В окружности проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке E, причем касательная к окружности, проходящая через точку A, параллельна BD. Известно, что CD:ED=3:2 и S_( ABE)=8. Найти площадь треугольника ABC.

Обозначим хорды и точку их пересечения как в условии: AC и BD пересекаются в точке E, а касательная к окружности в точке A параллельна BD. **Шаг 1. Касательная в A параллельна BD даёт AB=AD.** Пусть t — касательная к окружности в точке A. По теореме об угле между касательной и хордой угол между t и хордой AB равен вписанному углу, опирающемуся на дугу AB, то есть ADB. С другой стороны, так как t BD, угол между t и секущей AB равен накрест лежащему углу ABD. Следовательно, ABD= ADB, то есть треугольник ABD равнобедренный и AB=AD. (Геометрически это означает, что точка A — середина дуги BD, не содержащей A образа; равные дуги AB и AD стягивают равные хорды.) Обозначим m=AB=AD. **Шаг 2. Подобие ABE DCE и вычисление AE.** Рассмотрим треугольники ABE и DCE, образованные пересекающимися хордами. Углы AEB и DEC равны как вертикальные. Вписанные углы BAC и BDC опираются на одну и ту же дугу BC, поэтому BAE= BAC= BDC= CDE. По двум углам ABE DCE, откуда соответственные стороны пропорциональны: (AE)/(DE)=(AB)/(DC). По условию CD:ED=3:2, значит (DE)/(DC)=(2)/(3), и с учётом AB=m получаем AE=AB*(DE)/(DC)=m*(2)/(3)=(2m)/(3). **Шаг 3. Подобие ABE ACB и вычисление AC.** Тангенциально-хордовый угол между касательной t и хордой AB равен вписанному углу ACB (оба опираются на дугу AB). А так как t BD, этот же угол равен углу между BD и AB, то есть ABD= ABE. Поэтому ABE= ACB. В треугольниках ABE и ACB угол A общий (это угол BAC), а ABE= ACB. Значит, по двум углам ABE ACB, откуда (AE)/(AB)=(AB)/(AC) AB^2=AE* AC. Следовательно, AC=(AB^2)/(AE)=(m^2)/((2m)/(3))=(3m)/(2). **Шаг 4. Отношение площадей.** Треугольники ABC и ABE имеют общую вершину B, а их основания AC и AE лежат на одной прямой AC (точка E — внутренняя точка хорды AC). Значит, высоты, опущенные из B на эту прямую, у них одинаковы, и площади относятся как основания: (S_( ABC))/(S_( ABE))=(AC)/(AE)=((3m)/(2))/((2m)/(3))=(3m)/(2)*(3)/(2m)=(9)/(4). Тот же результат даёт коэффициент подобия из шага 3: (S_( ACB))/(S_( ABE))=((AC)/(AB))^2=(AC)/(AE)=(9)/(4). **Шаг 5. Ответ.** Поскольку S_( ABE)=8, получаем S_( ABC)=(9)/(4)* S_( ABE)=(9)/(4)* 8=18. Итак, площадь треугольника ABC равна 18.

\(18\)