Задача №18128

Диагонали вписанного в окружность четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E\text{,}$ причем

$$\angle ADB=\frac{\pi }{8},BD=6\text{и}AD\cdot CE=DC\cdot AE.$$

Найти площадь четырехугольника $ABCD\text{.}$

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E\text{.}$ Дано $\angle ADB=\frac{\pi }{8}\text{,}$ $BD=6$ и $AD\cdot CE=DC\cdot AE\text{.}$

Шаг 1. Что означает условие $AD\cdot CE=DC\cdot AE\text{.}$

Точка $E$ лежит на диагонали $AC\text{,}$ значит $DE$ — чевиана треугольника $ADC\text{,}$ проведённая из вершины $D$ к стороне $AC\text{.}$ Перепишем данное равенство в виде пропорции

$$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DC}.$$

По теореме об обратной к свойству биссектрисы (если чевиана делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, то это биссектриса): чевиана $DE$ делит сторону $AC$ в отношении $AD:DC\text{,}$ поэтому $DE$ — биссектриса угла $ADC\text{.}$ Но прямая $DE$ — это диагональ $DB\text{.}$ Следовательно, диагональ $DB$ делит угол $ADC$ пополам:

$$\angle ADB=\angle BDC.$$

Так как $\angle ADB=\frac{\pi }{8}\text{,}$ то и $\angle BDC=\frac{\pi }{8}\text{,}$ а

$$\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC=\frac{\pi }{4}.$$

Шаг 2. Площадь через диагональ $BD\text{.}$

Диагональ $BD$ разбивает четырёхугольник на треугольники $ABD$ и $CBD$ (она лежит внутри выпуклого вписанного четырёхугольника). Их площади считаем по двум сторонам и углу между ними при вершине $D\text{:}$

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BD\cdot \sin \angle ADB=\frac{1}{2}AD\cdot 6\cdot \sin \frac{\pi }{8},$$ $$S_{CBD}=\frac{1}{2}CD\cdot BD\cdot \sin \angle BDC=\frac{1}{2}CD\cdot 6\cdot \sin \frac{\pi }{8}.$$

Складывая,

$$S_{ABCD}=3\sin \frac{\pi }{8}(AD+CD).$$

Шаг 3. Выражение сторон через радиус и инвариантность.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Введём центральные дуги: вписанный угол $\angle ADB=\frac{\pi }{8}$ опирается на дугу $AB\text{,}$ поэтому центральная дуга $AB$ равна $\frac{\pi }{4}\text{;}$ аналогично угол $\angle BDC=\frac{\pi }{8}$ опирается на дугу $BC\text{,}$ и центральная дуга $BC$ тоже равна $\frac{\pi }{4}\text{.}$ Обозначим центральные дуги $CD=2u$ и $DA=2v\text{.}$ Сумма всех дуг равна $2\pi \text{:}$

$$\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}+2u+2v=2\pi ⟹u+v=\frac{3\pi }{4}.$$

По формуле «хорда равна $2R\sin (\text{половина центральной дуги})$»:

$$AD=2R\sin v,CD=2R\sin u.$$

Хорда $BD$ стягивает дугу $BC+CD$ с центральной величиной $\frac{\pi }{4}+2u\text{,}$ поэтому

$$BD=2R\sin (\frac{\pi }{8}+u)=6.$$

Подставим $AD+CD=2R(\sin u+\sin v)$ в площадь:

$$S_{ABCD}=3\sin \frac{\pi }{8}\cdot 2R(\sin u+\sin v)=6R\sin \frac{\pi }{8}(\sin u+\sin v).$$

Так как $v=\frac{3\pi }{4}-u\text{,}$ имеем $\sin v=\sin (u+\frac{\pi }{4})$ (ибо $\sin (\frac{3\pi }{4}-u)=\sin (\frac{\pi }{4}+u)$). По формуле суммы синусов

$$\sin u+\sin (u+\frac{\pi }{4})=2\sin (u+\frac{\pi }{8})\cos \frac{\pi }{8}.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=6R\sin \frac{\pi }{8}\cdot 2\sin (u+\frac{\pi }{8})\cos \frac{\pi }{8}.$$

Но $2R\sin (u+\frac{\pi }{8})=BD=6\text{,}$ поэтому множитель $2R\sin (u+\frac{\pi }{8})$ равен $6\text{,}$ и зависимость от положения вершины $D$ (то есть от $u$) исчезает:

$$S_{ABCD}=6\cdot 6\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}?$$

Аккуратно: $S=3\sin \frac{\pi }{8}\cdot 2R(\sin u+\sin v)=3\sin \frac{\pi }{8}\cdot [2R\cdot 2\sin (u+\frac{\pi }{8})\cos \frac{\pi }{8}]=3\sin \frac{\pi }{8}\cdot 2\cos \frac{\pi }{8}\cdot [2R\sin (u+\frac{\pi }{8})]\text{.}$
Здесь $2R\sin (u+\frac{\pi }{8})=6\text{,}$ значит

$$S_{ABCD}=3\sin \frac{\pi }{8}\cdot 2\cos \frac{\pi }{8}\cdot 6=18\cdot 2\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}=18\sin \frac{\pi }{4}.$$

Шаг 4. Итог.

$$S_{ABCD}=18\sin \frac{\pi }{4}=18\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}.$$

Заметим, что площадь не зависит от конкретного положения точки $D$ на дуге: она однозначно определяется лишь данными $\angle ADB=\angle BDC=\frac{\pi }{8}$ и $BD=6\text{.}$

Ответ: $\boxed{9\sqrt{2}}\text{.}$