Задача №18120

Решить неравенство

$${\log }_{(x-1)}\frac{x^2-x-6}{2x-8}⩽1.$$

Рассмотрим неравенство

$${\log }_{(x-1)}\frac{x^2-x-6}{2x-8}⩽1.$$

Область определения. Логарифм с переменным основанием определён, когда основание положительно и отлично от единицы, а выражение под знаком логарифма положительно. Обозначим основание $a=x-1$ и аргумент

$$t(x)=\frac{x^2-x-6}{2x-8}=\frac{(x-3)(x+2)}{2(x-4)}.$$

Тогда требуется

$$x-1>0,x-1\ne 1,t(x)>0,$$

то есть $x>1$ и $x\ne 2\text{.}$ Условие $t(x)>0$ учтём ниже при разборе случаев.

Идея. Запишем единицу как логарифм самого основания: $1={\log }_{(x-1)}(x-1)\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид

$${\log }_{(x-1)}t(x)⩽{\log }_{(x-1)}(x-1).$$

Направление перехода от логарифмов к их аргументам зависит от того, больше единицы основание или меньше. Поэтому разберём два случая: $0<x-1<1$ (то есть $1<x<2$) и $x-1>1$ (то есть $x>2$). Точка $x=2$ (основание равно $1$) из рассмотрения исключена.

Нам пригодится преобразование разности «аргумент минус основание». Приведём к общему знаменателю:

$$t(x)-(x-1)=\frac{x^2-x-6}{2x-8}-(x-1)=\frac{x^2-x-6-(x-1)(2x-8)}{2x-8}=\frac{-x^2+9x-14}{2x-8}=\frac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}.$$

Итак,

$$t(x)-(x-1)=\frac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Случай 1: $1<x<2$ (основание $0<x-1<1$). Сначала проверим знак аргумента. При $1<x<2$ числитель $(x-3)(x+2)$ равен произведению отрицательного и положительного множителей, значит он отрицателен; знаменатель $2(x-4)$ тоже отрицателен. Следовательно $t(x)>0$ на всём интервале $(1;2)$ — условие области определения выполнено.

Так как основание меньше единицы, функция $u\mapsto {\log }_{(x-1)}u$ убывает, поэтому неравенство между логарифмами равносильно противоположному неравенству между аргументами:

$${\log }_{(x-1)}t(x)⩽{\log }_{(x-1)}(x-1)⟺t(x)⩾x-1⟺t(x)-(x-1)⩾0.$$

Подставляя $(\ast )\text{,}$ получаем условие

$$\frac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}⩾0.$$

На интервале $1<x<2$ множители имеют знаки: $x-2<0\text{,}$ $x-7<0\text{,}$ $x-4<0\text{;}$ тогда числитель $-(x-2)(x-7)=-(+)<0$ (поскольку $(x-2)(x-7)>0$), а знаменатель $2(x-4)<0\text{.}$ Дробь есть частное двух отрицательных чисел, то есть положительна. Значит неравенство выполнено для всех $x\in (1;2)\text{.}$

Таким образом, в первом случае решением служит весь интервал $(1;2)\text{.}$

Случай 2: $x>2$ (основание $x-1>1$). Здесь функция $u\mapsto {\log }_{(x-1)}u$ возрастает, поэтому

$${\log }_{(x-1)}t(x)⩽{\log }_{(x-1)}(x-1)⟺t(x)⩽x-1,$$

причём отдельно требуется $t(x)>0\text{.}$ Объединяя, при $x>2$ надо решить систему

$$\{\begin{array}{l}t(x)>0,\\ t(x)-(x-1)⩽0.\end{array}$$

Определим знак аргумента $t(x)=\frac{(x-3)(x+2)}{2(x-4)}$ при $x>2\text{.}$ Нули числителя — точки $x=-2$ и $x=3\text{,}$ нуль знаменателя — $x=4\text{.}$ Для $x>2$ множитель $x+2>0\text{,}$ поэтому знак определяется дробью $\frac{x-3}{x-4}\text{:}$

Значит $t(x)>0$ на $(2;3)\cup (4;+\infty )\text{;}$ в точке $x=3$ аргумент равен нулю, а на $(3;4)$ он отрицателен — эти точки в область определения не входят. Точка $x=4$ исключена (знаменатель обращается в нуль).

Теперь второе условие $t(x)-(x-1)⩽0$ с учётом $(\ast )\text{:}$

$$\frac{-(x-2)(x-7)}{2(x-4)}⩽0.$$

Критические точки числителя и знаменателя: $x=2,x=4,x=7\text{.}$ Составим таблицу знаков для $x>2$ (множитель $x-2>0$ положителен всюду на $x>2\text{,}$ поэтому знак выражения совпадает со знаком $\frac{-(x-7)}{2(x-4)}$):

В точке $x=7$ выражение равно нулю, что удовлетворяет нестрогому неравенству $⩽0\text{.}$ Итак, неравенство $t(x)-(x-1)⩽0$ выполнено на $(2;4)\cup [7;+\infty )\text{.}$

Пересечём это с условием $t(x)>0\text{,}$ то есть с множеством $(2;3)\cup (4;+\infty )\text{:}$

$$((2;4)\cup [7;+\infty ))\cap ((2;3)\cup (4;+\infty ))=(2;3)\cup [7;+\infty ).$$

Таким образом, во втором случае решением служит $(2;3)\cup [7;+\infty )\text{.}$

Объединение случаев. Соединяя результаты обоих случаев (и помня про исключённую точку $x=2$), получаем

$$(1;2)\cup (2;3)\cup [7;+\infty ).$$

Проверка граничных точек.

• $x=2\text{:}$ основание $x-1=1$ недопустимо — точка исключена (разрыв между $(1;2)$ и $(2;3)$).
• $x=3\text{:}$ аргумент $t(3)=0$ недопустим — правый конец интервала $(2;3)$ открыт.
• $x=7\text{:}$ $t(7)=\frac{(7-3)(7+2)}{2(7-4)}=\frac{36}{6}=6\text{,}$ основание $7-1=6\text{,}$ и ${\log }_{6}6=1⩽1$ — равенство достигается, точка $x=7$ включена.
• $x=4\text{:}$ знаменатель аргумента обращается в нуль — точка не входит в область определения (и лежит в исключённом промежутке $(3;7)$).

Окончательный ответ:

$$\boxed{(1;2)\cup (2;3)\cup [7;+\infty )}.$$