В шаре радиуса 7 через точку S проведены три равные хорды AA', BB' и CC' так, что AS=8, A'S=3, BS>B'S, CS>C'S. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды SABC.

Обозначим центр данного шара через O, а его радиус через R_0=7. Через точку S проведены три хорды AA', BB', CC', причём все три равны по длине. **Шаг 1. Длина хорды и степень точки S.** Для хорды AA' дано AS=8, A'S=3. Так как точка S лежит внутри шара, она лежит между концами хорды, поэтому длина хорды равна AA'=AS+A'S=8+3=11. По условию все три хорды равны, значит длина каждой из них равна 11: BS+B'S=11, CS+C'S=11. Воспользуемся теоремой о произведении отрезков хорд, проходящих через одну точку (степень точки относительно сферы): для любой хорды, проходящей через S, произведение расстояний от S до её концов одно и то же. Для хорды AA' оно равно AS* A'S=8* 3=24. Следовательно, для остальных двух хорд BS* B'S=24, CS* C'S=24. **Шаг 2. Распределение отрезков на хордах BB' и CC'.** Числа BS и B'S удовлетворяют системе BS+B'S=11, BS* B'S=24, то есть являются корнями квадратного уравнения t^2-11t+24=0, t=(11+-sqrt(121-96))/(2)=(11+- 5)/(2). Отсюда t=8 или t=3. Условие BS>B'S однозначно даёт BS=8, B'S=3. Точно так же из CS>C'S получаем CS=8, C'S=3. Итак, для всех трёх хорд «дальние» концы A, B, C удалены от S на одно и то же расстояние 8, а «ближние» концы A', B', C' — на расстояние 3: AS=BS=CS=8, A'S=B'S=C'S=3. **Шаг 3. Расстояние от центра шара до точки S.** Степень внутренней точки S относительно сферы равна OS^2-R_0^2 и по модулю совпадает с произведением AS* A'S=24. Так как S внутри шара, степень отрицательна: OS^2-R_0^2=-AS* A'S=-24, откуда OS^2=49-24=25, OS=5. **Шаг 4. Координаты. Точки A, B, C лежат на одной окружности.** Введём систему координат с началом в центре шара O и осью Oz, направленной вдоль OS; тогда O=(0,0,0), S=(0,0,5). Каждая из точек A, B, C удовлетворяет двум условиям: она лежит на сфере радиуса 7 (то есть |P|=7) и на сфере радиуса 8 с центром S (то есть |P-S|=8). Вычитая квадраты этих равенств, получаем для любой такой точки P=(x,y,): |P|^2-|P-S|^2=49-64=-15. Но |P|^2-|P-S|^2=2P* S-|S|^2=2* 5-25=10-25. Значит 10-25=-15 =1. Таким образом, все три точки A, B, C лежат в одной плоскости =1. Их расстояние от оси Oz одинаково: x^2+y^2=49-^2=49-1=48, то есть A, B, C лежат на одной окружности радиуса sqrt(48)=4sqrt(3) с центром в точке M=(0,0,1). **Шаг 5. Описанная сфера пирамиды SABC.** Поскольку три точки A, B, C лежат на найденной окружности, описанная окружность треугольника ABC — это та же самая окружность, и её центр есть M=(0,0,1) (независимо от того, как именно расположены A, B, C на ней). Центр описанной около пирамиды сферы равноудалён от A, B, C, поэтому лежит на перпендикуляре к плоскости ABC, проведённом через M, то есть на оси Oz. Запишем его в виде Q=(0,0,c). Условие равенства расстояний от Q до точки A (которая отстоит от оси на sqrt(48) и имеет =1) и до вершины S=(0,0,5) даёт 48+(c-1)^2=(c-5)^2. Раскрывая, 48+c^2-2c+1=c^2-10c+25 49-2c=25-10c 8c=-24 c=-3. Радиус описанной сферы равен расстоянию от Q=(0,0,-3) до S=(0,0,5): R=|c-5|=|-3-5|=8, и тот же результат даёт расстояние до A: R=sqrt(48+(-3-1)^2)=sqrt(48+16)=sqrt(64)=8. **Ответ.** Радиус описанной около пирамиды SABC сферы равен 8.

\(8\)