Задача №18123

Решить систему

$$\{\begin{array}{l}|x+2|-2⩽x,\\ \left(2^{x+1}+2^{x-1}+2^{1-x}\right)\sin \frac{\pi x}{2}+\cos (\pi x)=3+2^{2x-1}.\end{array}$$

Первое неравенство системы.

Раскроем модуль в неравенстве $|x+2|-2⩽x\text{.}$

Если $x⩾-2\text{,}$ то $|x+2|=x+2$ и неравенство принимает вид $(x+2)-2⩽x\text{,}$ то есть $x⩽x$ — верно при всех таких $x\text{.}$

Если $x<-2\text{,}$ то $|x+2|=-(x+2)$ и получаем $-(x+2)-2⩽x\text{,}$ то есть $-x-4⩽x\text{,}$ откуда $2x⩾-4\text{,}$ $x⩾-2$ — что противоречит $x<-2\text{.}$ Решений тут нет.

Итак, первое неравенство равносильно условию

$$x⩾-2.$$

Это область, в которой ищем корни второго уравнения.

Преобразование уравнения.

Обозначим $t=2^x>0\text{.}$ Тогда

$$2^{x+1}=2t,2^{x-1}=\frac{t}{2},2^{1-x}=\frac{2}{t},2^{2x-1}=\frac{t^2}{2},$$

и коэффициент при синусе равен

$$2^{x+1}+2^{x-1}+2^{1-x}=2t+\frac{t}{2}+\frac{2}{t}=\frac{5t}{2}+\frac{2}{t}=:C.$$

Введём также обозначение $s=\sin \frac{\pi x}{2}\text{.}$ Используя формулу двойного угла

$$\cos (\pi x)=1-2{\sin }^2\frac{\pi x}{2}=1-2s^2,$$

уравнение

$$\left(\frac{5t}{2}+\frac{2}{t}\right)s+(1-2s^2)=3+\frac{t^2}{2}$$

превращается в квадратное относительно $s\text{:}$

$$2s^2-Cs+\left(2+\frac{t^2}{2}\right)=0.$$

Дискриминант оказывается полным квадратом. Вычислим:

$$D=C^2-8\left(2+\frac{t^2}{2}\right)={\left(\frac{5t}{2}+\frac{2}{t}\right)}^2-16-4t^2=\frac{9t^2}{4}-6+\frac{4}{t^2}=\frac{(3t^2-4{)}^2}{4t^2}⩾0.$$

Поэтому

$$s=\frac{C\pm \frac{|3t^2-4|}{2t}}{4}.$$

Аккуратно раскрывая знак (результат одинаков при обоих знаках выражения $3t^2-4$), получаем два корня:

$$s_1=t=2^x,s_2=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}=\frac{2^x}{4}+2^{-x}.$$

Можно проверить прямой подстановкой: исходное выражение раскладывается как

$$2s^2-Cs+\left(2+\frac{t^2}{2}\right)=2(s-t)\left(s-\frac{t}{4}-\frac{1}{t}\right),$$

так что $\sin \frac{\pi x}{2}$ обязано равняться одному из чисел $s_1$ или $s_2\text{.}$

Разбор первой возможности $\sin \frac{\pi x}{2}=2^x\text{.}$

Так как $2^x>0\text{,}$ нужно $\sin \frac{\pi x}{2}>0\text{,}$ а значит и $2^x⩽1\text{,}$ то есть $x⩽0\text{.}$ С учётом $x⩾-2$ остаётся отрезок $-2⩽x⩽0\text{.}$ Но на нём аргумент $\frac{\pi x}{2}$ лежит в $[-\pi ,0]\text{,}$ где синус неположителен: $\sin \frac{\pi x}{2}⩽0\text{.}$ Тогда как $2^x>0\text{.}$ Равенство положительного и неположительного невозможно, поэтому эта ветвь решений не даёт.

Разбор второй возможности $\sin \frac{\pi x}{2}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}\text{.}$

Оценим правую часть по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$$\frac{t}{4}+\frac{1}{t}⩾2\sqrt{\frac{t}{4}\cdot \frac{1}{t}}=2\cdot \frac{1}{2}=1,$$

причём равенство достигается лишь при $\frac{t}{4}=\frac{1}{t}\text{,}$ то есть $t^2=4\text{,}$ $t=2\text{.}$

Но $\sin \frac{\pi x}{2}⩽1\text{.}$ Значит, равенство $\sin \frac{\pi x}{2}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}$ возможно только тогда, когда обе части равны $1$ одновременно:

$$\frac{t}{4}+\frac{1}{t}=1⟹t=2⟹2^x=2⟹x=1,$$

и при этом $\sin \frac{\pi \cdot 1}{2}=\sin \frac{\pi }{2}=1$ — условие выполнено. Найденное $x=1$ удовлетворяет и первому неравенству системы ($1⩾-2$).

Проверка. При $x=1\text{:}$ $\sin \frac{\pi }{2}=1\text{,}$ $\cos \pi =-1\text{,}$ коэффициент $C=2^2+2^0+2^0=4+1+1=6\text{,}$ правая часть $3+2^1=5\text{.}$ Левая часть: $6\cdot 1+(-1)=5\text{.}$ Равенство верно, неравенство выполнено.

Ответ:

$$\boxed{x=1}.$$