Задача №18122

В окружности проведены хорды $AC$ и $BD\text{,}$ пересекающиеся в точке $E\text{,}$ причем касательная к окружности, проходящая через точку $A\text{,}$ параллельна $BD\text{.}$ Известно, что $CD:ED=3:2$ и $S_{△ABE}=8\text{.}$ Найти площадь треугольника $ABC\text{.}$

Обозначим хорды и точку их пересечения как в условии: $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E\text{,}$ а касательная к окружности в точке $A$ параллельна $BD\text{.}$

Шаг 1. Касательная в $A$ параллельна $BD$ даёт $AB=AD\text{.}$

Пусть $t$ — касательная к окружности в точке $A\text{.}$ По теореме об угле между касательной и хордой угол между $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB\text{,}$ то есть $\angle ADB\text{.}$ С другой стороны, так как $t\parallel BD\text{,}$ угол между $t$ и секущей $AB$ равен накрест лежащему углу $\angle ABD\text{.}$ Следовательно,

то есть треугольник $ABD$ равнобедренный и

(Геометрически это означает, что точка $A$ — середина дуги $BD\text{,}$ не содержащей $A$ образа; равные дуги $AB$ и $AD$ стягивают равные хорды.) Обозначим

Шаг 2. Подобие $△ABE\sim △DCE$ и вычисление $AE\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $DCE\text{,}$ образованные пересекающимися хордами. Углы $\angle AEB$ и $\angle DEC$ равны как вертикальные. Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC\text{,}$ поэтому

По двум углам $△ABE\sim △DCE\text{,}$ откуда соответственные стороны пропорциональны:

По условию $CD:ED=3:2\text{,}$ значит $\frac{DE}{DC}=\frac{2}{3}\text{,}$ и с учётом $AB=m$ получаем

Шаг 3. Подобие $△ABE\sim △ACB$ и вычисление $AC\text{.}$

Тангенциально-хордовый угол между касательной $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $\angle ACB$ (оба опираются на дугу $AB$). А так как $t\parallel BD\text{,}$ этот же угол равен углу между $BD$ и $AB\text{,}$ то есть $\angle ABD=\angle ABE\text{.}$ Поэтому

В треугольниках $ABE$ и $ACB$ угол $\angle A$ общий (это угол $\angle BAC$), а $\angle ABE=\angle ACB\text{.}$ Значит, по двум углам

откуда

Следовательно,

Шаг 4. Отношение площадей.

Треугольники $ABC$ и $ABE$ имеют общую вершину $B\text{,}$ а их основания $AC$ и $AE$ лежат на одной прямой $AC$ (точка $E$ — внутренняя точка хорды $AC$). Значит, высоты, опущенные из $B$ на эту прямую, у них одинаковы, и площади относятся как основания:

Тот же результат даёт коэффициент подобия из шага 3: $\frac{S_{△ACB}}{S_{△ABE}}={\left(\frac{AC}{AB}\right)}^2=\frac{AC}{AE}=\frac{9}{4}\text{.}$

Шаг 5. Ответ.

Поскольку $S_{△ABE}=8\text{,}$ получаем

Итак, площадь треугольника $ABC$ равна $\boxed{18}\text{.}$