Задача №18119

Решить уравнение

$$\sqrt{12\sin x+13}=3\sin x+2.$$

Решим уравнение

$$\sqrt{12\sin x+13}=3\sin x+2.$$

Удобно ввести замену $t=\sin x\text{,}$ где, очевидно, $t\in [-1,1]\text{.}$ Уравнение принимает вид

$$\sqrt{12t+13}=3t+2.$$

Область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$12t+13\ge 0⟺t\ge -\frac{13}{12}.$$

Поскольку $t=\sin x\ge -1>-\frac{13}{12}\text{,}$ это условие выполнено для всех значений $t$ из отрезка $[-1,1]\text{,}$ так что подкоренное выражение всегда положительно (его наименьшее значение равно $12\cdot (-1)+13=1$). Дополнительное ограничение даёт лишь правая часть.

Условие неотрицательности правой части. Левая часть как арифметический квадратный корень неотрицательна, поэтому равенство возможно только при

$$3t+2\ge 0⟺t\ge -\frac{2}{3}.$$

Это ограничение запомним: оно отсеет посторонние корни, появляющиеся при возведении в квадрат.

Возведение в квадрат. При условии $3t+2\ge 0$ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат равносильно:

$$12t+13=(3t+2{)}^2=9t^2+12t+4.$$

Сокращая слагаемое $12t$ в обеих частях, получаем

$$13=9t^2+4,9t^2=9,t^2=1,$$

откуда $t=1$ или $t=-1\text{.}$

Отбор корней. Проверим оба значения по условию неотрицательности правой части и непосредственной подстановкой:

Значение $t=-1$ появилось из-за возведения в квадрат и не удовлетворяет исходному уравнению (равенство неотрицательного корня и отрицательного числа невозможно). Остаётся единственное допустимое значение

$$\sin x=1.$$

Возврат к переменной $x\text{.}$ Уравнение $\sin x=1$ имеет серию решений

$$x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$\boxed{x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}}.$$