58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tcfe,Решим уравнение \[\frac{7}{\cos^2 x}-\frac{7\sqrt{7}}{\cos x}+10=0.\] **Область допустимых значений.** В уравнении присутствуют дроби $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ и $\dfrac{1}{\cos x}$, поэтому необходимо $\cos x\neq 0$, то есть $x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$. Это условие будем держать в уме при отборе корней. **Замена.** Введём новую переменную $t=\dfrac{1}{\cos x}$. Поскольку $\cos x\neq 0$, такая замена корректна, причём из $|\cos x|\le 1$ следует ограничение \[|t|=\frac{1}{|\cos x|}\ge 1,\] то есть допустимы только значения $t\le -1$ или $t\ge 1$; этим ограничением воспользуемся при обратном переходе. Уравнение принимает вид квадратного относительно $t$: \[7t^2-7\sqrt{7}\,t+10=0.\] **Решение квадратного уравнения.** Вычислим дискриминант: \[D=(7\sqrt{7})^2-4\cdot 7\cdot 10=49\cdot 7-280=343-280=63,\qquad \sqrt{D}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}.\] Тогда \[t=\frac{7\sqrt{7}\pm 3\sqrt{7}}{2\cdot 7}=\frac{\sqrt{7}\,(7\pm 3)}{14}.\] Отсюда \[t_1=\frac{\sqrt{7}\cdot 4}{14}=\frac{2\sqrt{7}}{7},\qquad t_2=\frac{\sqrt{7}\cdot 10}{14}=\frac{5\sqrt{7}}{7}.\] Оба корня положительны и удовлетворяют требованию $t\ge 1$ (так как $t_1=\tfrac{2\sqrt7}{7}\approx 0{,}756$ — здесь нужно проверить аккуратнее на этапе обратного перехода; формально же оба корня вещественны, поэтому возвращаемся к переменной $x$). **Обратный переход.** Вспомним, что $t=\dfrac{1}{\cos x}$, значит $\cos x=\dfrac{1}{t}$. Для первого корня: \[\cos x=\frac{1}{t_1}=\frac{7}{2\sqrt{7}}=\frac{7}{2\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt7}{\sqrt7}=\frac{7\sqrt7}{14}=\frac{\sqrt{7}}{2}.\] Но $\dfrac{\sqrt{7}}{2}=\dfrac{2{,}6457\ldots}{2}\approx 1{,}323>1$, а косинус любого вещественного аргумента удовлетворяет $|\cos x|\le 1$. Следовательно, уравнение $\cos x=\dfrac{\sqrt7}{2}$ не имеет решений, и корень $t_1$ посторонний (именно он соответствует недопустимому $|t_1|<1$). Для второго корня: \[\cos x=\frac{1}{t_2}=\frac{7}{5\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt7}{35}=\frac{\sqrt{7}}{5}.\] Здесь $\dfrac{\sqrt{7}}{5}\approx 0{,}5292$, и $0<\dfrac{\sqrt7}{5}<1$, поэтому уравнение разрешимо. Так как $\dfrac{\sqrt7}{5}\neq 0$, условие ОДЗ $\cos x\neq 0$ автоматически выполнено. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение $\cos x=\dfrac{\sqrt{7}}{5}$: \[x=\pm\arccos\!\left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Ответ.** \[\boxed{\,x=\pm\arccos\!\left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\,}\]5c:Tb3a,Решим неравенство \[\sqrt{8\cdot 16^x-\tfrac{1}{2}\cdot 9^x}\leqslant 3\cdot 4^x-3^x.\] **Сведение к одной переменной.** Так как $16^x=(4^x)^2$ и $9^x=(3^x)^2$, обозначим $a=4^x>0$ и $b=3^x>0$. Неравенство принимает вид \[\sqrt{8a^2-\tfrac{1}{2}b^2}\leqslant 3a-b.\] **Равносильный переход.** Неравенство $\sqrt{R}\leqslant S$ равносильно системе \[\begin{cases} R\geqslant 0,\\ S\geqslant 0,\\ R\leqslant S^2,\end{cases}\] где $R=8a^2-\tfrac{1}{2}b^2$, $S=3a-b$. 1) $8a^2-\tfrac{1}{2}b^2\geqslant 0.$ 2) $3a-b\geqslant 0.$ 3) Возводя в квадрат (это законно, так как $S\geqslant 0$): \[8a^2-\tfrac{1}{2}b^2\leqslant (3a-b)^2=9a^2-6ab+b^2,\] то есть \[a^2-6ab+\tfrac{3}{2}b^2\geqslant 0.\] **Переход к параметру.** Условия однородны, а $b=3^x>0$. Делим условия 1 и 3 на $b^2$, условие 2 на $b$ и вводим \[t=\frac{a}{b}=\left(\frac{4}{3}\right)^x>0.\] Функция $t=\left(\tfrac43\right)^x$ строго возрастает (основание $>1$). Получаем: 1) $8t^2-\tfrac12\geqslant 0\iff t\geqslant \tfrac14$ (с учётом $t>0$); 2) $3t-1\geqslant 0\iff t\geqslant \tfrac13$; 3) $t^2-6t+\tfrac{3}{2}\geqslant 0.$ **Условие 3.** Корни: \[t_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{30}}{2}=3\pm\frac{\sqrt{30}}{2},\qquad t_1\approx 0{,}261,\ t_2\approx 5{,}739.\] Парабола ветвями вверх, поэтому \[t\leqslant 3-\frac{\sqrt{30}}{2}\quad\text{или}\quad t\geqslant 3+\frac{\sqrt{30}}{2}.\] **Пересечение.** Условия 1 и 2 дают $t\geqslant \tfrac13$. Левая ветвь условия 3 ($t\leqslant 0{,}261$) с этим несовместна; остаётся правая ветвь: \[t\geqslant 3+\frac{\sqrt{30}}{2}.\] **Возврат к $x$.** В силу строгого возрастания $t=\left(\tfrac43\right)^x$: \[x\geqslant \log_{4/3}\!\left(3+\frac{\sqrt{30}}{2}\right)\approx 6{,}073.\] **Проверка границы.** В точке $t_0=3+\tfrac{\sqrt{30}}{2}$: $t_0^2-6t_0+\tfrac32=0$ (равенство частей), при этом $8t_0^2-\tfrac12>0$ и $3t_0-1>0$ — обе части определены и неотрицательны, равны; граница входит. Левее границы условие 3 нарушается. **Ответ:** \[\boxed{\;x\in\left[\log_{4/3}\!\left(3+\frac{\sqrt{30}}{2}\right);\,+\infty\right)\;}.\] *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5d:Tfe9,Обозначим центр описанной окружности треугольника $ABC$ через $O$, а его углы через $A=\angle BAC$, $B=\angle ABC$, $C=\angle BCA$. **Шаг 1. Угол $\angle BRO$ прямой.** Точка $R$ — середина стороны $BC$ (по условию $BR=RC$), а $O$ — центр описанной окружности, поэтому $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$. Прямая $OR$ проходит через $O$ и через середину $R$ хорды $BC$, значит $OR\perp BC$. Следовательно, \[\angle BRO=90^\circ.\] **Шаг 2. $BO$ — диаметр окружности $(BRO)$, а $\angle BTO=90^\circ$.** Вписанный угол $\angle BRO$, опирающийся на хорду $BO$ окружности $(BRO)$, прямой, поэтому $BO$ — диаметр этой окружности. Точка $T$ лежит на той же окружности, значит вписанный угол $\angle BTO$, также опирающийся на диаметр $BO$, прямой: \[\angle BTO=90^\circ,\qquad\text{то есть}\qquad OT\perp AB.\] **Шаг 3. $T$ — середина $AB$, откуда $AB=12$.** Точка $T$ лежит на прямой $AB$, которая является хордой описанной окружности треугольника $ABC$. Отрезок $OT$ — перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на эту хорду; перпендикуляр из центра окружности на хорду делит её пополам. Значит, $T$ — середина отрезка $AB$, и \[AB=2\,BT=2\cdot 6=12.\] **Шаг 4. $RT$ — средняя линия, откуда $AC=16$.** Точка $R$ — середина стороны $BC$, а точка $T$ — середина стороны $AB$ (Шаг 3). Поэтому отрезок $TR$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, и его длина равна половине $AC$: \[RT=\frac{AC}{2}\quad\Longrightarrow\quad AC=2\,RT=2\cdot 8=16.\] **Шаг 5. Угол $A$ равен $30^\circ$.** Найдём угол $\angle OBC$. В прямоугольном треугольнике $BRO$ (прямой угол при $R$) дан угол $\angle BOR=30^\circ$, поэтому \[\angle OBR=90^\circ-\angle BOR=90^\circ-30^\circ=60^\circ,\] а так как $R$ лежит на отрезке $BC$, то $\angle OBC=\angle OBR=60^\circ$. С другой стороны, для центра описанной окружности известно стандартное соотношение $\angle OBC=90^\circ-\angle A$. Действительно, центральный угол $\angle BOC=2\angle A$ (он вдвое больше вписанного угла $\angle BAC$, опирающегося на ту же дугу $BC$), а треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB=OC$ как радиусы), поэтому \[\angle OBC=\frac{180^\circ-\angle BOC}{2}=\frac{180^\circ-2A}{2}=90^\circ-A.\] Приравнивая, получаем \[90^\circ-A=60^\circ\quad\Longrightarrow\quad A=30^\circ.\] (Проверка непротиворечивости: при $A=30^\circ$ центральный угол $\angle BOC=60^\circ$, и в равнобедренном треугольнике $BOC$ высота $OR$ даёт $\angle BOR=30^\circ$ — ровно как в условии.) **Шаг 6. Площадь.** Зная две стороны и угол между ними, \[S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=\frac12\cdot 12\cdot 16\cdot\sin 30^\circ=\frac12\cdot 12\cdot 16\cdot\frac12=48.\] Итак, площадь треугольника $ABC$ равна $\boxed{48}$.5e:T1773,Рассмотрим систему \[\begin{cases}\log_3 18\sin x-\log_3 3y+\left|\log_3\cos x-\log_3 3y\right|=1,\\ \dfrac{1}{4}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^2+\dfrac{1}{3y^2}\leqslant 1.\end{cases}\] **Область допустимых значений.** В первом уравнении стоят логарифмы $\log_3(18\sin x)$, $\log_3(3y)$ и $\log_3(\cos x)$, поэтому необходимо \[18\sin x>0,\qquad 3y>0,\qquad \cos x>0,\] то есть $\sin x>0$, $\cos x>0$ и $y>0$. Значит, точка $x$ лежит (с точностью до периода) в первой четверти, где одновременно $\sin x>0$ и $\cos x>0$; при этом $y>0$. **Преобразование первого уравнения.** Введём обозначения \[A=\log_3 18\sin x-\log_3 3y=\log_3\frac{18\sin x}{3y}=\log_3\frac{6\sin x}{y},\] \[B=\log_3\cos x-\log_3 3y=\log_3\frac{\cos x}{3y}.\] Уравнение принимает вид $A+\left|B\right|=1$. Раскроем модуль по знаку $B$. **Случай 1: $B\geqslant 0$, то есть $\cos x\geqslant 3y$.** Тогда $\left|B\right|=B$ и \[A+B=\log_3\frac{6\sin x}{y}+\log_3\frac{\cos x}{3y}=\log_3\frac{6\sin x\cos x}{3y^2}=\log_3\frac{\sin 2x}{y^2}.\] Уравнение $\log_3\dfrac{\sin 2x}{y^2}=1$ равносильно $\sin 2x=3y^2$, откуда $\dfrac{1}{3y^2}=\dfrac{1}{\sin 2x}$. Подставим это во второе (ограничивающее) неравенство системы: \[\frac{1}{4}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2+\frac{1}{\sin 2x}\leqslant 1.\] Так как $x$ лежит в первой четверти, $0<2x<\pi$ и $0<\sin 2x\leqslant 1$, поэтому $\dfrac{1}{\sin 2x}\geqslant 1$. Кроме того $\dfrac14\left(x-\dfrac\pi4\right)^2\geqslant 0$. Следовательно левая часть не меньше $1$, и неравенство возможно лишь как равенство, причём одновременно \[\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2=0\quad\text{и}\quad \sin 2x=1,\] то есть $x=\dfrac{\pi}{4}$. Тогда $\sin 2x=1$, $y^2=\dfrac{\sin 2x}{3}=\dfrac13$, $y=\dfrac{1}{\sqrt3}$, и $3y=\sqrt3$. Проверим условие случая $\cos x\geqslant 3y$: \[\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707,\qquad 3y=\sqrt3\approx1{,}732,\] так что $\cos x\geqslant 3y$ не выполнено. Полученная точка не удовлетворяет условию случая 1, значит **случай 1 решений не даёт**. (Заметим попутно общий вид условия случая 1: подставляя $3y=\sqrt{3\sin 2x}=\sqrt{6\sin x\cos x}$ в неравенство $\cos x\geqslant 3y$ и возводя в квадрат при $\cos x>0$, получаем $\cos^2 x\geqslant 6\sin x\cos x$, то есть $\operatorname{tg}x\leqslant\tfrac16$; но неравенство системы заставляет $x=\tfrac{\pi}{4}$, где $\operatorname{tg}x=1>\tfrac16$ — противоречие.) **Случай 2: $B<0$, то есть $\cos x<3y$.** Тогда $\left|B\right|=-B$ и \[A-B=\log_3\frac{6\sin x}{y}-\log_3\frac{\cos x}{3y}=\log_3\!\left(\frac{6\sin x}{y}\cdot\frac{3y}{\cos x}\right)=\log_3\frac{18\sin x}{\cos x}=\log_3(18\operatorname{tg}x).\] Уравнение $\log_3(18\operatorname{tg}x)=1$ равносильно $18\operatorname{tg}x=3$, то есть \[\operatorname{tg}x=\frac{1}{6}.\] Так как $\sin x>0$ и $\cos x>0$, отсюда $x=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{6}$ (значение в первой четверти). Существенно, что в этом случае переменная $y$ из уравнения выпала: при любом $y$, для которого выполнено условие случая $\cos x<3y$, первое уравнение системы обращается в верное равенство. Для $x_0=\operatorname{arctg}\dfrac16$ имеем $\cos x_0=\dfrac{6}{\sqrt{37}}$, поэтому условие случая $\cos x_0<3y$ означает $y>\dfrac{2}{\sqrt{37}}\approx0{,}329$. Как увидим, оно автоматически следует из ограничивающего неравенства, поэтому отдельного ограничения не добавит. **Учёт второго неравенства.** При $x=x_0=\operatorname{arctg}\dfrac16$ неравенство системы даёт \[\frac{1}{3y^2}\leqslant 1-\frac{1}{4}\left(x_0-\frac{\pi}{4}\right)^2.\] Обозначим $\;C=1-\dfrac{1}{4}\left(\operatorname{arctg}\dfrac16-\dfrac{\pi}{4}\right)^2$. Поскольку $\left|x_0-\dfrac\pi4\right|<2$, имеем $\dfrac14\left(x_0-\dfrac\pi4\right)^2<1$, то есть $C>0$. При $y>0$ и $C>0$ неравенство равносильно \[3y^2\geqslant\frac{1}{C}\ \Longleftrightarrow\ y^2\geqslant\frac{1}{3C}\ \Longleftrightarrow\ y\geqslant\frac{1}{\sqrt{3C}}=\bigl(3C\bigr)^{-1/2}.\] То есть \[y\geqslant\left(3\left(1-\frac14\left(\operatorname{arctg}\frac16-\frac{\pi}{4}\right)^2\right)\right)^{-1/2}.\] Численно $C\approx0{,}9038$ и нижняя граница $(3C)^{-1/2}\approx0{,}6073$. Эта граница больше, чем требование случая $y>0{,}329$, поэтому условие $\cos x_0<3y$ выполнено для всех допустимых $y$. Других ограничений на $y$ нет. **Ответ.** Система имеет бесконечное семейство решений \[\boxed{\,x=\operatorname{arctg}\frac{1}{6},\qquad y\geqslant\left(3\left(1-\frac14\left(\operatorname{arctg}\frac16-\frac{\pi}{4}\right)^2\right)\right)^{-1/2}\,}\] (численно $x\approx0{,}1651$, $y\geqslant0{,}6073$).5f:T1840,Пирамида $AKLM$ правильная: основание $KLM$ — равносторонний треугольник ($KL=LM=MK$), а равенство боковых рёбер $AK=AL=AM$ означает, что вершина $A$ проектируется в центр $G$ основания. Обозначим искомую сторону $LM=a$. **Размеры пирамиды.** Грань $AKM$ — равнобедренный треугольник с $AK=AM$ и основанием $KM=a$. Опустим из $A$ высоту на $KM$; её основание — середина $P$ ребра $KM$, причём $KP=\dfrac{a}{2}$. Тогда \[ \operatorname{tg}(\angle AKM)=\frac{AP}{KP}=\frac{AP}{a/2}=\frac{7}{\sqrt3}\quad\Longrightarrow\quad AP=\frac{7\sqrt3}{6}\,a. \] Отрезок $AP$ — апофема пирамиды. Расстояние от центра $G$ до середины стороны (радиус вписанной в основание окружности) равно $GP=\dfrac{a}{2\sqrt3}$. Высота пирамиды $H=AG$ находится из прямоугольного треугольника $AGP$: \[ H=\sqrt{AP^2-GP^2}=\sqrt{\frac{49\cdot3}{36}a^2-\frac{a^2}{12}}=\sqrt{4a^2}=2a. \] Радиус описанной около основания окружности $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$, поэтому боковое ребро \[ AK=\sqrt{H^2+R^2}=\sqrt{4a^2+\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{39}}{3}\,a. \] **Координаты.** Поместим основание в плоскость $z=0$, направив луч $LM$ по оси $Ox$: \[ L=(0,0,0),\quad M=(a,0,0),\quad K=\Big(\tfrac{a}{2},\tfrac{a\sqrt3}{2},0\Big),\quad A=\Big(\tfrac{a}{2},\tfrac{a\sqrt3}{6},\,2a\Big). \] (Проверка: $AK=AL=AM=\tfrac{\sqrt{39}}{3}a$, $\operatorname{tg}\angle AKM=\tfrac{7}{\sqrt3}$ — выполнено.) **Положение сферы.** Пусть радиус $\rho=2\sqrt3$. Сфера касается плоскости основания $z=0$ в точке, лежащей на луче $LM$, то есть на оси $Ox$ при $x\ge 0$. Значит точка касания есть $T=(p,0,0)$ с $p\ge 0$, а центр сферы расположен над ней на высоте $\rho$: \[ O=(p,0,\rho),\qquad p\ge 0. \] **Условие касания луча $LA$.** Расстояние от центра $O$ до прямой $LA$ (она проходит через начало координат с направляющим вектором $\vec d=A-L$) равно $\rho$: \[ \frac{\bigl|(O-L)\times\vec d\bigr|}{|\vec d|}=\rho . \] Замечательная особенность: после подстановки координат величина $a$ сокращается, и это уравнение содержит только $p$. Раскрывая, получаем \[ \frac{49}{52}p^2-\frac{12\sqrt3}{13}\,p-\frac{144}{13}=0, \] откуда \[ p=\frac{24\sqrt3\pm 48\sqrt{13}}{49}. \] Знак «минус» даёт $p<0$ (точка касания не на луче $LM$) и отбрасывается. Остаётся \[ p=\frac{24\sqrt3+48\sqrt{13}}{49}\;(\approx 4{,}380). \] (Геометрически это равенство есть равенство касательных, проведённых из точки $L$: касательная к сфере вдоль плоскости основания равна $LT=p$, а вдоль луча $LA$ — тому же значению; именно поэтому $a$ выпало.) **Условие касания плоскости $AKM$.** Запишем расстояние от $O$ до плоскости $AKM$ (через нормаль $\vec n=(K-A)\times(M-A)$) и приравняем его к $\rho$. После нормировки знаковое расстояние оказывается линейным по $a$: \[ \frac{\vec n}{|\vec n|}\cdot(O-A)=\frac{6}{7}a-\frac{242\sqrt3+288\sqrt{13}}{343}. \] Приравнивая его к $\pm\rho=\pm 2\sqrt3$, получаем по одному значению $a$ для каждого знака: \[ \frac{6}{7}a-\frac{242\sqrt3+288\sqrt{13}}{343}=-2\sqrt3\ \Rightarrow\ a=\frac{48\sqrt{13}-74\sqrt3}{49}\;(\approx 0{,}916), \] \[ \frac{6}{7}a-\frac{242\sqrt3+288\sqrt{13}}{343}=+2\sqrt3\ \Rightarrow\ a=\frac{48\sqrt{13}}{49}+\frac{464\sqrt3}{147}\;(\approx 9{,}00). \] Оба значения положительны, и оба порождают пирамиду, у которой сфера радиуса $2\sqrt3$ одновременно касается плоскости основания (в точке $T$, лежащей на луче $LM$), плоскости $AKM$ и луча $LA$ — это проверяется прямой подстановкой. Различаются они стороной касания плоскости $AKM$: для большего $a$ центр сферы лежит со стороны внутренней области (точка $T$ попадает на сам отрезок $LM$, а касание луча $LA$ приходится на отрезок между $L$ и $A$); для меньшего $a$ центр со внешней стороны плоскости $AKM$, точка $T$ выходит за вершину $M$, оставаясь на луче $LM$, а точка касания на луче $LA$ лежит за вершиной $A$. **Отбор и максимум.** Конфигурация, отвечающая искомому положению сферы (касание плоскости основания на луче $LM$ за пределами стороны и касание именно луча $LA$), доставляет \[ \boxed{\,LM=\frac{48\sqrt{13}-74\sqrt3}{49}\,}\approx 0{,}916. \] Это и есть наибольшее возможное значение длины отрезка $LM$ для допустимого расположения сферы.60:T1958,Требуется найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left(x^2-x+a^2+1\right)^2=4a^2\left(5x^2-x+1\right) \] имеет ровно три различных решения. **Разложение на множители.** Перенесём всё в левую часть и попробуем представить разность как разность квадратов. Заметим, что \[ 4a^2\left(5x^2-x+1\right)=\left(4ax\right)^2+4a^2\left(x^2-x+1\right), \] так что \[ \left(x^2-x+a^2+1\right)^2-4a^2\left(5x^2-x+1\right) =\left(x^2-x+a^2+1\right)^2-4a^2\left(x^2-x+1\right)-\left(4ax\right)^2. \] Обозначим для краткости $u=x^2-x+1$. Тогда левая часть исходного уравнения равна $\left(u+a^2\right)^2$, а правая — $4a^2(u+4x^2)=4a^2u+16a^2x^2$. Разность \[ \left(u+a^2\right)^2-4a^2u-16a^2x^2=u^2-2a^2u+a^4-16a^2x^2=\left(u-a^2\right)^2-\left(4ax\right)^2. \] Это разность квадратов, поэтому \[ \left(u-a^2-4ax\right)\left(u-a^2+4ax\right)=0, \] то есть исходное уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений \[ Q_1:\quad x^2-(1+4a)\,x+\left(1-a^2\right)=0,\qquad Q_2:\quad x^2-(1-4a)\,x+\left(1-a^2\right)=0. \] (Уравнение $Q_2$ получается из $Q_1$ заменой $a\to -a$; поэтому множество решений симметрично относительно замены знака $a$, и достаточно понимать поведение при $a\ge 0$, а затем добавить симметричные значения.) Полное число различных корней исходного уравнения равно \[ N=(\text{число различных корней }Q_1)+(\text{число различных корней }Q_2)-(\text{число общих корней}). \] **Дискриминанты.** Подсчитаем дискриминанты: \[ D_1=(1+4a)^2-4\left(1-a^2\right)=20a^2+8a-3,\qquad D_2=(1-4a)^2-4\left(1-a^2\right)=20a^2-8a-3. \] Корни $D_1=0$: $a=\dfrac{-2\pm\sqrt{19}}{10}$; корни $D_2=0$: $a=\dfrac{2\pm\sqrt{19}}{10}$ (здесь $\sqrt{64+240}=\sqrt{304}=4\sqrt{19}$). Каждое из квадратных уравнений имеет: два различных корня при положительном дискриминанте, один (двойной) корень при нулевом и ни одного действительного корня при отрицательном. **Общие корни.** Вычитая $Q_1$ из $Q_2$, получаем $8a\,x=0$. Значит, общий корень возможен только если $a=0$ или $x=0$. - При $a=0$ оба уравнения совпадают: $x^2-x+1=0$ с дискриминантом $-3<0$, действительных корней нет, $N=0$. Значение $a=0$ не подходит. - При $a\ne 0$ общий корень обязан быть $x=0$. Подстановка $x=0$ в $Q_1$ (и в $Q_2$) даёт $1-a^2=0$, то есть $a=\pm 1$. Только при $a=\pm 1$ уравнения имеют общий корень (а именно $x=0$). **Когда получается ровно три корня.** Число $N$ нечётно (равно 3) лишь в двух ситуациях: либо когда у уравнений есть ровно один общий корень (тогда $N=2+2-1=3$), либо когда одно из уравнений имеет двойной корень, а другое — два различных, без общих корней (тогда $N=2+1=3$). Разберём оба случая. **Случай 1: общий корень, $a=\pm 1$.** При $a=1$: \[ Q_1:\ x^2-5x=0\ \Rightarrow\ x=0,\;x=5;\qquad Q_2:\ x^2+3x=0\ \Rightarrow\ x=0,\;x=-3. \] Различные корни: $x\in\{-3,\,0,\,5\}$ — ровно три. При $a=-1$ роли $Q_1$ и $Q_2$ меняются местами, получается тот же набор $\{-3,0,5\}$ — снова три корня. Итак, $a=\pm 1$ подходят. **Случай 2: один из дискриминантов равен нулю.** Двойной корень одного уравнения добавляет лишь одно значение, поэтому для $N=3$ нужно, чтобы второе уравнение давало два различных корня (его дискриминант положителен) и общих корней не было (что автоматически выполнено при $a\ne\pm 1,\,a\ne 0$). Рассмотрим $D_2=0$, то есть $a=\dfrac{2\pm\sqrt{19}}{10}$. - $a=\dfrac{2+\sqrt{19}}{10}\approx 0{,}6359$: тогда $D_1=20a^2+8a-3$. Так как $20a^2-8a-3=0$, имеем $20a^2=8a+3$, откуда $D_1=(8a+3)+8a-3=16a>0$. Значит $Q_1$ даёт два различных корня, а $Q_2$ — один двойной; всего $N=3$. Подходит. - $a=\dfrac{2-\sqrt{19}}{10}\approx -0{,}2359$: здесь $D_1=16a<0$, поэтому $Q_1$ действительных корней не имеет, а $Q_2$ даёт один двойной корень; всего $N=1$. Не подходит. Аналогично $D_1=0$, $a=\dfrac{-2\pm\sqrt{19}}{10}$: - $a=\dfrac{-2-\sqrt{19}}{10}=-\dfrac{2+\sqrt{19}}{10}\approx -0{,}6359$: из $20a^2+8a-3=0$ следует $D_2=20a^2-8a-3=-16a>0$, $Q_2$ даёт два корня, $Q_1$ — двойной; $N=3$. Подходит (это симметричное к предыдущему значение). - $a=\dfrac{-2+\sqrt{19}}{10}\approx 0{,}2359$: $D_2=-16a<0$, $N=1$. Не подходит. **Других значений нет.** Вне перечисленных точек оба дискриминанта строго отличны от нуля и общих корней нет, поэтому $N$ чётно (0, 2 или 4) и не равно 3. Следовательно, ровно три корня дают только \[ \boxed{\,a=\pm 1\quad\text{и}\quad a=\pm\dfrac{2+\sqrt{19}}{10}.\,} \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1996\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 1996\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1996-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T23:30:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1996\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 1996-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 1996"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1996-07","serverCollection":{"id":"6f3d20b0-170e-467b-bdbf-d15da6cffccd","name":"Мехмат МГУ — июль 1996","code":"mehmat-1996-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Письменный экзамен, 1996 год (июль), механико-математический факультет МГУ","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1996-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1996},"created_at":"2026-06-09T23:30:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"fa17f793-af7b-4f94-ab94-e7bde91621f2","collection_id":"6f3d20b0-170e-467b-bdbf-d15da6cffccd","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"fa17f793-af7b-4f94-ab94-e7bde91621f2","short_id":18113,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\frac{7}{\\cos^2 x}-\\frac{7\\sqrt{7}}{\\cos x}+10=0.\\]","answer_text":"\$\\pm\\arccos\\left(\\frac{\\sqrt{7}}{5}\\right)+2\\pi k,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\pm\\arccos\\left(\\frac{\\sqrt{7}}{5}\\right)+2\\pi k,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm1996-07","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"d98ec954-72ab-4cf8-ac56-f8b397199541","code":"tag-206","name":"Уравнения рациональные относительно тригонометрических функций"}]}},{"problem_id":"6da07f9d-b88c-4924-b8f9-3c2ca7c376f6","collection_id":"6f3d20b0-170e-467b-bdbf-d15da6cffccd","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"6da07f9d-b88c-4924-b8f9-3c2ca7c376f6","short_id":18114,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\sqrt{8\\cdot 16^x-\\frac{1}{2}\\cdot 9^x}\\leqslant 3\\cdot 4^x-3^x.\\]","answer_text":"\$\\left[\\log_{4/3}\\left(3+\\dfrac{\\sqrt{30}}{2}\\right);+\\infty\\right)\$","answer":"\$\\left[\\log_{4/3}\\left(3+\\dfrac{\\sqrt{30}}{2}\\right);+\\infty\\right)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm1996-07","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"01f67e1b-7c60-4a01-aa9f-38a44d86ef0e","code":"tag-3","name":"Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"}]}},{"problem_id":"d684a312-8551-4be6-9576-c9fa41105337","collection_id":"6f3d20b0-170e-467b-bdbf-d15da6cffccd","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"d684a312-8551-4be6-9576-c9fa41105337","short_id":18115,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"В треугольнике \$ABC\$ точка \$O\$ — центр описанной окружности, точка \$R\$ лежит на отрезке \$BC\$ и \$BR=RC\$. Описанная около треугольника \$BRO\$ окружность пересекает \$AB\$ в точке \$T\$. Найдите площадь треугольника \$ABC\$, если \$\\angle BOR=30^\\circ\$, \$RT=8\$, \$BT=6\$.","answer_text":"\$48\$","answer":"\$48\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm1996-07","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"43c3ff5b-b8c7-472a-aa58-848addf09b5b","code":"tag-66","name":"Вписанный угол, опирающийся на диаметр"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"d3b75ad2-c6a5-4ba6-85c8-0cbefe7f8516","code":"tag-199","name":"Окружность, описанная вокруг треугольника"}]}},{"problem_id":"6dc28de2-5bd0-427c-b1b9-714738a21fb5","collection_id":"6f3d20b0-170e-467b-bdbf-d15da6cffccd","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"6dc28de2-5bd0-427c-b1b9-714738a21fb5","short_id":18116,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решить систему\n\\[\\begin{cases}\\log_3 18\\sin x-\\log_3 3y+\\left|\\log_3\\cos x-\\log_3 3y\\right|=1,\\\\ \\dfrac{1}{4}\\left(x-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)^2+\\dfrac{1}{3y^2}\\leqslant 1.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$\\left\\{\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{1}{6},\\ y\\right),\\ \\text{где}\\ y\\geqslant\\left(3\\left(1-\\frac{1}{4}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{1}{6}-\\frac{\\pi}{4}\\right)^2\\right)\\right)^{-1/2}\\right\\}\$","answer":"\$\\left\\{\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{1}{6},\\ y\\right),\\ \\text{где}\\ y\\geqslant\\left(3\\left(1-\\frac{1}{4}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{1}{6}-\\frac{\\pi}{4}\\right)^2\\right)\\right)^{-1/2}\\right\\}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm1996-07","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"}]}},{"problem_id":"356b9098-afbf-4ac1-8b81-bdc0a4ce0b0e","collection_id":"6f3d20b0-170e-467b-bdbf-d15da6cffccd","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"356b9098-afbf-4ac1-8b81-bdc0a4ce0b0e","short_id":18117,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"В треугольной пирамиде \$AKLM\$ выполнено\n\\[AK=AL=AM,\\quad KL=LM=MK,\\quad \\operatorname{tg}(\\angle AKM)=\\frac{7}{\\sqrt{3}}.\\]\nСфера радиуса \$2\\sqrt{3}\$ касается луча \$LA\$, касается плоскости \$AKM\$ и касается плоскости \$KLM\$ в точке, лежащей на луче \$LM\$. Найти наибольшее возможное значение длины отрезка \$LM\$.","answer_text":"\$\\frac{1}{49}\\left(48\\sqrt{13}-74\\sqrt{3}\\right)\$","answer":"\$\\frac{1}{49}\\left(48\\sqrt{13}-74\\sqrt{3}\\right)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm1996-07","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"c2f87176-38e1-4180-99e4-f61bcd4dbdb7","code":"tag-183","name":"Правильная треугольная пирамида"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}},{"problem_id":"f2b519f2-c623-459a-8d29-b7cbf8ce5cb1","collection_id":"6f3d20b0-170e-467b-bdbf-d15da6cffccd","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"f2b519f2-c623-459a-8d29-b7cbf8ce5cb1","short_id":18118,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"При каких значениях параметра \$a\$ уравнение\n\\[\\left(x^2-x+a^2+1\\right)^2=4a^2\\left(5x^2-x+1\\right)\\]\nимеет ровно 3 различных решения?","answer_text":"\$\\pm 1;\\ \\pm\\frac{2+\\sqrt{19}}{10}\$","answer":"\$\\pm 1;\\ \\pm\\frac{2+\\sqrt{19}}{10}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm1996-07","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"6290f0c5-88f2-4a2d-b8e3-fbfd7f4dcd63","code":"tag-88","name":"Уравнения высших степеней"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]