58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T10ac,Введём замену $ t=2^x $. Поскольку показательная функция $ 2^x $ положительна при всех $ x $, новая переменная пробегает все значения $ t>0 $, причём соответствие $ x\mapsto t $ монотонно возрастающее и взаимно однозначное. Заметим, что \[ 2^{6-x}=\dfrac{2^6}{2^x}=\dfrac{64}{t},\qquad |3-2^x|=|3-t|. \] В этих обозначениях неравенство принимает вид \[ \dfrac{21-t-\dfrac{64}{t}-|3-t|}{\,5-|3-t|\,}\geqslant 1. \] Раскрытие модуля естественно разбивает задачу на два случая по знаку выражения $ 3-t $. **Случай 1: $ 00\qquad(\text{при }t>0), \] то есть в этом случае знаменатель в нуль не обращается и положителен. Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю: \[ \dfrac{21-t-\dfrac{64}{t}-(3-t)}{t+2}-1 =\dfrac{18-\dfrac{64}{t}}{t+2}-1 =\dfrac{18t-64-t(t+2)}{t(t+2)} =\dfrac{-t^{2}+16t-64}{t(t+2)}. \] В числителе стоит \( -\bigl(t^{2}-16t+64\bigr)=-(t-8)^{2}$, поэтому \[ \dfrac{21-t-\dfrac{64}{t}-|3-t|}{5-|3-t|}-1=\dfrac{-(t-8)^{2}}{t(t+2)}. \] При $ t>0 $ знаменатель $ t(t+2)>0 $, а числитель $ -(t-8)^{2}\leqslant 0 $, причём равен нулю лишь при $ t=8 $. Значит, на всём промежутке $ 00 $ знаменатель положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя $ t-8 $: \[ \dfrac{t-8}{t}\geqslant 0\iff t-8\geqslant 0\iff t\geqslant 8. \] С учётом исключения $ t=8 $ (в этой точке исходное выражение не определено) получаем строгое неравенство $ t>8 $. Это согласуется с областью $ t\geqslant 3 $. **Возврат к переменной $ x $.** Объединяя оба случая, в переменной $ t $ множество решений есть $ t>8 $. Так как $ t=2^{x} $ и функция $ 2^{x} $ строго возрастает, неравенство $ 2^{x}>8=2^{3} $ равносильно $ x>3 $. Точка $ x=3 $ (ей отвечает $ t=8 $) в решение не входит, поскольку при $ 2^{x}=8 $ знаменатель исходной дроби $ 5-|3-2^{x}|=5-5=0 $ обращается в нуль и выражение не определено. **Ответ:** $ x\in(3;+\infty) $.5c:T8b8,Обозначим арифметическую прогрессию через $a_n=a_1+(n-1)d$, где $d$ — искомая разность, а геометрическую через $b_n=b_1q^{\,n-1}$, где $b_1\neq 0$ и $q\neq 0$. По условию даны суммы одноимённых членов: \[ a_1+b_1=-3,\qquad a_3+b_3=1,\qquad a_5+b_5=5. \] Введём обозначение $S_n=a_n+b_n$, тогда $S_1=-3$, $S_3=1$, $S_5=5$. Запишем разности соседних (по нечётным номерам) сумм. Для арифметической части \[ a_3-a_1=2d,\qquad a_5-a_3=2d, \] а для геометрической части \[ b_3-b_1=b_1q^2-b_1=b_1(q^2-1),\qquad b_5-b_3=b_1q^4-b_1q^2=b_1q^2(q^2-1). \] Поэтому \[ S_3-S_1=2d+b_1(q^2-1)=1-(-3)=4, \] \[ S_5-S_3=2d+b_1q^2(q^2-1)=5-1=4. \] Вычтем первое равенство из второго. Слагаемые $2d$ сокращаются, и получаем \[ b_1q^2(q^2-1)-b_1(q^2-1)=b_1(q^2-1)(q^2-1)=b_1(q^2-1)^2=0. \] Так как $b_1\neq 0$, отсюда следует $(q^2-1)^2=0$, то есть $q^2=1$ (значит $q=1$ или $q=-1$). Подставим $q^2=1$ в равенство $S_3-S_1=2d+b_1(q^2-1)=4$. Множитель $b_1(q^2-1)$ обращается в нуль, и остаётся \[ 2d=4,\qquad d=2. \] Проверим, что такая ситуация действительно реализуется. При $q=-1$ возьмём, например, $b_1=5$; тогда из $a_1+b_1=-3$ находим $a_1=-8$, а $d=2$. Получаем \[ a_1+b_1=-8+5=-3, \] \[ a_3+b_3=(-8+4)+5\cdot(-1)^2=-4+5=1, \] \[ a_5+b_5=(-8+8)+5\cdot(-1)^4=0+5=5, \] все три условия выполнены. Значение $d$ определяется однозначно и не зависит от выбора геометрической прогрессии: при любом допустимом $b_1$ и $q^2=1$ разность арифметической прогрессии равна $2$. Ответ: разность арифметической прогрессии равна $\boxed{2}$.5d:Te4e,Приведём все слагаемые в левую часть и сгруппируем. Воспользуемся формулами $\cos 2x+1=2\cos^2 x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Перепишем правую часть: $\frac{30}{44}=\frac{15}{22}$, и сгруппируем слагаемое с $\sin x$: \[\sin x\,(\cos 2x+1)+\frac{10}{11}\sin 2x-\frac{3}{4}\cos x-\frac{15}{22}=0.\] Подставляя тождества, получаем \[2\sin x\cos^2 x+\frac{20}{11}\sin x\cos x-\frac{3}{4}\cos x-\frac{15}{22}=0.\] Сгруппируем по парам и вынесем общие множители: \[2\sin x\cos x\left(\cos x+\frac{10}{11}\right)-\frac{3}{4}\left(\cos x+\frac{10}{11}\right)=0,\] поскольку $\frac{3}{4}\cdot\frac{10}{11}=\frac{30}{44}=\frac{15}{22}$. Вынося общий множитель $\left(\cos x+\frac{10}{11}\right)$: \[\left(\cos x+\frac{10}{11}\right)\left(2\sin x\cos x-\frac{3}{4}\right)=0.\] Учитывая $2\sin x\cos x=\sin 2x$, уравнение распадается на два: \[\cos x=-\frac{10}{11}\qquad\text{или}\qquad \sin 2x=\frac{3}{4}.\] ОДЗ исходного уравнения — вся числовая прямая (нет дробей с переменной в знаменателе, логарифмов или корней), поэтому посторонних корней не возникает; обе серии целиком входят в множество решений. **Серия 1** ($\cos x=-\frac{10}{11}$). Так как $-1<-\frac{10}{11}<0$, решения существуют: \[x=\pm\arccos\!\left(-\frac{10}{11}\right)+2\pi k=\pm\left(\pi-\arccos\frac{10}{11}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},\] здесь использовано тождество $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$. **Серия 2** ($\sin 2x=\frac{3}{4}$). Здесь $0<\frac34<1$, решения есть: \[2x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\qquad x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac34+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.\] Теперь среди всех корней нужно выбрать ближайший к точке $\dfrac{13\pi}{4}\approx 10{,}2102$. Оценим аркфункции: $\arccos\frac{10}{11}\approx 0{,}4297$, значит $\pi-\arccos\frac{10}{11}\approx 2{,}7119$; кроме того $\arcsin\frac34\approx 0{,}8481$. Рассмотрим корни серии 1 вблизи $\frac{13\pi}{4}$. Взяв знак «минус» и $k=2$: \[x=-\left(\pi-\arccos\frac{10}{11}\right)+4\pi=3\pi+\arccos\frac{10}{11}\approx 9{,}8545.\] Расстояние до $\frac{13\pi}{4}$ равно $10{,}2102-9{,}8545\approx 0{,}3557$. Соседний корень серии 1 (знак «плюс», $k=1$) равен $\pi-\arccos\frac{10}{11}+2\pi\approx 8{,}9951$ и отстоит на $\approx 1{,}22$ — заметно дальше. Рассмотрим корни серии 2, ближайшие к $\frac{13\pi}{4}$: \[x=\frac{\pi-\arcsin\frac34}{2}+3\pi\approx 9{,}8488\quad\text{и}\quad x=\frac{\arcsin\frac34}{2}+3\pi\approx 10{,}5715.\] Они отстоят от $\frac{13\pi}{4}$ на одинаковое расстояние $\approx 0{,}3614$. Сравнивая расстояния $0{,}3557<0{,}3614$, заключаем, что ближайшим к $\frac{13\pi}{4}$ является корень серии 1: \[x=3\pi+\arccos\frac{10}{11}.\] Превосходство строгое (разница расстояний $\approx 0{,}0057>0$), поэтому выбор однозначен. **Ответ:** $3\pi+\arccos\dfrac{10}{11}$.5e:T1337,Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Дано $\angle ADB=\dfrac{\pi}{8}$, $BD=6$ и $AD\cdot CE=DC\cdot AE$. **Шаг 1. Что означает условие $AD\cdot CE=DC\cdot AE$.** Точка $E$ лежит на диагонали $AC$, значит $DE$ — чевиана треугольника $ADC$, проведённая из вершины $D$ к стороне $AC$. Перепишем данное равенство в виде пропорции \[\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DC}.\] По теореме об обратной к свойству биссектрисы (если чевиана делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, то это биссектриса): чевиана $DE$ делит сторону $AC$ в отношении $AD:DC$, поэтому $DE$ — биссектриса угла $ADC$. Но прямая $DE$ — это диагональ $DB$. Следовательно, диагональ $DB$ делит угол $ADC$ пополам: \[\angle ADB=\angle BDC.\] Так как $\angle ADB=\dfrac{\pi}{8}$, то и $\angle BDC=\dfrac{\pi}{8}$, а \[\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC=\frac{\pi}{4}.\] **Шаг 2. Площадь через диагональ $BD$.** Диагональ $BD$ разбивает четырёхугольник на треугольники $ABD$ и $CBD$ (она лежит внутри выпуклого вписанного четырёхугольника). Их площади считаем по двум сторонам и углу между ними при вершине $D$: \[S_{ABD}=\frac12\,AD\cdot BD\cdot\sin\angle ADB=\frac12\,AD\cdot 6\cdot\sin\frac{\pi}{8},\] \[S_{CBD}=\frac12\,CD\cdot BD\cdot\sin\angle BDC=\frac12\,CD\cdot 6\cdot\sin\frac{\pi}{8}.\] Складывая, \[S_{ABCD}=3\sin\frac{\pi}{8}\,(AD+CD).\] **Шаг 3. Выражение сторон через радиус и инвариантность.** Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Введём центральные дуги: вписанный угол $\angle ADB=\dfrac{\pi}{8}$ опирается на дугу $AB$, поэтому центральная дуга $AB$ равна $\dfrac{\pi}{4}$; аналогично угол $\angle BDC=\dfrac{\pi}{8}$ опирается на дугу $BC$, и центральная дуга $BC$ тоже равна $\dfrac{\pi}{4}$. Обозначим центральные дуги $CD=2u$ и $DA=2v$. Сумма всех дуг равна $2\pi$: \[\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+2u+2v=2\pi\quad\Longrightarrow\quad u+v=\frac{3\pi}{4}.\] По формуле «хорда равна $2R\sin(\text{половина центральной дуги})$»: \[AD=2R\sin v,\qquad CD=2R\sin u.\] Хорда $BD$ стягивает дугу $BC+CD$ с центральной величиной $\dfrac{\pi}{4}+2u$, поэтому \[BD=2R\sin\!\Big(\frac{\pi}{8}+u\Big)=6.\] Подставим $AD+CD=2R(\sin u+\sin v)$ в площадь: \[S_{ABCD}=3\sin\frac{\pi}{8}\cdot 2R(\sin u+\sin v)=6R\sin\frac{\pi}{8}\,(\sin u+\sin v).\] Так как $v=\dfrac{3\pi}{4}-u$, имеем $\sin v=\sin\!\Big(u+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ (ибо $\sin\big(\tfrac{3\pi}{4}-u\big)=\sin\big(\tfrac{\pi}{4}+u\big)$). По формуле суммы синусов \[\sin u+\sin\!\Big(u+\frac{\pi}{4}\Big)=2\sin\!\Big(u+\frac{\pi}{8}\Big)\cos\frac{\pi}{8}.\] Тогда \[S_{ABCD}=6R\sin\frac{\pi}{8}\cdot 2\sin\!\Big(u+\frac{\pi}{8}\Big)\cos\frac{\pi}{8}.\] Но $2R\sin\!\big(u+\tfrac{\pi}{8}\big)=BD=6$, поэтому множитель $2R\sin\!\big(u+\tfrac{\pi}{8}\big)$ равен $6$, и зависимость от положения вершины $D$ (то есть от $u$) исчезает: \[S_{ABCD}=6\cdot 6\cdot\frac12\cdot\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}? \] Аккуратно: $S=3\sin\frac{\pi}{8}\cdot 2R(\sin u+\sin v)=3\sin\frac{\pi}{8}\cdot\big[2R\cdot 2\sin(u+\tfrac{\pi}{8})\cos\tfrac{\pi}{8}\big]=3\sin\frac{\pi}{8}\cdot 2\cos\frac{\pi}{8}\cdot\big[2R\sin(u+\tfrac{\pi}{8})\big]$. Здесь $2R\sin(u+\tfrac{\pi}{8})=6$, значит \[S_{ABCD}=3\sin\frac{\pi}{8}\cdot 2\cos\frac{\pi}{8}\cdot 6=18\cdot 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}=18\sin\frac{\pi}{4}.\] **Шаг 4. Итог.** \[S_{ABCD}=18\sin\frac{\pi}{4}=18\cdot\frac{\sqrt2}{2}=9\sqrt2.\] Заметим, что площадь не зависит от конкретного положения точки $D$ на дуге: она однозначно определяется лишь данными $\angle ADB=\angle BDC=\dfrac{\pi}{8}$ и $BD=6$. **Ответ:** $\boxed{9\sqrt2}$.5f:T1594,Обозначим центр данного шара через $O$, а его радиус через $R_0=7$. Через точку $S$ проведены три хорды $AA'$, $BB'$, $CC'$, причём все три равны по длине. **Шаг 1. Длина хорды и степень точки $S$.** Для хорды $AA'$ дано $AS=8$, $A'S=3$. Так как точка $S$ лежит внутри шара, она лежит между концами хорды, поэтому длина хорды равна \[ AA'=AS+A'S=8+3=11. \] По условию все три хорды равны, значит длина каждой из них равна $11$: \[ BS+B'S=11,\qquad CS+C'S=11. \] Воспользуемся теоремой о произведении отрезков хорд, проходящих через одну точку (степень точки относительно сферы): для любой хорды, проходящей через $S$, произведение расстояний от $S$ до её концов одно и то же. Для хорды $AA'$ оно равно \[ AS\cdot A'S=8\cdot 3=24. \] Следовательно, для остальных двух хорд \[ BS\cdot B'S=24,\qquad CS\cdot C'S=24. \] **Шаг 2. Распределение отрезков на хордах $BB'$ и $CC'$.** Числа $BS$ и $B'S$ удовлетворяют системе \[ BS+B'S=11,\qquad BS\cdot B'S=24, \] то есть являются корнями квадратного уравнения \[ t^2-11t+24=0,\qquad t=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{2}=\frac{11\pm 5}{2}. \] Отсюда $t=8$ или $t=3$. Условие $BS>B'S$ однозначно даёт \[ BS=8,\qquad B'S=3. \] Точно так же из $CS>C'S$ получаем $CS=8$, $C'S=3$. Итак, для всех трёх хорд «дальние» концы $A$, $B$, $C$ удалены от $S$ на одно и то же расстояние $8$, а «ближние» концы $A'$, $B'$, $C'$ — на расстояние $3$: \[ AS=BS=CS=8,\qquad A'S=B'S=C'S=3. \] **Шаг 3. Расстояние от центра шара до точки $S$.** Степень внутренней точки $S$ относительно сферы равна $OS^2-R_0^2$ и по модулю совпадает с произведением $AS\cdot A'S=24$. Так как $S$ внутри шара, степень отрицательна: \[ OS^2-R_0^2=-AS\cdot A'S=-24, \] откуда \[ OS^2=49-24=25,\qquad OS=5. \] **Шаг 4. Координаты. Точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной окружности.** Введём систему координат с началом в центре шара $O$ и осью $Oz$, направленной вдоль $OS$; тогда \[ O=(0,0,0),\qquad S=(0,0,5). \] Каждая из точек $A$, $B$, $C$ удовлетворяет двум условиям: она лежит на сфере радиуса $7$ (то есть $|P|=7$) и на сфере радиуса $8$ с центром $S$ (то есть $|P-S|=8$). Вычитая квадраты этих равенств, получаем для любой такой точки $P=(x,y,\zeta)$: \[ |P|^2-|P-S|^2=49-64=-15. \] Но $|P|^2-|P-S|^2=2\,P\cdot S-|S|^2=2\cdot 5\zeta-25=10\zeta-25$. Значит \[ 10\zeta-25=-15\ \Longrightarrow\ \zeta=1. \] Таким образом, все три точки $A$, $B$, $C$ лежат в одной плоскости $\zeta=1$. Их расстояние от оси $Oz$ одинаково: \[ x^2+y^2=49-\zeta^2=49-1=48, \] то есть $A$, $B$, $C$ лежат на одной окружности радиуса $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ с центром в точке $M=(0,0,1)$. **Шаг 5. Описанная сфера пирамиды $SABC$.** Поскольку три точки $A$, $B$, $C$ лежат на найденной окружности, описанная окружность треугольника $ABC$ — это та же самая окружность, и её центр есть $M=(0,0,1)$ (независимо от того, как именно расположены $A$, $B$, $C$ на ней). Центр описанной около пирамиды сферы равноудалён от $A$, $B$, $C$, поэтому лежит на перпендикуляре к плоскости $ABC$, проведённом через $M$, то есть на оси $Oz$. Запишем его в виде $Q=(0,0,c)$. Условие равенства расстояний от $Q$ до точки $A$ (которая отстоит от оси на $\sqrt{48}$ и имеет $\zeta=1$) и до вершины $S=(0,0,5)$ даёт \[ 48+(c-1)^2=(c-5)^2. \] Раскрывая, \[ 48+c^2-2c+1=c^2-10c+25\ \Longrightarrow\ 49-2c=25-10c\ \Longrightarrow\ 8c=-24\ \Longrightarrow\ c=-3. \] Радиус описанной сферы равен расстоянию от $Q=(0,0,-3)$ до $S=(0,0,5)$: \[ R=|c-5|=|-3-5|=8, \] и тот же результат даёт расстояние до $A$: \[ R=\sqrt{48+(-3-1)^2}=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8. \] **Ответ.** Радиус описанной около пирамиды $SABC$ сферы равен $\boxed{8}$.60:T170e,**Упрощение подкоренного выражения.** Раскроем произведение под корнем: \[(a-x^2)(x^2+a)=ax^2+a^2-x^4-ax^2=a^2-x^4.\] Значит исходное неравенство равносильно \[\sqrt{a^2-x^4}+a>x,\] причём область допустимых значений (ОДЗ) задаётся условием $a^2-x^4\ge 0$, то есть $x^4\le a^2$, что для целого $x$ означает $x^2\le|a|$. **Постановка задачи.** Нас интересует не множество решений по $x$ само по себе, а число **целых** $x$, удовлетворяющих неравенству. Поэтому зафиксируем целое $x$ и для каждого такого $x$ найдём множество тех $a$, при которых это $x$ является решением. Затем подсчитаем, сколько целых $x$ одновременно «включены» при данном $a$. **Анализ при фиксированном целом $x$.** Перепишем неравенство в виде \[\sqrt{a^2-x^4}>x-a,\qquad a^2-x^4\ge 0.\] Рассмотрим два случая по знаку правой части. *Случай 1: $x-a<0$, то есть $a>x$.* Левая часть неотрицательна, правая отрицательна, поэтому в пределах ОДЗ неравенство выполнено автоматически. Условие $a>x$ вместе с ОДЗ $|a|\ge x^2$ даёт вклад этого $x$ при достаточно больших $a$: для $x>0$ это $a\ge x^2$ (так как тогда $a\ge x^2\ge x$); для $x\le 0$ это $a\ge x^2$ (положительная ветвь по $a$). *Случай 2: $x-a\ge 0$, то есть $a\le x$.* Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \[a^2-x^4>x^2-2ax+a^2\ \Longleftrightarrow\ 2ax>x^2+x^4.\] Если $x>0$, делим на $2x>0$: $a>\dfrac{x+x^3}{2}$; но при $x>0$ и $a\le x$ число $\dfrac{x+x^3}{2}\ge x$, значит решений в этом случае нет. Если $x<0$, делим на $2x<0$ со сменой знака: $a<\dfrac{x+x^3}{2}$; при $x\le-1$ имеем $\dfrac{x+x^3}{2}\le x$, так что неравенство $a<\dfrac{x+x^3}{2}$ совместно с $a\le x$ и автоматически попадает в ОДЗ (там $a<0$, $|a|$ велико). Если $x=0$: неравенство $0>0$ ложно. **Множество $a$ для каждого целого $x$** (объединяя оба случая): | $x$ | $(x+x^3)/2$ | множество $a$, при которых $x$ — решение | | --- | --- | --- | | $-3$ | $-15$ | $(-\infty;-15)\cup[9;+\infty)$ | | $-2$ | $-5$ | $(-\infty;-5)\cup[4;+\infty)$ | | $-1$ | $-1$ | $(-\infty;-1)\cup[1;+\infty)$ | | $0$ | $0$ | $(0;+\infty)$ | | $1$ | $1$ | $(1;+\infty)$ | | $2$ | $5$ | $[4;+\infty)$ | | $3$ | $15$ | $[9;+\infty)$ | Здесь все границы проверены отдельно. Например, при $x=-2$, $a=-5$: подкоренное $=25-16=9$, $\sqrt9-5=-2$, и неравенство $-2>-2$ **не** выполнено, поэтому точка $-5$ не входит (граница открытая). При $x=-3$, $a=-15$: $\sqrt{225-81}-15=12-15=-3$, снова $-3>-3$ ложно — точка $-15$ для $x=-3$ исключена. На положительной ветви, например $x=2$, $a=4$: $\sqrt{16-16}+4=4>2$ — верно, граница $a=4$ включена. **Подсчёт числа целых решений.** Идём по $a$ от $-\infty$ вверх. Для $a<0$ (большие по модулю отрицательные) «работают» только отрицательные $x$: целое $x=-k$ ($k\ge1$) есть решение при $a<-\dfrac{k+k^3}{2}$. Пороги: $x=-1$ при $a<-1$; $x=-2$ при $a<-5$; $x=-3$ при $a<-15$; $x=-4$ при $a<-34$ и т.д. Значит: \[a\in[-15;-5)\ \Rightarrow\ \text{решения }x=-1\text{ и }x=-2,\ \text{ровно два};\] \[a\in(-\infty;-15)\ \Rightarrow\ \text{добавляется }x=-3\ (\text{три и более});\] \[a\in[-5;-1)\ \Rightarrow\ \text{только }x=-1\ (\text{одно});\] \[a\in[-1;0]\ \Rightarrow\ \text{ни одного целого решения}.\] Граница $a=-15$ **включается** (там как раз два решения $-2,-1$), а $a=-5$ исключается (там остаётся одно $-1$). Для $a>0$ включаются неотрицательные $x$: $x=0$ при $a>0$; $x=1$ при $a>1$; $x=-1$ при $a\ge1$; $x=2,-2$ при $a\ge4$ и т.д. Прослеживаем: \[a\in(0;1)\ \Rightarrow\ \text{только }x=0\ (\text{одно});\] \[a=1\ \Rightarrow\ x=0\ (\text{т.к. }1>0)\ \text{и }x=-1\ (\text{т.к. }\sqrt{1-1}+1=1>-1),\ \text{ровно два};\] \[a\in(1;4)\ \Rightarrow\ x=-1,0,1\ (\text{три});\] \[a\ge4\ \Rightarrow\ \text{добавляются }\pm2\ (\text{пять и более}).\] В точке $a=1$ ровно два решения, а в любой её окрестности — одно (слева) или три (справа). Поэтому $a=1$ — изолированная точка ответа. **Итог.** Ровно два целочисленных решения неравенство имеет тогда и только тогда, когда \[a\in[-15;-5)\cup\{1\}.\]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1997\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 1997\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1997-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T23:50:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1997\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 1997-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 1997"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1997-05","serverCollection":{"id":"e138a9fc-b2b6-4bff-908b-407062abe4a0","name":"Мехмат МГУ — май 1997","code":"mehmat-1997-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Досрочный экзамен, 1997 год (май)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1997-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1997},"created_at":"2026-06-09T23:50:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"2db95f98-baad-45e9-8217-e8630be2a831","collection_id":"e138a9fc-b2b6-4bff-908b-407062abe4a0","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"2db95f98-baad-45e9-8217-e8630be2a831","short_id":18125,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\frac{21-2^x-2^{6-x}-|3-2^x|}{5-|3-2^x|}\\geqslant 1.\\]","answer_text":"\$(3;+\\infty)\$","answer":"\$(3;+\\infty)\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm1997-05","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"f8a306b8-8780-43ef-a835-654813949c7a","code":"tag-236","name":"Неравенства с модулями"}]}},{"problem_id":"1c4190b8-f6d5-48ae-9a82-3af99dc8d48b","collection_id":"e138a9fc-b2b6-4bff-908b-407062abe4a0","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"1c4190b8-f6d5-48ae-9a82-3af99dc8d48b","short_id":18126,"task_number":15,"topic_id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна \$(-3)\$, сумма третьих членов 1, а сумма пятых членов равна 5. Найти разность арифметической прогрессии.","answer_text":"\$2\$","answer":"\$2\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm1997-05","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","name":"Прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"7f16036d-ba85-4f39-a874-8066188f6d30","collection_id":"e138a9fc-b2b6-4bff-908b-407062abe4a0","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"7f16036d-ba85-4f39-a874-8066188f6d30","short_id":18127,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти ближайший к числу \$\\dfrac{13\\pi}{4}\$ корень уравнения\n\\[\\sin x\\cos 2x+\\sin x+\\frac{10}{11}\\sin 2x=\\frac{3}{4}\\cos x+\\frac{30}{44}.\\]","answer_text":"\$3\\pi+\\arccos\\frac{10}{11}\$","answer":"\$3\\pi+\\arccos\\frac{10}{11}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm1997-05","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"}]}},{"problem_id":"60096dc8-9ac8-4a74-a6a9-8c9ba789cc05","collection_id":"e138a9fc-b2b6-4bff-908b-407062abe4a0","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"60096dc8-9ac8-4a74-a6a9-8c9ba789cc05","short_id":18128,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Диагонали вписанного в окружность четырехугольника \$ABCD\$ пересекаются в точке \$E\$, причем\n\\[\\angle ADB=\\frac{\\pi}{8},\\quad BD=6\\quad\\text{и}\\quad AD\\cdot CE=DC\\cdot AE.\\]\nНайти площадь четырехугольника \$ABCD\$.","answer_text":"\$9\\sqrt{2}\$","answer":"\$9\\sqrt{2}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm1997-05","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"15278b0a-1f58-4f73-b5f1-a49d59be3929","code":"tag-18","name":"Окружности и четырёхугольники"},{"id":"571cbc3f-ec88-4837-b0f7-266854acd8f6","code":"tag-81","name":"Окружность, описанная вокруг четырехугольника"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"}]}},{"problem_id":"ec776b73-4745-47a9-a7b5-1d7534f79a30","collection_id":"e138a9fc-b2b6-4bff-908b-407062abe4a0","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ec776b73-4745-47a9-a7b5-1d7534f79a30","short_id":18129,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В шаре радиуса 7 через точку \$S\$ проведены три равные хорды \$AA'\$, \$BB'\$ и \$CC'\$ так, что\n\\[AS=8,\\quad A'S=3,\\quad BS>B'S,\\quad CS>C'S.\\]\nНайти радиус сферы, описанной около пирамиды \$SABC\$.","answer_text":"\$8\$","answer":"\$8\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm1997-05","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"}]}},{"problem_id":"221fcd4f-e95e-4b77-be0e-ac80fd8fbbd0","collection_id":"e138a9fc-b2b6-4bff-908b-407062abe4a0","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"221fcd4f-e95e-4b77-be0e-ac80fd8fbbd0","short_id":18130,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найти все значения \$a\$, при каждом из которых среди решений неравенства\n\\[\\sqrt{(a-x^2)(x^2+a)}+a>x\\]\nесть ровно два целочисленных решения.","answer_text":"\$[-15;-5)\\cup\\{1\\}\$","answer":"\$[-15;-5)\\cup\\{1\\}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm1997-05","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ