Задача №18124

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ длина ребра равна 1. Одна сфера радиуса $\frac{1}{4}$ касается плоскости $ABC$ в точке $A\text{;}$ другая сфера касается плоскости $A_1{B}_1{C}_1$ в точке $E_1\text{,}$ лежащей на отрезке $B_1{C}_1\text{,}$ причем $B_1{C}_1:E_1{C}_1=2:1\text{.}$ Известно, что эти сферы касаются друг друга внешним образом и точка их касания лежит внутри куба. Найти расстояние от точки касания сфер до точки $D\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат, связанную с кубом: положим

Тогда нижняя грань (плоскость $ABC$) задаётся уравнением $z=0\text{,}$ а верхняя (плоскость $A_1{B}_1{C}_1$) — уравнением $z=1\text{.}$ Ребро куба равно $1\text{.}$

Первая сфера. Она имеет радиус $r_1=\frac{1}{4}$ и касается плоскости $z=0$ в точке $A=(0,0,0)\text{.}$ Касание плоскости в данной точке означает, что центр сферы лежит на перпендикуляре к плоскости, восставленном в точке касания, причём на расстоянии радиуса от плоскости. Перпендикуляр к плоскости $z=0$ в точке $A$ — это прямая, параллельная оси $Oz\text{.}$ Так как сфера должна располагаться внутри куба, центр берём над плоскостью:

Вторая сфера. Она касается плоскости $z=1$ в точке $E_1\text{,}$ лежащей на отрезке $B_1{C}_1\text{.}$ Точка $E_1$ делит ребро в отношении $B_1{E}_1:E_1{C}_1=2:1$ (то есть $E_1{C}_1=\frac{1}{3}{B}_1{C}_1$). Так как $B_1=(1,0,1)$ и $C_1=(1,1,1)\text{,}$

Обозначим радиус второй сферы через $r_2$ (он заранее не известен). Центр $O_2$ лежит на перпендикуляре к плоскости $z=1$ в точке $E_1\text{,}$ на расстоянии $r_2$ ниже этой плоскости (сфера внутри куба):

Условие внешнего касания. Две сферы касаются внешним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно сумме радиусов:

Вычислим квадрат расстояния:

Приравняв его к $(r_1+r_2{)}^2={\left(\frac{1}{4}+r_2\right)}^2\text{,}$ получаем уравнение

Раскроем квадраты:

Слагаемые $r_2^2$ сокращаются, и остаётся линейное уравнение:

Левая часть равна $1+\frac{4}{9}+\frac{8}{16}=1+\frac{4}{9}+\frac{1}{2}=\frac{18+8+9}{18}=\frac{35}{18}\text{.}$ Отсюда

Значит, центр второй сферы

и $r_1+r_2=\frac{1}{4}+\frac{35}{36}=\frac{9+35}{36}=\frac{44}{36}=\frac{11}{9}\text{,}$ что согласуется с $|O_1{O}_2|=\frac{11}{9}\text{.}$

Точка касания сфер. Точка касания $P$ лежит на отрезке $O_1{O}_2$ и делит его так, что $O_{1}P=r_1\text{.}$ Поэтому

Вектор $O_2-O_1=\left(1,\frac{2}{3},\frac{1}{36}-\frac{1}{4}\right)=\left(1,\frac{2}{3},-\frac{2}{9}\right)\text{.}$ Тогда

Все координаты точки $P$ лежат в интервале $(0,1)\text{,}$ поэтому точка касания действительно находится внутри куба, как и требуется по условию. Проверка: $O_{1}P=\left|\frac{9}{44}(O_2-O_1)\right|=\frac{9}{44}\cdot \frac{11}{9}=\frac{1}{4}=r_1$ и аналогично $O_{2}P=r_2\text{.}$

Искомое расстояние. Найдём расстояние от $P$ до вершины $D=(0,1,0)\text{:}$

Вычислим по слагаемым:

поэтому

Следовательно,