Решить уравнение sqrt(12sin x+13)=3sin x+2.

Решим уравнение sqrt(12sin x+13)=3sin x+2. Удобно ввести замену t=sin x , где, очевидно, tin[-1,1] . Уравнение принимает вид sqrt(12t+13)=3t+2. **Область допустимых значений.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 12t+13>= 0 t>=-(13)/(12). Поскольку t=sin x>= -1>-(13)/(12) , это условие выполнено для всех значений t из отрезка [-1,1], так что подкоренное выражение всегда положительно (его наименьшее значение равно 12*(-1)+13=1). Дополнительное ограничение даёт лишь правая часть. **Условие неотрицательности правой части.** Левая часть как арифметический квадратный корень неотрицательна, поэтому равенство возможно только при 3t+2>= 0 t>=-(2)/(3). Это ограничение запомним: оно отсеет посторонние корни, появляющиеся при возведении в квадрат. **Возведение в квадрат.** При условии 3t+2>= 0 обе части неотрицательны, и возведение в квадрат равносильно: 12t+13=(3t+2)^2=9t^2+12t+4. Сокращая слагаемое 12t в обеих частях, получаем 13=9t^2+4, 9t^2=9, t^2=1, откуда t=1 или t=-1 . **Отбор корней.** Проверим оба значения по условию неотрицательности правой части и непосредственной подстановкой: | t | левая часть sqrt(12t+13) | правая часть 3t+2 | вывод | |---|---|---|---| | t=1 | sqrt(25)=5 | 5 | равенство верно | | t=-1 | sqrt(1)=1 | -1 | правая часть отрицательна — посторонний корень | Значение t=-1 появилось из-за возведения в квадрат и не удовлетворяет исходному уравнению (равенство неотрицательного корня и отрицательного числа невозможно). Остаётся единственное допустимое значение sin x=1. **Возврат к переменной x .** Уравнение sin x=1 имеет серию решений x=(pi)/(2)+2pi k, kinZ. **Ответ:** x=(pi)/(2)+2pi k, kinZ.

\(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)