_B=23+(480)/(120)=23+4=(14)/(3)~4,67 ч (раньше первого — верно), отправляется обратно в момент t_B^(*)=(14)/(3)+13=5 ч. Значит, при t=6 он действительно уже возвращается, что оправдывает уравнение (2). Вторая встреча в t_2=5,4>5 — корректно (второй уже едет назад). Условие «120 км» выполнено: к t=6 второй проехал назад 120*(6-5)=120 км. **Первая встреча (обгон).** Оба автомобиля едут к B; приравняем их положения при t>t_0: 80t=120(t-23) 80t=120t-80 40t=80 t=2 ч. Расстояние от A до места первой встречи равно x_1(2)=80*2=160 км. Это момент t=2<t_B, то есть обгон происходит до прибытия второго автомобиля в B, как и должно быть. **Ответ:** расстояние от A до места первой встречи равно 160 км.