Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна (-3), сумма третьих членов 1, а сумма пятых членов равна 5. Найти разность арифметической прогрессии.

Обозначим арифметическую прогрессию через a_n=a_1+(n-1)d, где d — искомая разность, а геометрическую через b_n=b_1q^(n-1), где b_1!= 0 и q!= 0. По условию даны суммы одноимённых членов: a_1+b_1=-3, a_3+b_3=1, a_5+b_5=5. Введём обозначение S_n=a_n+b_n, тогда S_1=-3, S_3=1, S_5=5. Запишем разности соседних (по нечётным номерам) сумм. Для арифметической части a_3-a_1=2d, a_5-a_3=2d, а для геометрической части b_3-b_1=b_1q^2-b_1=b_1(q^2-1), b_5-b_3=b_1q^4-b_1q^2=b_1q^2(q^2-1). Поэтому S_3-S_1=2d+b_1(q^2-1)=1-(-3)=4, S_5-S_3=2d+b_1q^2(q^2-1)=5-1=4. Вычтем первое равенство из второго. Слагаемые 2d сокращаются, и получаем b_1q^2(q^2-1)-b_1(q^2-1)=b_1(q^2-1)(q^2-1)=b_1(q^2-1)^2=0. Так как b_1!= 0, отсюда следует (q^2-1)^2=0, то есть q^2=1 (значит q=1 или q=-1). Подставим q^2=1 в равенство S_3-S_1=2d+b_1(q^2-1)=4. Множитель b_1(q^2-1) обращается в нуль, и остаётся 2d=4, d=2. Проверим, что такая ситуация действительно реализуется. При q=-1 возьмём, например, b_1=5; тогда из a_1+b_1=-3 находим a_1=-8, а d=2. Получаем a_1+b_1=-8+5=-3, a_3+b_3=(-8+4)+5*(-1)^2=-4+5=1, a_5+b_5=(-8+8)+5*(-1)^4=0+5=5, все три условия выполнены. Значение d определяется однозначно и не зависит от выбора геометрической прогрессии: при любом допустимом b_1 и q^2=1 разность арифметической прогрессии равна 2. Ответ: разность арифметической прогрессии равна 2.

\(2\)