В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 длина ребра равна 1. Одна сфера радиуса (1)/(4) касается плоскости ABC в точке A; другая сфера касается плоскости A_1B_1C_1 в точке E_1, лежащей на отрезке B_1C_1, причем B_1C_1:E_1C_1=2:1. Известно, что эти сферы касаются друг друга внешним образом и точка их касания лежит внутри куба. Найти расстояние от точки касания сфер до точки D.

Введём прямоугольную систему координат, связанную с кубом: положим A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), A_1=(0,0,1), B_1=(1,0,1), C_1=(1,1,1), D_1=(0,1,1). Тогда нижняя грань (плоскость ABC) задаётся уравнением z=0, а верхняя (плоскость A_1B_1C_1) — уравнением z=1. Ребро куба равно 1. **Первая сфера.** Она имеет радиус r_1=14 и касается плоскости z=0 в точке A=(0,0,0). Касание плоскости в данной точке означает, что центр сферы лежит на перпендикуляре к плоскости, восставленном в точке касания, причём на расстоянии радиуса от плоскости. Перпендикуляр к плоскости z=0 в точке A — это прямая, параллельная оси Oz. Так как сфера должна располагаться внутри куба, центр берём над плоскостью: O_1=(0,0,14), r_1=14 . **Вторая сфера.** Она касается плоскости z=1 в точке E_1, лежащей на отрезке B_1C_1. Точка E_1 делит ребро в отношении B_1E_1:E_1C_1=2:1 (то есть E_1C_1=13 B_1C_1). Так как B_1=(1,0,1) и C_1=(1,1,1), E_1=B_1+23(C_1-B_1)=(1,23,1). Обозначим радиус второй сферы через r_2 (он заранее не известен). Центр O_2 лежит на перпендикуляре к плоскости z=1 в точке E_1, на расстоянии r_2 ниже этой плоскости (сфера внутри куба): O_2=(1,23,1-r_2). **Условие внешнего касания.** Две сферы касаются внешним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно сумме радиусов: |O_1O_2|=r_1+r_2 . Вычислим квадрат расстояния: |O_1O_2|^2=(1-0)^2+(23-0)^2+(1-r_2-14)^2 =1+49+(34-r_2)^2 . Приравняв его к (r_1+r_2)^2=(14+r_2)^2, получаем уравнение 1+49+(34-r_2)^2=(14+r_2)^2 . Раскроем квадраты: 1+49+(9)/(16)-32 r_2+r_2^2=(1)/(16)+12 r_2+r_2^2 . Слагаемые r_2^2 сокращаются, и остаётся линейное уравнение: 1+49+(9)/(16)-(1)/(16)=12 r_2+32 r_2=2r_2 . Левая часть равна 1+49+(8)/(16)=1+49+12=(18+8+9)/(18)=(35)/(18). Отсюда 2r_2=(35)/(18) r_2=(35)/(36). Значит, центр второй сферы O_2=(1,23,1-(35)/(36))=(1,23,(1)/(36)), и r_1+r_2=14+(35)/(36)=(9+35)/(36)=(44)/(36)=(11)/(9), что согласуется с |O_1O_2|=(11)/(9). **Точка касания сфер.** Точка касания P лежит на отрезке O_1O_2 и делит его так, что O_1P=r_1. Поэтому P=O_1+(r_1)/(r_1+r_2)(O_2-O_1), (r_1)/(r_1+r_2)=(1/4)/(11/9)=(9)/(44). Вектор O_2-O_1=(1, 23, (1)/(36)-14)=(1, 23, -29). Тогда P=(0,0,14)+(9)/(44)(1, 23, -29) =((9)/(44), (3)/(22), (1)/(4)-(1)/(22)) =((9)/(44), (3)/(22), (9)/(44)). Все координаты точки P лежат в интервале (0,1), поэтому точка касания действительно находится внутри куба, как и требуется по условию. Проверка: O_1P=|(9)/(44)(O_2-O_1)|=(9)/(44)*(11)/(9)=14=r_1 и аналогично O_2P=r_2. **Искомое расстояние.** Найдём расстояние от P до вершины D=(0,1,0): PD^2=((9)/(44)-0)^2+((3)/(22)-1)^2+((9)/(44)-0)^2. Вычислим по слагаемым: ((9)/(44))^2=(81)/(1936), ((3)/(22)-1)^2=(-(19)/(22))^2=(361)/(484)=(1444)/(1936), поэтому PD^2=(81)/(1936)+(1444)/(1936)+(81)/(1936)=(1606)/(1936)=(73)/(88). Следовательно, PD=sqrt((73)/(88))=(sqrt(1606))/(44).

\(\sqrt{\frac{73}{88}}\)