Задача №18127

Найти ближайший к числу $\frac{13\pi }{4}$ корень уравнения

$$\sin x\cos 2x+\sin x+\frac{10}{11}\sin 2x=\frac{3}{4}\cos x+\frac{30}{44}.$$

Приведём все слагаемые в левую часть и сгруппируем. Воспользуемся формулами $\cos 2x+1=2{\cos }^{2}x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{.}$ Перепишем правую часть: $\frac{30}{44}=\frac{15}{22}\text{,}$ и сгруппируем слагаемое с $\sin x\text{:}$

$$\sin x(\cos 2x+1)+\frac{10}{11}\sin 2x-\frac{3}{4}\cos x-\frac{15}{22}=0.$$

Подставляя тождества, получаем

$$2\sin x{\cos }^{2}x+\frac{20}{11}\sin x\cos x-\frac{3}{4}\cos x-\frac{15}{22}=0.$$

Сгруппируем по парам и вынесем общие множители:

$$2\sin x\cos x\left(\cos x+\frac{10}{11}\right)-\frac{3}{4}\left(\cos x+\frac{10}{11}\right)=0,$$

поскольку $\frac{3}{4}\cdot \frac{10}{11}=\frac{30}{44}=\frac{15}{22}\text{.}$ Вынося общий множитель $\left(\cos x+\frac{10}{11}\right)\text{:}$

$$\left(\cos x+\frac{10}{11}\right)\left(2\sin x\cos x-\frac{3}{4}\right)=0.$$

Учитывая $2\sin x\cos x=\sin 2x\text{,}$ уравнение распадается на два:

$$\cos x=-\frac{10}{11}\text{или}\sin 2x=\frac{3}{4}.$$

ОДЗ исходного уравнения — вся числовая прямая (нет дробей с переменной в знаменателе, логарифмов или корней), поэтому посторонних корней не возникает; обе серии целиком входят в множество решений.

Серия 1 ($\cos x=-\frac{10}{11}$). Так как $-1<-\frac{10}{11}<0\text{,}$ решения существуют:

$$x=\pm \arccos \left(-\frac{10}{11}\right)+2\pi k=\pm \left(\pi -\arccos \frac{10}{11}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z},$$

здесь использовано тождество $\arccos (-a)=\pi -\arccos a\text{.}$

Серия 2 ($\sin 2x=\frac{3}{4}$). Здесь $0<\frac{3}{4}<1\text{,}$ решения есть:

$$2x=(-1{)}^n\arcsin \frac{3}{4}+\pi n,x=\frac{(-1{)}^n}{2}\arcsin \frac{3}{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}.$$

Теперь среди всех корней нужно выбрать ближайший к точке $\frac{13\pi }{4}\approx 10,2102\text{.}$

Оценим аркфункции: $\arccos \frac{10}{11}\approx 0,4297\text{,}$ значит $\pi -\arccos \frac{10}{11}\approx 2,7119\text{;}$ кроме того $\arcsin \frac{3}{4}\approx 0,8481\text{.}$

Рассмотрим корни серии 1 вблизи $\frac{13\pi }{4}\text{.}$ Взяв знак «минус» и $k=2\text{:}$

$$x=-\left(\pi -\arccos \frac{10}{11}\right)+4\pi =3\pi +\arccos \frac{10}{11}\approx 9,8545.$$

Расстояние до $\frac{13\pi }{4}$ равно $10,2102-9,8545\approx 0,3557\text{.}$ Соседний корень серии 1 (знак «плюс», $k=1$) равен $\pi -\arccos \frac{10}{11}+2\pi \approx 8,9951$ и отстоит на $\approx 1,22$ — заметно дальше.

Рассмотрим корни серии 2, ближайшие к $\frac{13\pi }{4}\text{:}$

$$x=\frac{\pi -\arcsin \frac{3}{4}}{2}+3\pi \approx 9,8488\text{и}x=\frac{\arcsin \frac{3}{4}}{2}+3\pi \approx 10,5715.$$

Они отстоят от $\frac{13\pi }{4}$ на одинаковое расстояние $\approx 0,3614\text{.}$

Сравнивая расстояния $0,3557<0,3614\text{,}$ заключаем, что ближайшим к $\frac{13\pi }{4}$ является корень серии 1:

$$x=3\pi +\arccos \frac{10}{11}.$$

Превосходство строгое (разница расстояний $\approx 0,0057>0$), поэтому выбор однозначен.

Ответ: $3\pi +\arccos \frac{10}{11}\text{.}$