Задача №18126

Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна $(-3)\text{,}$ сумма третьих членов 1, а сумма пятых членов равна 5. Найти разность арифметической прогрессии.

Обозначим арифметическую прогрессию через $a_n=a_1+(n-1)d\text{,}$ где $d$ — искомая разность, а геометрическую через $b_n=b_1{q}^{n-1}\text{,}$ где $b_1\ne 0$ и $q\ne 0\text{.}$ По условию даны суммы одноимённых членов:

Введём обозначение $S_n=a_n+b_n\text{,}$ тогда $S_1=-3\text{,}$ $S_3=1\text{,}$ $S_5=5\text{.}$

Запишем разности соседних (по нечётным номерам) сумм. Для арифметической части

а для геометрической части

Поэтому

Вычтем первое равенство из второго. Слагаемые $2d$ сокращаются, и получаем

Так как $b_1\ne 0\text{,}$ отсюда следует $(q^2-1{)}^2=0\text{,}$ то есть $q^2=1$ (значит $q=1$ или $q=-1$).

Подставим $q^2=1$ в равенство $S_3-S_1=2d+b_1(q^2-1)=4\text{.}$ Множитель $b_1(q^2-1)$ обращается в нуль, и остаётся

Проверим, что такая ситуация действительно реализуется. При $q=-1$ возьмём, например, $b_1=5\text{;}$ тогда из $a_1+b_1=-3$ находим $a_1=-8\text{,}$ а $d=2\text{.}$ Получаем

все три условия выполнены. Значение $d$ определяется однозначно и не зависит от выбора геометрической прогрессии: при любом допустимом $b_1$ и $q^2=1$ разность арифметической прогрессии равна $2\text{.}$

Ответ: разность арифметической прогрессии равна $\boxed{2}\text{.}$