Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
В шаре радиуса 7 через точку S проведены три равные хорды AA′, BB′ и CC′ так, что
AS=8,A′S=3,BS>B′S,CS>C′S.Найти радиус сферы, описанной около пирамиды SABC.
Обозначим центр данного шара через O, а его радиус через R0=7. Через точку S проведены три хорды AA′, BB′, CC′, причём все три равны по длине.
Шаг 1. Длина хорды и степень точки S.
Для хорды AA′ дано AS=8, A′S=3. Так как точка S лежит внутри шара, она лежит между концами хорды, поэтому длина хорды равна
AA′=AS+A′S=8+3=11.По условию все три хорды равны, значит длина каждой из них равна 11:
BS+B′S=11,CS+C′S=11.Воспользуемся теоремой о произведении отрезков хорд, проходящих через одну точку (степень точки относительно сферы): для любой хорды, проходящей через S, произведение расстояний от S до её концов одно и то же. Для хорды AA′ оно равно
AS⋅A′S=8⋅3=24.Следовательно, для остальных двух хорд
BS⋅B′S=24,CS⋅C′S=24.Шаг 2. Распределение отрезков на хордах BB′ и CC′.
Числа BS и B′S удовлетворяют системе
BS+B′S=11,BS⋅B′S=24,то есть являются корнями квадратного уравнения
t2−11t+24=0,t=211±121−96=211±5.Отсюда t=8 или t=3. Условие BS>B′S однозначно даёт
BS=8,B′S=3.Точно так же из CS>C′S получаем CS=8, C′S=3.
Итак, для всех трёх хорд «дальние» концы A, B, C удалены от S на одно и то же расстояние 8, а «ближние» концы A′, B′, C′ — на расстояние 3:
AS=BS=CS=8,A′S=B′S=C′S=3.Шаг 3. Расстояние от центра шара до точки S.
Степень внутренней точки S относительно сферы равна OS2−R02 и по модулю совпадает с произведением AS⋅A′S=24. Так как S внутри шара, степень отрицательна:
OS2−R02=−AS⋅A′S=−24,откуда
OS2=49−24=25,OS=5.Шаг 4. Координаты. Точки A, B, C лежат на одной окружности.
Введём систему координат с началом в центре шара O и осью Oz, направленной вдоль OS; тогда
O=(0,0,0),S=(0,0,5).Каждая из точек A, B, C удовлетворяет двум условиям: она лежит на сфере радиуса 7 (то есть ∣P∣=7) и на сфере радиуса 8 с центром S (то есть ∣P−S∣=8). Вычитая квадраты этих равенств, получаем для любой такой точки P=(x,y,ζ):
∣P∣2−∣P−S∣2=49−64=−15.Но ∣P∣2−∣P−S∣2=2P⋅S−∣S∣2=2⋅5ζ−25=10ζ−25. Значит
10ζ−25=−15 ⟹ ζ=1.Таким образом, все три точки A, B, C лежат в одной плоскости ζ=1. Их расстояние от оси Oz одинаково:
x2+y2=49−ζ2=49−1=48,то есть A, B, C лежат на одной окружности радиуса 48=43 с центром в точке M=(0,0,1).
Шаг 5. Описанная сфера пирамиды SABC.
Поскольку три точки A, B, C лежат на найденной окружности, описанная окружность треугольника ABC — это та же самая окружность, и её центр есть M=(0,0,1) (независимо от того, как именно расположены A, B, C на ней). Центр описанной около пирамиды сферы равноудалён от A, B, C, поэтому лежит на перпендикуляре к плоскости ABC, проведённом через M, то есть на оси Oz. Запишем его в виде Q=(0,0,c).
Условие равенства расстояний от Q до точки A (которая отстоит от оси на 48 и имеет ζ=1) и до вершины S=(0,0,5) даёт
48+(c−1)2=(c−5)2.Раскрывая,
48+c2−2c+1=c2−10c+25 ⟹ 49−2c=25−10c ⟹ 8c=−24 ⟹ c=−3.Радиус описанной сферы равен расстоянию от Q=(0,0,−3) до S=(0,0,5):
R=∣c−5∣=∣−3−5∣=8,и тот же результат даёт расстояние до A:
R=48+(−3−1)2=48+16=64=8.Ответ. Радиус описанной около пирамиды SABC сферы равен 8.