Решить систему cases|x+2|-2 x, (2^(x+1)+2^(x-1)+2^(1-x))sin(pi x)/(2)+cos(pi x)=3+2^(2x-1).cases

**Первое неравенство системы.** Раскроем модуль в неравенстве |x+2|-2 x. Если x -2, то |x+2|=x+2 и неравенство принимает вид (x+2)-2 x, то есть x x — верно при всех таких x. Если x<-2, то |x+2|=-(x+2) и получаем -(x+2)-2 x, то есть -x-4 x, откуда 2x -4, x -2 — что противоречит x<-2. Решений тут нет. Итак, первое неравенство равносильно условию x -2. Это область, в которой ищем корни второго уравнения. **Преобразование уравнения.** Обозначим t=2^(x)>0. Тогда 2^(x+1)=2t, 2^(x-1)=(t)/(2), 2^(1-x)=(2)/(t), 2^(2x-1)=(t^(2))/(2), и коэффициент при синусе равен 2^(x+1)+2^(x-1)+2^(1-x)=2t+(t)/(2)+(2)/(t)=(5t)/(2)+(2)/(t)=:C. Введём также обозначение s=sin(pi x)/(2). Используя формулу двойного угла cos(pi x)=1-2sin^(2)(pi x)/(2)=1-2s^(2), уравнение ((5t)/(2)+(2)/(t))s+(1-2s^(2))=3+(t^(2))/(2) превращается в квадратное относительно s: 2s^(2)-Cs+(2+(t^(2))/(2))=0. **Дискриминант оказывается полным квадратом.** Вычислим: D=C^(2)-8(2+(t^(2))/(2))=((5t)/(2)+(2)/(t))^(2)-16-4t^(2)=(9t^(2))/(4)-6+(4)/(t^(2))=((3t^(2)-4)^(2))/(4t^(2)) 0. Поэтому s=(C+-(|3t^(2)-4|)/(2t))/(4). Аккуратно раскрывая знак (результат одинаков при обоих знаках выражения 3t^(2)-4), получаем два корня: s_(1)=t=2^(x), s_(2)=(t)/(4)+(1)/(t)=(2^(x))/(4)+2^(-x). Можно проверить прямой подстановкой: исходное выражение раскладывается как 2s^(2)-Cs+(2+(t^(2))/(2))=2(s-t)(s-(t)/(4)-1t), так что sin(pi x)/(2) обязано равняться одному из чисел s_(1) или s_(2). **Разбор первой возможности sin(pi x)/(2)=2^(x).** Так как 2^(x)>0, нужно sin(pi x)/(2)>0, а значит и 2^(x) 1, то есть x 0. С учётом x -2 остаётся отрезок -2 x 0. Но на нём аргумент (pi x)/(2) лежит в [-pi,0], где синус неположителен: sin(pi x)/(2) 0. Тогда как 2^(x)>0. Равенство положительного и неположительного невозможно, поэтому эта ветвь решений не даёт. **Разбор второй возможности sin(pi x)/(2)=(t)/(4)+(1)/(t).** Оценим правую часть по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом: (t)/(4)+(1)/(t) 2sqrt((t)/(4)*(1)/(t))=2*(1)/(2)=1, причём равенство достигается лишь при (t)/(4)=(1)/(t), то есть t^(2)=4, t=2. Но sin(pi x)/(2) 1. Значит, равенство sin(pi x)/(2)=(t)/(4)+(1)/(t) возможно только тогда, когда обе части равны 1 одновременно: (t)/(4)+(1)/(t)=1 t=2 2^(x)=2 x=1, и при этом sin(pi* 1)/(2)=sin(pi)/(2)=1 — условие выполнено. Найденное x=1 удовлетворяет и первому неравенству системы (1 -2). **Проверка.** При x=1: sin(pi)/(2)=1, =-1, коэффициент C=2^(2)+2^(0)+2^(0)=4+1+1=6, правая часть 3+2^(1)=5. Левая часть: 6* 1+(-1)=5. Равенство верно, неравенство выполнено. **Ответ:** x=1.

\(1\)