При каких значениях параметра a уравнение (x^2-x+a^2+1)^2=4a^2(5x^2-x+1) имеет ровно 3 различных решения?

Требуется найти все значения параметра a, при которых уравнение (x^2-x+a^2+1)^2=4a^2(5x^2-x+1) имеет ровно три различных решения. **Разложение на множители.** Перенесём всё в левую часть и попробуем представить разность как разность квадратов. Заметим, что 4a^2(5x^2-x+1)=(4ax)^2+4a^2(x^2-x+1), так что (x^2-x+a^2+1)^2-4a^2(5x^2-x+1) =(x^2-x+a^2+1)^2-4a^2(x^2-x+1)-(4ax)^2. Обозначим для краткости u=x^2-x+1. Тогда левая часть исходного уравнения равна (u+a^2)^2, а правая — 4a^2(u+4x^2)=4a^2u+16a^2x^2. Разность (u+a^2)^2-4a^2u-16a^2x^2=u^2-2a^2u+a^4-16a^2x^2=(u-a^2)^2-(4ax)^2. Это разность квадратов, поэтому (u-a^2-4ax)(u-a^2+4ax)=0, то есть исходное уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений Q_1: x^2-(1+4a)x+(1-a^2)=0, Q_2: x^2-(1-4a)x+(1-a^2)=0. (Уравнение Q_2 получается из Q_1 заменой a -a; поэтому множество решений симметрично относительно замены знака a, и достаточно понимать поведение при a>= 0, а затем добавить симметричные значения.) Полное число различных корней исходного уравнения равно N=(число различных корней Q_1)+(число различных корней Q_2)-(число общих корней). **Дискриминанты.** Подсчитаем дискриминанты: D_1=(1+4a)^2-4(1-a^2)=20a^2+8a-3, D_2=(1-4a)^2-4(1-a^2)=20a^2-8a-3. Корни D_1=0: a=(-2+-sqrt(19))/(10); корни D_2=0: a=(2+-sqrt(19))/(10) (здесь sqrt(64+240)=sqrt(304)=4sqrt(19)). Каждое из квадратных уравнений имеет: два различных корня при положительном дискриминанте, один (двойной) корень при нулевом и ни одного действительного корня при отрицательном. **Общие корни.** Вычитая Q_1 из Q_2, получаем 8ax=0. Значит, общий корень возможен только если a=0 или x=0. - При a=0 оба уравнения совпадают: x^2-x+1=0 с дискриминантом -3<0, действительных корней нет, N=0. Значение a=0 не подходит. - При a!= 0 общий корень обязан быть x=0. Подстановка x=0 в Q_1 (и в Q_2) даёт 1-a^2=0, то есть a=+- 1. Только при a=+- 1 уравнения имеют общий корень (а именно x=0). **Когда получается ровно три корня.** Число N нечётно (равно 3) лишь в двух ситуациях: либо когда у уравнений есть ровно один общий корень (тогда N=2+2-1=3), либо когда одно из уравнений имеет двойной корень, а другое — два различных, без общих корней (тогда N=2+1=3). Разберём оба случая. **Случай 1: общий корень, a=+- 1.** При a=1: Q_1: x^2-5x=0 => x=0,x=5; Q_2: x^2+3x=0 => x=0,x=-3. Различные корни: xin-3,0,5 — ровно три. При a=-1 роли Q_1 и Q_2 меняются местами, получается тот же набор -3,0,5 — снова три корня. Итак, a=+- 1 подходят. **Случай 2: один из дискриминантов равен нулю.** Двойной корень одного уравнения добавляет лишь одно значение, поэтому для N=3 нужно, чтобы второе уравнение давало два различных корня (его дискриминант положителен) и общих корней не было (что автоматически выполнено при a!=+- 1,a!= 0). Рассмотрим D_2=0, то есть a=(2+-sqrt(19))/(10). - a=(2+sqrt(19))/(10)~ 0,6359: тогда D_1=20a^2+8a-3. Так как 20a^2-8a-3=0, имеем 20a^2=8a+3, откуда D_1=(8a+3)+8a-3=16a>0. Значит Q_1 даёт два различных корня, а Q_2 — один двойной; всего N=3. Подходит. - a=(2-sqrt(19))/(10)~ -0,2359: здесь D_1=16a<0, поэтому Q_1 действительных корней не имеет, а Q_2 даёт один двойной корень; всего N=1. Не подходит. Аналогично D_1=0, a=(-2+-sqrt(19))/(10): - a=(-2-sqrt(19))/(10)=-(2+sqrt(19))/(10)~ -0,6359: из 20a^2+8a-3=0 следует D_2=20a^2-8a-3=-16a>0, Q_2 даёт два корня, Q_1 — двойной; N=3. Подходит (это симметричное к предыдущему значение). - a=(-2+sqrt(19))/(10)~ 0,2359: D_2=-16a<0, N=1. Не подходит. **Других значений нет.** Вне перечисленных точек оба дискриминанта строго отличны от нуля и общих корней нет, поэтому N чётно (0, 2 или 4) и не равно 3. Следовательно, ровно три корня дают только a=+- 1 и a=+-(2+sqrt(19))/(10).

\(\pm 1;\ \pm\frac{2+\sqrt{19}}{10}\)