58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tba6,Решим уравнение \[\sqrt{12\sin x+13}=3\sin x+2.\] Удобно ввести замену $ t=\sin x $, где, очевидно, $ t\in[-1,1] $. Уравнение принимает вид \[\sqrt{12t+13}=3t+2.\] **Область допустимых значений.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[12t+13\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\ge-\dfrac{13}{12}.\] Поскольку $ t=\sin x\ge -1>-\dfrac{13}{12} $, это условие выполнено для всех значений $ t $ из отрезка $[-1,1]$, так что подкоренное выражение всегда положительно (его наименьшее значение равно $12\cdot(-1)+13=1$). Дополнительное ограничение даёт лишь правая часть. **Условие неотрицательности правой части.** Левая часть как арифметический квадратный корень неотрицательна, поэтому равенство возможно только при \[3t+2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\ge-\dfrac{2}{3}.\] Это ограничение запомним: оно отсеет посторонние корни, появляющиеся при возведении в квадрат. **Возведение в квадрат.** При условии $ 3t+2\ge 0 $ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат равносильно: \[12t+13=(3t+2)^2=9t^2+12t+4.\] Сокращая слагаемое $12t$ в обеих частях, получаем \[13=9t^2+4,\qquad 9t^2=9,\qquad t^2=1,\] откуда $ t=1 $ или $ t=-1 $. **Отбор корней.** Проверим оба значения по условию неотрицательности правой части и непосредственной подстановкой: | $t$ | левая часть $\sqrt{12t+13}$ | правая часть $3t+2$ | вывод | |---|---|---|---| | $t=1$ | $\sqrt{25}=5$ | $5$ | равенство верно | | $t=-1$ | $\sqrt{1}=1$ | $-1$ | правая часть отрицательна — посторонний корень | Значение $ t=-1 $ появилось из-за возведения в квадрат и не удовлетворяет исходному уравнению (равенство неотрицательного корня и отрицательного числа невозможно). Остаётся единственное допустимое значение \[\sin x=1.\] **Возврат к переменной $ x $.** Уравнение $ \sin x=1 $ имеет серию решений \[x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Ответ:** \[\boxed{\,x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\,}.\]5c:T1b9b,Рассмотрим неравенство \[\log_{(x-1)}\frac{x^2-x-6}{2x-8}\leqslant 1.\] **Область определения.** Логарифм с переменным основанием определён, когда основание положительно и отлично от единицы, а выражение под знаком логарифма положительно. Обозначим основание $a=x-1$ и аргумент \[t(x)=\frac{x^2-x-6}{2x-8}=\frac{(x-3)(x+2)}{2(x-4)}.\] Тогда требуется \[x-1>0,\qquad x-1\neq 1,\qquad t(x)>0,\] то есть $x>1$ и $x\neq 2$. Условие $t(x)>0$ учтём ниже при разборе случаев. **Идея.** Запишем единицу как логарифм самого основания: $1=\log_{(x-1)}(x-1)$. Тогда неравенство принимает вид \[\log_{(x-1)} t(x)\leqslant \log_{(x-1)}(x-1).\] Направление перехода от логарифмов к их аргументам зависит от того, больше единицы основание или меньше. Поэтому разберём два случая: $01$ (то есть $x>2$). Точка $x=2$ (основание равно $1$) из рассмотрения исключена. Нам пригодится преобразование разности «аргумент минус основание». Приведём к общему знаменателю: \[t(x)-(x-1)=\frac{x^2-x-6}{2x-8}-(x-1)=\frac{x^2-x-6-(x-1)(2x-8)}{2x-8}=\frac{-x^2+9x-14}{2x-8}=\frac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}.\] Итак, \[t(x)-(x-1)=\frac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}.\tag{*}\] **Случай 1: $10$ на всём интервале $(1;2)$ — условие области определения выполнено. Так как основание меньше единицы, функция $u\mapsto\log_{(x-1)}u$ убывает, поэтому неравенство между логарифмами равносильно противоположному неравенству между аргументами: \[\log_{(x-1)} t(x)\leqslant \log_{(x-1)}(x-1)\iff t(x)\geqslant x-1\iff t(x)-(x-1)\geqslant 0.\] Подставляя $(*)$, получаем условие \[\frac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}\geqslant 0.\] На интервале $10$), а знаменатель $2(x-4)<0$. Дробь есть частное двух отрицательных чисел, то есть положительна. Значит неравенство выполнено для всех $x\in(1;2)$. Таким образом, в первом случае решением служит весь интервал $(1;2)$. **Случай 2: $x>2$ (основание $x-1>1$).** Здесь функция $u\mapsto\log_{(x-1)}u$ возрастает, поэтому \[\log_{(x-1)} t(x)\leqslant \log_{(x-1)}(x-1)\iff t(x)\leqslant x-1,\] причём отдельно требуется $t(x)>0$. Объединяя, при $x>2$ надо решить систему \[\begin{cases} t(x)>0,\\ t(x)-(x-1)\leqslant 0.\end{cases}\] Определим знак аргумента $t(x)=\dfrac{(x-3)(x+2)}{2(x-4)}$ при $x>2$. Нули числителя — точки $x=-2$ и $x=3$, нуль знаменателя — $x=4$. Для $x>2$ множитель $x+2>0$, поэтому знак определяется дробью $\dfrac{x-3}{x-4}$: | интервал | $x-3$ | $x-4$ | $t(x)$ | |---|---|---|---| | $(2;3)$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $(3;4)$ | $+$ | $-$ | $-$ | | $(4;+\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | Значит $t(x)>0$ на $(2;3)\cup(4;+\infty)$; в точке $x=3$ аргумент равен нулю, а на $(3;4)$ он отрицателен — эти точки в область определения не входят. Точка $x=4$ исключена (знаменатель обращается в нуль). Теперь второе условие $t(x)-(x-1)\leqslant 0$ с учётом $(*)$: \[\frac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}\leqslant 0.\] Критические точки числителя и знаменателя: $x=2,\ x=4,\ x=7$. Составим таблицу знаков для $x>2$ (множитель $x-2>0$ положителен всюду на $x>2$, поэтому знак выражения совпадает со знаком $\dfrac{-(x-7)}{2(x-4)}$): | интервал | $x-7$ | $x-4$ | $\dfrac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}$ | |---|---|---|---| | $(2;4)$ | $-$ | $-$ | $-$ | | $(4;7)$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $(7;+\infty)$ | $+$ | $+$ | $-$ | В точке $x=7$ выражение равно нулю, что удовлетворяет нестрогому неравенству $\leqslant 0$. Итак, неравенство $t(x)-(x-1)\leqslant 0$ выполнено на $(2;4)\cup[7;+\infty)$. Пересечём это с условием $t(x)>0$, то есть с множеством $(2;3)\cup(4;+\infty)$: \[\bigl((2;4)\cup[7;+\infty)\bigr)\cap\bigl((2;3)\cup(4;+\infty)\bigr)=(2;3)\cup[7;+\infty).\] Таким образом, во втором случае решением служит $(2;3)\cup[7;+\infty)$. **Объединение случаев.** Соединяя результаты обоих случаев (и помня про исключённую точку $x=2$), получаем \[(1;2)\cup(2;3)\cup[7;+\infty).\] **Проверка граничных точек.** - $x=2$: основание $x-1=1$ недопустимо — точка исключена (разрыв между $(1;2)$ и $(2;3)$). - $x=3$: аргумент $t(3)=0$ недопустим — правый конец интервала $(2;3)$ открыт. - $x=7$: $t(7)=\dfrac{(7-3)(7+2)}{2(7-4)}=\dfrac{36}{6}=6$, основание $7-1=6$, и $\log_6 6=1\leqslant 1$ — равенство достигается, точка $x=7$ включена. - $x=4$: знаменатель аргумента обращается в нуль — точка не входит в область определения (и лежит в исключённом промежутке $(3;7)$). Окончательный ответ: \[\boxed{(1;2)\cup(2;3)\cup[7;+\infty)}.\]5d:T12be,Будем искать целые $x,y$ и число $z$, удовлетворяющие системе \[\begin{cases}2^{x^2-2xy+1}=z\cdot 3^{y^2-1},\\ \cos(5\pi z)=-1.\end{cases}\] **Шаг 1. Знак и вид величины $z$.** Так как $x,y$ целые, показатели $x^2-2xy+1$ и $y^2-1$ — целые числа. Левая часть первого уравнения есть степень двойки $2^{x^2-2xy+1}$, а это положительное число при любом целом показателе. Поэтому \[z=\dfrac{2^{x^2-2xy+1}}{3^{y^2-1}}>0.\] Сразу отметим важное следствие: значение $z$ не может быть отрицательным. В частности, $z=-1$ невозможно, потому что тогда правая часть первого уравнения $z\cdot 3^{y^2-1}$ была бы отрицательной, а левая $2^{x^2-2xy+1}$ — положительной. **Шаг 2. Расшифровка второго уравнения.** Равенство $\cos(5\pi z)=-1$ выполнено тогда и только тогда, когда \[5\pi z=\pi+2\pi k=\pi(2k+1),\qquad k\in\mathbb{Z},\] то есть когда $5z$ — нечётное целое число. Подставим сюда найденное в шаге 1 выражение для $z$: \[5z=\dfrac{5\cdot 2^{\,p}}{3^{\,q}},\qquad\text{где } p=x^2-2xy+1,\quad q=y^2-1.\] Это число должно быть нечётным целым. **Шаг 3. Из условия «$5z$ — нечётное целое» получаем $p=0$ и $q=0$.** Рассмотрим разложение $5z=\dfrac{5\cdot 2^{\,p}}{3^{\,q}}$ на простые множители. Показатель двойки в этом числе равен $p$. Чтобы $5z$ было целым, в знаменателе не должно остаться двоек, значит $p\geqslant 0$; чтобы оно было нечётным, двоек не должно быть и в числителе, значит $p\leqslant 0$. Следовательно \[p=x^2-2xy+1=0.\] (Если $p>0$, число $5z$ делилось бы на $2$ и было бы чётным; если $p<0$, оно не было бы целым.) Теперь о тройке. Множитель $5$ на $3$ не делится, степень двойки тоже взаимно проста с тройкой, поэтому чтобы $5z=\dfrac{5}{3^{\,q}}$ (с учётом $p=0$) было целым, необходимо $q\leqslant 0$. Покажем, что фактически $q=0$: это вытекает из того, что уравнение $p=0$ однозначно задаёт $x,y$, а через них и $q$. **Шаг 4. Решение уравнения $x^2-2xy+1=0$ в целых числах.** Перепишем его как $x^2+1=2xy$. Левая часть делится на $x$ только если $x$ делит $x^2+1$; поскольку $x$ делит $x^2$, отсюда $x$ делит $1$, то есть $x=\pm 1$. - При $x=1$: $1+1=2\cdot 1\cdot y\Rightarrow y=1$. - При $x=-1$: $1+1=2\cdot(-1)\cdot y\Rightarrow y=-1$. Других целых решений нет. (Это же даёт прямая проверка дискриминантом: из $x^2-2xy+1=0$ имеем $y=\dfrac{x^2+1}{2x}$, и дробь целая лишь при $x=\pm1$.) В обоих случаях \[q=y^2-1=1-1=0,\] условие $q\leqslant 0$ выполнено, и \[z=\dfrac{2^{0}}{3^{0}}=1.\] **Шаг 5. Проверка.** Подставим обе найденные тройки в исходную систему. Для $(x,y,z)=(1,1,1)$: показатель $x^2-2xy+1=1-2+1=0$, показатель $y^2-1=0$, первое уравнение даёт $2^{0}=1\cdot 3^{0}$, то есть $1=1$ — верно; второе: $\cos(5\pi\cdot 1)=\cos 5\pi=-1$ — верно. Для $(x,y,z)=(-1,-1,1)$: показатель $x^2-2xy+1=1-2+1=0$, показатель $y^2-1=0$, первое уравнение $2^{0}=1\cdot 3^{0}$, то есть $1=1$ — верно; второе: $\cos(5\pi\cdot 1)=-1$ — верно. Обе тройки подходят, посторонних решений нет. **Ответ:** \[\boxed{(x;y;z)=(1;1;1)\quad\text{и}\quad(x;y;z)=(-1;-1;1).}\] *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5e:T1053,Обозначим хорды и точку их пересечения как в условии: $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$, а касательная к окружности в точке $A$ параллельна $BD$. **Шаг 1. Касательная в $A$ параллельна $BD$ даёт $AB=AD$.** Пусть $t$ — касательная к окружности в точке $A$. По теореме об угле между касательной и хордой угол между $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$, то есть $\angle ADB$. С другой стороны, так как $t\parallel BD$, угол между $t$ и секущей $AB$ равен накрест лежащему углу $\angle ABD$. Следовательно, \[\angle ABD=\angle ADB,\] то есть треугольник $ABD$ равнобедренный и \[AB=AD.\] (Геометрически это означает, что точка $A$ — середина дуги $BD$, не содержащей $A$ образа; равные дуги $AB$ и $AD$ стягивают равные хорды.) Обозначим \[m=AB=AD.\] **Шаг 2. Подобие $\triangle ABE\sim\triangle DCE$ и вычисление $AE$.** Рассмотрим треугольники $ABE$ и $DCE$, образованные пересекающимися хордами. Углы $\angle AEB$ и $\angle DEC$ равны как вертикальные. Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, поэтому \[\angle BAE=\angle BAC=\angle BDC=\angle CDE.\] По двум углам $\triangle ABE\sim\triangle DCE$, откуда соответственные стороны пропорциональны: \[\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DC}.\] По условию $CD:ED=3:2$, значит $\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{2}{3}$, и с учётом $AB=m$ получаем \[AE=AB\cdot\frac{DE}{DC}=m\cdot\frac{2}{3}=\frac{2m}{3}.\] **Шаг 3. Подобие $\triangle ABE\sim\triangle ACB$ и вычисление $AC$.** Тангенциально-хордовый угол между касательной $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $\angle ACB$ (оба опираются на дугу $AB$). А так как $t\parallel BD$, этот же угол равен углу между $BD$ и $AB$, то есть $\angle ABD=\angle ABE$. Поэтому \[\angle ABE=\angle ACB.\] В треугольниках $ABE$ и $ACB$ угол $\angle A$ общий (это угол $\angle BAC$), а $\angle ABE=\angle ACB$. Значит, по двум углам \[\triangle ABE\sim\triangle ACB,\] откуда \[\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AC}\quad\Longrightarrow\quad AB^2=AE\cdot AC.\] Следовательно, \[AC=\frac{AB^2}{AE}=\frac{m^2}{\tfrac{2m}{3}}=\frac{3m}{2}.\] **Шаг 4. Отношение площадей.** Треугольники $ABC$ и $ABE$ имеют общую вершину $B$, а их основания $AC$ и $AE$ лежат на одной прямой $AC$ (точка $E$ — внутренняя точка хорды $AC$). Значит, высоты, опущенные из $B$ на эту прямую, у них одинаковы, и площади относятся как основания: \[\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABE}}=\frac{AC}{AE}=\frac{\tfrac{3m}{2}}{\tfrac{2m}{3}}=\frac{3m}{2}\cdot\frac{3}{2m}=\frac{9}{4}.\] Тот же результат даёт коэффициент подобия из шага 3: $\dfrac{S_{\triangle ACB}}{S_{\triangle ABE}}=\left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{9}{4}$. **Шаг 5. Ответ.** Поскольку $S_{\triangle ABE}=8$, получаем \[S_{\triangle ABC}=\frac{9}{4}\cdot S_{\triangle ABE}=\frac{9}{4}\cdot 8=18.\] Итак, площадь треугольника $ABC$ равна $\boxed{18}$.5f:T1222,**Первое неравенство системы.** Раскроем модуль в неравенстве $|x+2|-2\leqslant x$. Если $x\geqslant -2$, то $|x+2|=x+2$ и неравенство принимает вид $(x+2)-2\leqslant x$, то есть $x\leqslant x$ — верно при всех таких $x$. Если $x<-2$, то $|x+2|=-(x+2)$ и получаем $-(x+2)-2\leqslant x$, то есть $-x-4\leqslant x$, откуда $2x\geqslant -4$, $x\geqslant -2$ — что противоречит $x<-2$. Решений тут нет. Итак, первое неравенство равносильно условию \[x\geqslant -2.\] Это область, в которой ищем корни второго уравнения. **Преобразование уравнения.** Обозначим $t=2^{x}>0$. Тогда \[2^{x+1}=2t,\qquad 2^{x-1}=\frac{t}{2},\qquad 2^{1-x}=\frac{2}{t},\qquad 2^{2x-1}=\frac{t^{2}}{2},\] и коэффициент при синусе равен \[2^{x+1}+2^{x-1}+2^{1-x}=2t+\frac{t}{2}+\frac{2}{t}=\frac{5t}{2}+\frac{2}{t}=:C.\] Введём также обозначение $s=\sin\dfrac{\pi x}{2}$. Используя формулу двойного угла \[\cos(\pi x)=1-2\sin^{2}\frac{\pi x}{2}=1-2s^{2},\] уравнение \[\left(\frac{5t}{2}+\frac{2}{t}\right)s+\bigl(1-2s^{2}\bigr)=3+\frac{t^{2}}{2}\] превращается в квадратное относительно $s$: \[2s^{2}-Cs+\left(2+\frac{t^{2}}{2}\right)=0.\] **Дискриминант оказывается полным квадратом.** Вычислим: \[D=C^{2}-8\left(2+\frac{t^{2}}{2}\right)=\left(\frac{5t}{2}+\frac{2}{t}\right)^{2}-16-4t^{2}=\frac{9t^{2}}{4}-6+\frac{4}{t^{2}}=\frac{\bigl(3t^{2}-4\bigr)^{2}}{4t^{2}}\geqslant 0.\] Поэтому \[s=\frac{C\pm\dfrac{|3t^{2}-4|}{2t}}{4}.\] Аккуратно раскрывая знак (результат одинаков при обоих знаках выражения $3t^{2}-4$), получаем два корня: \[s_{1}=t=2^{x},\qquad s_{2}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}=\frac{2^{x}}{4}+2^{-x}.\] Можно проверить прямой подстановкой: исходное выражение раскладывается как \[2s^{2}-Cs+\left(2+\frac{t^{2}}{2}\right)=2\,(s-t)\!\left(s-\frac{t}{4}-\frac1t\right),\] так что $\sin\dfrac{\pi x}{2}$ обязано равняться одному из чисел $s_{1}$ или $s_{2}$. **Разбор первой возможности $\sin\dfrac{\pi x}{2}=2^{x}$.** Так как $2^{x}>0$, нужно $\sin\dfrac{\pi x}{2}>0$, а значит и $2^{x}\leqslant 1$, то есть $x\leqslant 0$. С учётом $x\geqslant -2$ остаётся отрезок $-2\leqslant x\leqslant 0$. Но на нём аргумент $\dfrac{\pi x}{2}$ лежит в $[-\pi,0]$, где синус неположителен: $\sin\dfrac{\pi x}{2}\leqslant 0$. Тогда как $2^{x}>0$. Равенство положительного и неположительного невозможно, поэтому эта ветвь решений не даёт. **Разбор второй возможности $\sin\dfrac{\pi x}{2}=\dfrac{t}{4}+\dfrac{1}{t}$.** Оценим правую часть по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом: \[\frac{t}{4}+\frac{1}{t}\geqslant 2\sqrt{\frac{t}{4}\cdot\frac{1}{t}}=2\cdot\frac{1}{2}=1,\] причём равенство достигается лишь при $\dfrac{t}{4}=\dfrac{1}{t}$, то есть $t^{2}=4$, $t=2$. Но $\sin\dfrac{\pi x}{2}\leqslant 1$. Значит, равенство $\sin\dfrac{\pi x}{2}=\dfrac{t}{4}+\dfrac{1}{t}$ возможно только тогда, когда обе части равны $1$ одновременно: \[\frac{t}{4}+\frac{1}{t}=1\quad\Longrightarrow\quad t=2\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}=2\quad\Longrightarrow\quad x=1,\] и при этом $\sin\dfrac{\pi\cdot 1}{2}=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ — условие выполнено. Найденное $x=1$ удовлетворяет и первому неравенству системы ($1\geqslant -2$). **Проверка.** При $x=1$: $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, $\cos\pi=-1$, коэффициент $C=2^{2}+2^{0}+2^{0}=4+1+1=6$, правая часть $3+2^{1}=5$. Левая часть: $6\cdot 1+(-1)=5$. Равенство верно, неравенство выполнено. **Ответ:** \[\boxed{x=1}.\]60:T1436,Введём прямоугольную систему координат, связанную с кубом: положим \[ A=(0,0,0),\quad B=(1,0,0),\quad C=(1,1,0),\quad D=(0,1,0), \] \[ A_1=(0,0,1),\quad B_1=(1,0,1),\quad C_1=(1,1,1),\quad D_1=(0,1,1). \] Тогда нижняя грань (плоскость $ABC$) задаётся уравнением $z=0$, а верхняя (плоскость $A_1B_1C_1$) — уравнением $z=1$. Ребро куба равно $1$. **Первая сфера.** Она имеет радиус $r_1=\dfrac14$ и касается плоскости $z=0$ в точке $A=(0,0,0)$. Касание плоскости в данной точке означает, что центр сферы лежит на перпендикуляре к плоскости, восставленном в точке касания, причём на расстоянии радиуса от плоскости. Перпендикуляр к плоскости $z=0$ в точке $A$ — это прямая, параллельная оси $Oz$. Так как сфера должна располагаться внутри куба, центр берём над плоскостью: \[ O_1=\left(0,\,0,\,\tfrac14\right),\qquad r_1=\tfrac14 . \] **Вторая сфера.** Она касается плоскости $z=1$ в точке $E_1$, лежащей на отрезке $B_1C_1$. Точка $E_1$ делит ребро в отношении $B_1E_1:E_1C_1=2:1$ (то есть $E_1C_1=\tfrac13 B_1C_1$). Так как $B_1=(1,0,1)$ и $C_1=(1,1,1)$, \[ E_1=B_1+\tfrac23\,(C_1-B_1)=\left(1,\,\tfrac23,\,1\right). \] Обозначим радиус второй сферы через $r_2$ (он заранее не известен). Центр $O_2$ лежит на перпендикуляре к плоскости $z=1$ в точке $E_1$, на расстоянии $r_2$ ниже этой плоскости (сфера внутри куба): \[ O_2=\left(1,\,\tfrac23,\,1-r_2\right). \] **Условие внешнего касания.** Две сферы касаются внешним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно сумме радиусов: \[ |O_1O_2|=r_1+r_2 . \] Вычислим квадрат расстояния: \[ |O_1O_2|^2=(1-0)^2+\left(\tfrac23-0\right)^2+\left(1-r_2-\tfrac14\right)^2 =1+\tfrac49+\left(\tfrac34-r_2\right)^2 . \] Приравняв его к $(r_1+r_2)^2=\left(\tfrac14+r_2\right)^2$, получаем уравнение \[ 1+\tfrac49+\left(\tfrac34-r_2\right)^2=\left(\tfrac14+r_2\right)^2 . \] Раскроем квадраты: \[ 1+\tfrac49+\tfrac{9}{16}-\tfrac32 r_2+r_2^2=\tfrac{1}{16}+\tfrac12 r_2+r_2^2 . \] Слагаемые $r_2^2$ сокращаются, и остаётся линейное уравнение: \[ 1+\tfrac49+\tfrac{9}{16}-\tfrac{1}{16}=\tfrac12 r_2+\tfrac32 r_2=2r_2 . \] Левая часть равна $1+\dfrac49+\dfrac{8}{16}=1+\dfrac49+\dfrac12=\dfrac{18+8+9}{18}=\dfrac{35}{18}$. Отсюда \[ 2r_2=\frac{35}{18}\quad\Longrightarrow\quad r_2=\frac{35}{36}. \] Значит, центр второй сферы \[ O_2=\left(1,\,\tfrac23,\,1-\tfrac{35}{36}\right)=\left(1,\,\tfrac23,\,\tfrac{1}{36}\right), \] и $r_1+r_2=\dfrac14+\dfrac{35}{36}=\dfrac{9+35}{36}=\dfrac{44}{36}=\dfrac{11}{9}$, что согласуется с $|O_1O_2|=\dfrac{11}{9}$. **Точка касания сфер.** Точка касания $P$ лежит на отрезке $O_1O_2$ и делит его так, что $O_1P=r_1$. Поэтому \[ P=O_1+\frac{r_1}{r_1+r_2}\,(O_2-O_1),\qquad \frac{r_1}{r_1+r_2}=\frac{1/4}{11/9}=\frac{9}{44}. \] Вектор $O_2-O_1=\left(1,\ \tfrac23,\ \tfrac{1}{36}-\tfrac14\right)=\left(1,\ \tfrac23,\ -\tfrac29\right)$. Тогда \[ P=\left(0,0,\tfrac14\right)+\frac{9}{44}\left(1,\ \tfrac23,\ -\tfrac29\right) =\left(\frac{9}{44},\ \frac{3}{22},\ \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\right) =\left(\frac{9}{44},\ \frac{3}{22},\ \frac{9}{44}\right). \] Все координаты точки $P$ лежат в интервале $(0,1)$, поэтому точка касания действительно находится внутри куба, как и требуется по условию. Проверка: $O_1P=\left|\frac{9}{44}(O_2-O_1)\right|=\frac{9}{44}\cdot\frac{11}{9}=\frac14=r_1$ и аналогично $O_2P=r_2$. **Искомое расстояние.** Найдём расстояние от $P$ до вершины $D=(0,1,0)$: \[ PD^2=\left(\frac{9}{44}-0\right)^2+\left(\frac{3}{22}-1\right)^2+\left(\frac{9}{44}-0\right)^2. \] Вычислим по слагаемым: \[ \left(\frac{9}{44}\right)^2=\frac{81}{1936},\qquad \left(\frac{3}{22}-1\right)^2=\left(-\frac{19}{22}\right)^2=\frac{361}{484}=\frac{1444}{1936}, \] поэтому \[ PD^2=\frac{81}{1936}+\frac{1444}{1936}+\frac{81}{1936}=\frac{1606}{1936}=\frac{73}{88}. \] Следовательно, \[ \boxed{\,PD=\sqrt{\dfrac{73}{88}}=\dfrac{\sqrt{1606}}{44}\,}. \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — март 1997\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — март 1997\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1997-03\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T23:40:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — март 1997\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — март 1997-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — март 1997"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1997-03","serverCollection":{"id":"71a1d2b0-ee5e-43f0-9770-6914dd7d0c2a","name":"Мехмат МГУ — март 1997","code":"mehmat-1997-03","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"03","session_label":"Досрочный экзамен, 1997 год (март)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1997-03.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1997},"created_at":"2026-06-09T23:40:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"54a15626-2d37-4770-ba7b-528ec65eebc6","collection_id":"71a1d2b0-ee5e-43f0-9770-6914dd7d0c2a","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"54a15626-2d37-4770-ba7b-528ec65eebc6","short_id":18119,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\sqrt{12\\sin x+13}=3\\sin x+2.\\]","answer_text":"\$\\frac{\\pi}{2}+2\\pi k,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\frac{\\pi}{2}+2\\pi k,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"03","variant_key":"mm1997-03","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"2a6876b0-df38-4bc8-89a9-d986e627b92a","code":"tag-38","name":"Основное тригонометрическое тождество и его следствия"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}},{"problem_id":"8a299408-92e9-416a-bcbf-6583b232c321","collection_id":"71a1d2b0-ee5e-43f0-9770-6914dd7d0c2a","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"8a299408-92e9-416a-bcbf-6583b232c321","short_id":18120,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\log_{(x-1)}\\frac{x^2-x-6}{2x-8}\\leqslant 1.\\]","answer_text":"\$(1;2)\\cup(2;3)\\cup[7;+\\infty)\$","answer":"\$(1;2)\\cup(2;3)\\cup[7;+\\infty)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"03","variant_key":"mm1997-03","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"47a6caf0-9288-428b-b4b7-8285f64c0e7e","collection_id":"71a1d2b0-ee5e-43f0-9770-6914dd7d0c2a","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"47a6caf0-9288-428b-b4b7-8285f64c0e7e","short_id":18121,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Считая \$x\$ и \$y\$ целыми числами, решить систему уравнений\n\\[\\begin{cases}2^{x^2-2xy+1}=z\\cdot 3^{y^2-1},\\\\ \\cos(5\\pi z)=-1.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$(1;1;1),\\ (-1;-1;1)\$","answer":"\$(1;1;1),\\ (-1;-1;1)\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm1997-03","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"1561837c-f5e6-4e19-9d89-ecdaba78d70c","code":"tag-19","name":"Показательные уравнения, свойства степени"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}},{"problem_id":"6c531440-7fd2-474a-947a-abd5d8745a3d","collection_id":"71a1d2b0-ee5e-43f0-9770-6914dd7d0c2a","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"6c531440-7fd2-474a-947a-abd5d8745a3d","short_id":18122,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"В окружности проведены хорды \$AC\$ и \$BD\$, пересекающиеся в точке \$E\$, причем касательная к окружности, проходящая через точку \$A\$, параллельна \$BD\$. Известно, что \$CD:ED=3:2\$ и \$S_{\\triangle ABE}=8\$. Найти площадь треугольника \$ABC\$.","answer_text":"\$18\$","answer":"\$18\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm1997-03","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"43c3ff5b-b8c7-472a-aa58-848addf09b5b","code":"tag-66","name":"Вписанный угол, опирающийся на диаметр"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"aef2e6ef-328e-47a4-b00a-b42d8dfcad84","code":"tag-163","name":"Окружность и круг"}]}},{"problem_id":"2e8239a4-d484-494d-9f1d-91ab140b2a52","collection_id":"71a1d2b0-ee5e-43f0-9770-6914dd7d0c2a","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"2e8239a4-d484-494d-9f1d-91ab140b2a52","short_id":18123,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решить систему\n\\[\\begin{cases}|x+2|-2\\leqslant x,\\\\ \\left(2^{x+1}+2^{x-1}+2^{1-x}\\right)\\sin\\frac{\\pi x}{2}+\\cos(\\pi x)=3+2^{2x-1}.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$1\$","answer":"\$1\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm1997-03","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"}]}},{"problem_id":"e5c50ca5-bf66-4285-86be-bc13c1800e1f","collection_id":"71a1d2b0-ee5e-43f0-9770-6914dd7d0c2a","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"e5c50ca5-bf66-4285-86be-bc13c1800e1f","short_id":18124,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В кубе \$ABCDA_1B_1C_1D_1\$ длина ребра равна 1. Одна сфера радиуса \$\\frac{1}{4}\$ касается плоскости \$ABC\$ в точке \$A\$; другая сфера касается плоскости \$A_1B_1C_1\$ в точке \$E_1\$, лежащей на отрезке \$B_1C_1\$, причем \$B_1C_1:E_1C_1=2:1\$. Известно, что эти сферы касаются друг друга внешним образом и точка их касания лежит внутри куба. Найти расстояние от точки касания сфер до точки \$D\$.","answer_text":"\$\\sqrt{\\frac{73}{88}}\$","answer":"\$\\sqrt{\\frac{73}{88}}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm1997-03","year":1997},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"3b97625c-be8d-4f55-ad67-ea93390b646a","code":"tag-55","name":"Система шаров"},{"id":"a10bcfea-9448-4bdb-b69b-2dc377bcf4de","code":"tag-144","name":"Куб"},{"id":"ac363015-7c47-47f2-be45-7c955578a6ab","code":"tag-160","name":"Расстояние между точками"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]