Решить неравенство _((x-1))(x^2-x-6)/(2x-8) 1.

Рассмотрим неравенство _((x-1))(x^2-x-6)/(2x-8) 1. **Область определения.** Логарифм с переменным основанием определён, когда основание положительно и отлично от единицы, а выражение под знаком логарифма положительно. Обозначим основание a=x-1 и аргумент t(x)=(x^2-x-6)/(2x-8)=((x-3)(x+2))/(2(x-4)). Тогда требуется x-1>0, x-1!= 1, t(x)>0, то есть x>1 и x!= 2. Условие t(x)>0 учтём ниже при разборе случаев. **Идея.** Запишем единицу как логарифм самого основания: 1=_((x-1))(x-1). Тогда неравенство принимает вид _((x-1)) t(x) _((x-1))(x-1). Направление перехода от логарифмов к их аргументам зависит от того, больше единицы основание или меньше. Поэтому разберём два случая: 0<x-1<1 (то есть 1<x<2) и x-1>1 (то есть x>2). Точка x=2 (основание равно 1) из рассмотрения исключена. Нам пригодится преобразование разности «аргумент минус основание». Приведём к общему знаменателю: t(x)-(x-1)=(x^2-x-6)/(2x-8)-(x-1)=(x^2-x-6-(x-1)(2x-8))/(2x-8)=(-x^2+9x-14)/(2x-8)=(-(x-2)(x-7))/(2(x-4)). Итак, t(x)-(x-1)=(-(x-2)(x-7))/(2(x-4)).* **Случай 1: 1<x<2 (основание 0<x-1<1).** Сначала проверим знак аргумента. При 1<x<2 числитель (x-3)(x+2) равен произведению отрицательного и положительного множителей, значит он отрицателен; знаменатель 2(x-4) тоже отрицателен. Следовательно t(x)>0 на всём интервале (1;2) — условие области определения выполнено. Так как основание меньше единицы, функция u_((x-1))u убывает, поэтому неравенство между логарифмами равносильно противоположному неравенству между аргументами: _((x-1)) t(x) _((x-1))(x-1) t(x) x-1 t(x)-(x-1) 0. Подставляя (*), получаем условие (-(x-2)(x-7))/(2(x-4)) 0. На интервале 1<x<2 множители имеют знаки: x-2<0, x-7<0, x-4<0; тогда числитель -(x-2)(x-7)=-(+)<0 (поскольку (x-2)(x-7)>0), а знаменатель 2(x-4)<0. Дробь есть частное двух отрицательных чисел, то есть положительна. Значит неравенство выполнено для всех xin(1;2). Таким образом, в первом случае решением служит весь интервал (1;2). **Случай 2: x>2 (основание x-1>1).** Здесь функция u_((x-1))u возрастает, поэтому _((x-1)) t(x) _((x-1))(x-1) t(x) x-1, причём отдельно требуется t(x)>0. Объединяя, при x>2 надо решить систему cases t(x)>0, t(x)-(x-1) 0.cases Определим знак аргумента t(x)=((x-3)(x+2))/(2(x-4)) при x>2. Нули числителя — точки x=-2 и x=3, нуль знаменателя — x=4. Для x>2 множитель x+2>0, поэтому знак определяется дробью (x-3)/(x-4): | интервал | x-3 | x-4 | t(x) | |---|---|---|---| | (2;3) | - | - | + | | (3;4) | + | - | - | | (4;+inf) | + | + | + | Значит t(x)>0 на (2;3)U(4;+inf); в точке x=3 аргумент равен нулю, а на (3;4) он отрицателен — эти точки в область определения не входят. Точка x=4 исключена (знаменатель обращается в нуль). Теперь второе условие t(x)-(x-1) 0 с учётом (*): (-(x-2)(x-7))/(2(x-4)) 0. Критические точки числителя и знаменателя: x=2, x=4, x=7. Составим таблицу знаков для x>2 (множитель x-2>0 положителен всюду на x>2, поэтому знак выражения совпадает со знаком (-(x-7))/(2(x-4))): | интервал | x-7 | x-4 | (-(x-2)(x-7))/(2(x-4)) | |---|---|---|---| | (2;4) | - | - | - | | (4;7) | - | + | + | | (7;+inf) | + | + | - | В точке x=7 выражение равно нулю, что удовлетворяет нестрогому неравенству 0. Итак, неравенство t(x)-(x-1) 0 выполнено на (2;4)U[7;+inf). Пересечём это с условием t(x)>0, то есть с множеством (2;3)U(4;+inf): ((2;4)U[7;+inf))n((2;3)U(4;+inf))=(2;3)U[7;+inf). Таким образом, во втором случае решением служит (2;3)U[7;+inf). **Объединение случаев.** Соединяя результаты обоих случаев (и помня про исключённую точку x=2), получаем (1;2)U(2;3)U[7;+inf). **Проверка граничных точек.** - x=2: основание x-1=1 недопустимо — точка исключена (разрыв между (1;2) и (2;3)). - x=3: аргумент t(3)=0 недопустим — правый конец интервала (2;3) открыт. - x=7: t(7)=((7-3)(7+2))/(2(7-4))=(36)/(6)=6, основание 7-1=6, и _6 6=1 1 — равенство достигается, точка x=7 включена. - x=4: знаменатель аргумента обращается в нуль — точка не входит в область определения (и лежит в исключённом промежутке (3;7)). Окончательный ответ: (1;2)U(2;3)U[7;+inf).

\((1;2)\cup(2;3)\cup[7;+\infty)\)