Найти ближайший к числу (13pi)/(4) корень уравнения sin xcos 2x+sin x+(10)/(11)sin 2x=(3)/(4)cos x+(30)/(44).

Приведём все слагаемые в левую часть и сгруппируем. Воспользуемся формулами cos 2x+1=2cos^2 x и sin 2x=2sin xcos x. Перепишем правую часть: (30)/(44)=(15)/(22), и сгруппируем слагаемое с sin x: sin x(cos 2x+1)+(10)/(11)sin 2x-(3)/(4)cos x-(15)/(22)=0. Подставляя тождества, получаем 2sin xcos^2 x+(20)/(11)sin xcos x-(3)/(4)cos x-(15)/(22)=0. Сгруппируем по парам и вынесем общие множители: 2sin xcos x(cos x+(10)/(11))-(3)/(4)(cos x+(10)/(11))=0, поскольку (3)/(4)*(10)/(11)=(30)/(44)=(15)/(22). Вынося общий множитель (cos x+(10)/(11)): (cos x+(10)/(11))(2sin xcos x-(3)/(4))=0. Учитывая 2sin xcos x=sin 2x, уравнение распадается на два: cos x=-(10)/(11) или sin 2x=(3)/(4). ОДЗ исходного уравнения — вся числовая прямая (нет дробей с переменной в знаменателе, логарифмов или корней), поэтому посторонних корней не возникает; обе серии целиком входят в множество решений. **Серия 1** (cos x=-(10)/(11)). Так как -1<-(10)/(11)<0, решения существуют: x=+-arccos(-(10)/(11))+2pi k=+-(pi-arccos(10)/(11))+2pi k, kinZ, здесь использовано тождество arccos(-a)=pi-arccos a. **Серия 2** (sin 2x=(3)/(4)). Здесь 0<34<1, решения есть: 2x=(-1)^narcsin34+pi n, x=((-1)^n)/(2)arcsin34+(pi n)/(2), ninZ. Теперь среди всех корней нужно выбрать ближайший к точке (13pi)/(4)~ 10,2102. Оценим аркфункции: arccos(10)/(11)~ 0,4297, значит pi-arccos(10)/(11)~ 2,7119; кроме того arcsin34~ 0,8481. Рассмотрим корни серии 1 вблизи (13pi)/(4). Взяв знак «минус» и k=2: x=-(pi-arccos(10)/(11))+4pi=3pi+arccos(10)/(11)~ 9,8545. Расстояние до (13pi)/(4) равно 10,2102-9,8545~ 0,3557. Соседний корень серии 1 (знак «плюс», k=1) равен pi-arccos(10)/(11)+2pi~ 8,9951 и отстоит на ~ 1,22 — заметно дальше. Рассмотрим корни серии 2, ближайшие к (13pi)/(4): x=(pi-arcsin34)/(2)+3pi~ 9,8488 и x=(arcsin34)/(2)+3pi~ 10,5715. Они отстоят от (13pi)/(4) на одинаковое расстояние ~ 0,3614. Сравнивая расстояния 0,3557<0,3614, заключаем, что ближайшим к (13pi)/(4) является корень серии 1: x=3pi+arccos(10)/(11). Превосходство строгое (разница расстояний ~ 0,0057>0), поэтому выбор однозначен. **Ответ:** 3pi+arccos(10)/(11).

\(3\pi+\arccos\frac{10}{11}\)