Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Мехмат МГУ (архив)
Считая x и y целыми числами, решить систему уравнений
{2x2−2xy+1=z⋅3y2−1,cos(5πz)=−1.Будем искать целые x,y и число z, удовлетворяющие системе
{2x2−2xy+1=z⋅3y2−1,cos(5πz)=−1.Шаг 1. Знак и вид величины z.
Так как x,y целые, показатели x2−2xy+1 и y2−1 — целые числа. Левая часть первого уравнения есть степень двойки 2x2−2xy+1, а это положительное число при любом целом показателе. Поэтому
z=3y2−12x2−2xy+1>0.Сразу отметим важное следствие: значение z не может быть отрицательным. В частности, z=−1 невозможно, потому что тогда правая часть первого уравнения z⋅3y2−1 была бы отрицательной, а левая 2x2−2xy+1 — положительной.
Шаг 2. Расшифровка второго уравнения.
Равенство cos(5πz)=−1 выполнено тогда и только тогда, когда
5πz=π+2πk=π(2k+1),k∈Z,то есть когда 5z — нечётное целое число.
Подставим сюда найденное в шаге 1 выражение для z:
5z=3q5⋅2p,где p=x2−2xy+1,q=y2−1.Это число должно быть нечётным целым.
Шаг 3. Из условия «5z — нечётное целое» получаем p=0 и q=0.
Рассмотрим разложение 5z=3q5⋅2p на простые множители.
Показатель двойки в этом числе равен p. Чтобы 5z было целым, в знаменателе не должно остаться двоек, значит p⩾0; чтобы оно было нечётным, двоек не должно быть и в числителе, значит p⩽0. Следовательно
p=x2−2xy+1=0.(Если p>0, число 5z делилось бы на 2 и было бы чётным; если p<0, оно не было бы целым.)
Теперь о тройке. Множитель 5 на 3 не делится, степень двойки тоже взаимно проста с тройкой, поэтому чтобы 5z=3q5 (с учётом p=0) было целым, необходимо q⩽0. Покажем, что фактически q=0: это вытекает из того, что уравнение p=0 однозначно задаёт x,y, а через них и q.
Шаг 4. Решение уравнения x2−2xy+1=0 в целых числах.
Перепишем его как x2+1=2xy. Левая часть делится на x только если x делит x2+1; поскольку x делит x2, отсюда x делит 1, то есть x=±1.
Других целых решений нет. (Это же даёт прямая проверка дискриминантом: из x2−2xy+1=0 имеем y=2xx2+1, и дробь целая лишь при x=±1.)
В обоих случаях
q=y2−1=1−1=0,условие q⩽0 выполнено, и
z=3020=1.Шаг 5. Проверка.
Подставим обе найденные тройки в исходную систему.
Для (x,y,z)=(1,1,1): показатель x2−2xy+1=1−2+1=0, показатель y2−1=0, первое уравнение даёт 20=1⋅30, то есть 1=1 — верно; второе: cos(5π⋅1)=cos5π=−1 — верно.
Для (x,y,z)=(−1,−1,1): показатель x2−2xy+1=1−2+1=0, показатель y2−1=0, первое уравнение 20=1⋅30, то есть 1=1 — верно; второе: cos(5π⋅1)=−1 — верно.
Обе тройки подходят, посторонних решений нет.
Ответ:
(x;y;z)=(1;1;1)и(x;y;z)=(−1;−1;1).Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.