Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)
Решить неравенство
5−∣3−2x∣21−2x−26−x−∣3−2x∣⩾1.Введём замену t=2x. Поскольку показательная функция 2x положительна при всех x, новая переменная пробегает все значения t>0, причём соответствие x↦t монотонно возрастающее и взаимно однозначное. Заметим, что
26−x=2x26=t64,∣3−2x∣=∣3−t∣.В этих обозначениях неравенство принимает вид
5−∣3−t∣21−t−t64−∣3−t∣⩾1.Раскрытие модуля естественно разбивает задачу на два случая по знаку выражения 3−t.
Случай 1: 0<t⩽3. Тогда ∣3−t∣=3−t. Знаменатель равен
5−(3−t)=t+2>0(при t>0),то есть в этом случае знаменатель в нуль не обращается и положителен. Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:
t+221−t−t64−(3−t)−1=t+218−t64−1=t(t+2)18t−64−t(t+2)=t(t+2)−t2+16t−64.В числителе стоит −(t2−16t+64)=−(t−8)2, поэтому
5−∣3−t∣21−t−t64−∣3−t∣−1=t(t+2)−(t−8)2.При t>0 знаменатель t(t+2)>0, а числитель −(t−8)2⩽0, причём равен нулю лишь при t=8. Значит, на всём промежутке 0<t⩽3 разность строго отрицательна (точка t=8 сюда не попадает), и неравенство ⩾1 не выполняется ни при одном t. Случай 1 решений не даёт.
Случай 2: t⩾3. Тогда ∣3−t∣=t−3. Знаменатель равен
5−(t−3)=8−t,он обращается в нуль при t=8; это значение исключается из области определения. Аналогично преобразуем:
8−t21−t−t64−(t−3)−1=8−t24−2t−t64−1=t(8−t)24t−2t2−64−t(8−t)=t(8−t)−t2+16t−64.Снова в числителе получается −(t−8)2, а знаменатель распишем как t(8−t)=−t(t−8). Поэтому
5−∣3−t∣21−t−t64−∣3−t∣−1=−t(t−8)−(t−8)2=t(t−8)(t−8)2=tt−8(t=8).Сокращение на (t−8) законно при t=8; само значение t=8 исключено, так как там обращается в нуль исходный знаменатель.
Итак, при t⩾3, t=8 неравенство равносильно
tt−8⩾0.При t>0 знаменатель положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя t−8:
tt−8⩾0⟺t−8⩾0⟺t⩾8.С учётом исключения t=8 (в этой точке исходное выражение не определено) получаем строгое неравенство t>8. Это согласуется с областью t⩾3.
Возврат к переменной x. Объединяя оба случая, в переменной t множество решений есть t>8. Так как t=2x и функция 2x строго возрастает, неравенство 2x>8=23 равносильно x>3. Точка x=3 (ей отвечает t=8) в решение не входит, поскольку при 2x=8 знаменатель исходной дроби 5−∣3−2x∣=5−5=0 обращается в нуль и выражение не определено.
Ответ: x∈(3;+∞).