Найти все значения a, при каждом из которых среди решений неравенства sqrt((a-x^2)(x^2+a))+a>x есть ровно два целочисленных решения.

**Упрощение подкоренного выражения.** Раскроем произведение под корнем: (a-x^2)(x^2+a)=ax^2+a^2-x^4-ax^2=a^2-x^4. Значит исходное неравенство равносильно sqrt(a^2-x^4)+a>x, причём область допустимых значений (ОДЗ) задаётся условием a^2-x^4>= 0, то есть x^4<= a^2, что для целого x означает x^2<=|a|. **Постановка задачи.** Нас интересует не множество решений по x само по себе, а число **целых** x, удовлетворяющих неравенству. Поэтому зафиксируем целое x и для каждого такого x найдём множество тех a, при которых это x является решением. Затем подсчитаем, сколько целых x одновременно «включены» при данном a. **Анализ при фиксированном целом x.** Перепишем неравенство в виде sqrt(a^2-x^4)>x-a, a^2-x^4>= 0. Рассмотрим два случая по знаку правой части. *Случай 1: x-a<0, то есть a>x.* Левая часть неотрицательна, правая отрицательна, поэтому в пределах ОДЗ неравенство выполнено автоматически. Условие a>x вместе с ОДЗ |a|>= x^2 даёт вклад этого x при достаточно больших a: для x>0 это a>= x^2 (так как тогда a>= x^2>= x); для x<= 0 это a>= x^2 (положительная ветвь по a). *Случай 2: x-a>= 0, то есть a<= x.* Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: a^2-x^4>x^2-2ax+a^2 2ax>x^2+x^4. Если x>0, делим на 2x>0: a>(x+x^3)/(2); но при x>0 и a<= x число (x+x^3)/(2)>= x, значит решений в этом случае нет. Если x<0, делим на 2x<0 со сменой знака: a<(x+x^3)/(2); при x<=-1 имеем (x+x^3)/(2)<= x, так что неравенство a<(x+x^3)/(2) совместно с a<= x и автоматически попадает в ОДЗ (там a<0, |a| велико). Если x=0: неравенство 0>0 ложно. **Множество a для каждого целого x** (объединяя оба случая): | x | (x+x^3)/2 | множество a, при которых x — решение | | --- | --- | --- | | -3 | -15 | (-inf;-15)U[9;+inf) | | -2 | -5 | (-inf;-5)U[4;+inf) | | -1 | -1 | (-inf;-1)U[1;+inf) | | 0 | 0 | (0;+inf) | | 1 | 1 | (1;+inf) | | 2 | 5 | [4;+inf) | | 3 | 15 | [9;+inf) | Здесь все границы проверены отдельно. Например, при x=-2, a=-5: подкоренное =25-16=9, 9-5=-2, и неравенство -2>-2 **не** выполнено, поэтому точка -5 не входит (граница открытая). При x=-3, a=-15: sqrt(225-81)-15=12-15=-3, снова -3>-3 ложно — точка -15 для x=-3 исключена. На положительной ветви, например x=2, a=4: sqrt(16-16)+4=4>2 — верно, граница a=4 включена. **Подсчёт числа целых решений.** Идём по a от -inf вверх. Для a<0 (большие по модулю отрицательные) «работают» только отрицательные x: целое x=-k (k1) есть решение при a<-(k+k^3)/(2). Пороги: x=-1 при a<-1; x=-2 при a<-5; x=-3 при a<-15; x=-4 при a<-34 и т.д. Значит: ain[-15;-5) => решения x=-1 и x=-2, ровно два; ain(-inf;-15) => добавляется x=-3 (три и более); ain[-5;-1) => только x=-1 (одно); ain[-1;0] => ни одного целого решения. Граница a=-15 **включается** (там как раз два решения -2,-1), а a=-5 исключается (там остаётся одно -1). Для a>0 включаются неотрицательные x: x=0 при a>0; x=1 при a>1; x=-1 при a1; x=2,-2 при a4 и т.д. Прослеживаем: ain(0;1) => только x=0 (одно); a=1 => x=0 (т.к. 1>0) и x=-1 (т.к. sqrt(1-1)+1=1>-1), ровно два; ain(1;4) => x=-1,0,1 (три); a4 => добавляются +-2 (пять и более). В точке a=1 ровно два решения, а в любой её окрестности — одно (слева) или три (справа). Поэтому a=1 — изолированная точка ответа. **Итог.** Ровно два целочисленных решения неравенство имеет тогда и только тогда, когда ain[-15;-5)U1.

\([-15;-5)\cup\{1\}\)