Считая x и y целыми числами, решить систему уравнений cases2^(x^2-2xy+1)=z* 3^(y^2-1), cos(5pi z)=-1.cases

Будем искать целые x,y и число z, удовлетворяющие системе cases2^(x^2-2xy+1)=z* 3^(y^2-1), cos(5pi z)=-1.cases **Шаг 1. Знак и вид величины z.** Так как x,y целые, показатели x^2-2xy+1 и y^2-1 — целые числа. Левая часть первого уравнения есть степень двойки 2^(x^2-2xy+1), а это положительное число при любом целом показателе. Поэтому z=(2^(x^2-2xy+1))/(3^(y^2-1))>0. Сразу отметим важное следствие: значение z не может быть отрицательным. В частности, z=-1 невозможно, потому что тогда правая часть первого уравнения z* 3^(y^2-1) была бы отрицательной, а левая 2^(x^2-2xy+1) — положительной. **Шаг 2. Расшифровка второго уравнения.** Равенство cos(5pi z)=-1 выполнено тогда и только тогда, когда 5pi z=pi+2pi k=pi(2k+1), kinZ, то есть когда 5z — нечётное целое число. Подставим сюда найденное в шаге 1 выражение для z: 5z=(5* 2^(p))/(3^(q)), где p=x^2-2xy+1, q=y^2-1. Это число должно быть нечётным целым. **Шаг 3. Из условия «5z — нечётное целое» получаем p=0 и q=0.** Рассмотрим разложение 5z=(5* 2^(p))/(3^(q)) на простые множители. Показатель двойки в этом числе равен p. Чтобы 5z было целым, в знаменателе не должно остаться двоек, значит p 0; чтобы оно было нечётным, двоек не должно быть и в числителе, значит p 0. Следовательно p=x^2-2xy+1=0. (Если p>0, число 5z делилось бы на 2 и было бы чётным; если p<0, оно не было бы целым.) Теперь о тройке. Множитель 5 на 3 не делится, степень двойки тоже взаимно проста с тройкой, поэтому чтобы 5z=(5)/(3^(q)) (с учётом p=0) было целым, необходимо q 0. Покажем, что фактически q=0: это вытекает из того, что уравнение p=0 однозначно задаёт x,y, а через них и q. **Шаг 4. Решение уравнения x^2-2xy+1=0 в целых числах.** Перепишем его как x^2+1=2xy. Левая часть делится на x только если x делит x^2+1; поскольку x делит x^2, отсюда x делит 1, то есть x=+- 1. - При x=1: 1+1=2* 1* y=> y=1. - При x=-1: 1+1=2*(-1)* y=> y=-1. Других целых решений нет. (Это же даёт прямая проверка дискриминантом: из x^2-2xy+1=0 имеем y=(x^2+1)/(2x), и дробь целая лишь при x=+-1.) В обоих случаях q=y^2-1=1-1=0, условие q 0 выполнено, и z=(2^(0))/(3^(0))=1. **Шаг 5. Проверка.** Подставим обе найденные тройки в исходную систему. Для (x,y,z)=(1,1,1): показатель x^2-2xy+1=1-2+1=0, показатель y^2-1=0, первое уравнение даёт 2^(0)=1* 3^(0), то есть 1=1 — верно; второе: cos(5pi* 1)=cos 5pi=-1 — верно. Для (x,y,z)=(-1,-1,1): показатель x^2-2xy+1=1-2+1=0, показатель y^2-1=0, первое уравнение 2^(0)=1* 3^(0), то есть 1=1 — верно; второе: cos(5pi* 1)=-1 — верно. Обе тройки подходят, посторонних решений нет. **Ответ:** (x;y;z)=(1;1;1) и (x;y;z)=(-1;-1;1). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\((1;1;1),\ (-1;-1;1)\)