Задача №18118

При каких значениях параметра $a$ уравнение

$${\left(x^2-x+a^2+1\right)}^2=4a^2\left(5x^2-x+1\right)$$

имеет ровно 3 различных решения?

Требуется найти все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$${\left(x^2-x+a^2+1\right)}^2=4a^2\left(5x^2-x+1\right)$$

имеет ровно три различных решения.

Разложение на множители. Перенесём всё в левую часть и попробуем представить разность как разность квадратов. Заметим, что

$$4a^2\left(5x^2-x+1\right)={\left(4ax\right)}^2+4a^2\left(x^2-x+1\right),$$

так что

$${\left(x^2-x+a^2+1\right)}^2-4a^2\left(5x^2-x+1\right)={\left(x^2-x+a^2+1\right)}^2-4a^2\left(x^2-x+1\right)-{\left(4ax\right)}^2.$$

Обозначим для краткости $u=x^2-x+1\text{.}$ Тогда левая часть исходного уравнения равна ${\left(u+a^2\right)}^2\text{,}$ а правая — $4a^2(u+4x^2)=4a^{2}u+16a^2{x}^2\text{.}$ Разность

$${\left(u+a^2\right)}^2-4a^{2}u-16a^2{x}^2=u^2-2a^{2}u+a^4-16a^2{x}^2={\left(u-a^2\right)}^2-{\left(4ax\right)}^2.$$

Это разность квадратов, поэтому

$$\left(u-a^2-4ax\right)\left(u-a^2+4ax\right)=0,$$

то есть исходное уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений

$$Q_1:x^2-(1+4a)x+\left(1-a^2\right)=0,Q_2:x^2-(1-4a)x+\left(1-a^2\right)=0.$$

(Уравнение $Q_2$ получается из $Q_1$ заменой $a\to -a\text{;}$ поэтому множество решений симметрично относительно замены знака $a\text{,}$ и достаточно понимать поведение при $a\ge 0\text{,}$ а затем добавить симметричные значения.)

Полное число различных корней исходного уравнения равно

$$N=(\text{число различных корней }{Q}_1)+(\text{число различных корней }{Q}_2)-(\text{число общих корней}).$$

Дискриминанты. Подсчитаем дискриминанты:

$$D_1=(1+4a{)}^2-4\left(1-a^2\right)=20a^2+8a-3,D_2=(1-4a{)}^2-4\left(1-a^2\right)=20a^2-8a-3.$$

Корни $D_1=0\text{:}$ $a=\frac{-2\pm \sqrt{19}}{10}\text{;}$ корни $D_2=0\text{:}$ $a=\frac{2\pm \sqrt{19}}{10}$ (здесь $\sqrt{64+240}=\sqrt{304}=4\sqrt{19}$). Каждое из квадратных уравнений имеет: два различных корня при положительном дискриминанте, один (двойной) корень при нулевом и ни одного действительного корня при отрицательном.

Общие корни. Вычитая $Q_1$ из $Q_2\text{,}$ получаем $8ax=0\text{.}$ Значит, общий корень возможен только если $a=0$ или $x=0\text{.}$

• При $a=0$ оба уравнения совпадают: $x^2-x+1=0$ с дискриминантом $-3<0\text{,}$ действительных корней нет, $N=0\text{.}$ Значение $a=0$ не подходит.
• При $a\ne 0$ общий корень обязан быть $x=0\text{.}$ Подстановка $x=0$ в $Q_1$ (и в $Q_2$) даёт $1-a^2=0\text{,}$ то есть $a=\pm 1\text{.}$ Только при $a=\pm 1$ уравнения имеют общий корень (а именно $x=0$).

Когда получается ровно три корня. Число $N$ нечётно (равно 3) лишь в двух ситуациях: либо когда у уравнений есть ровно один общий корень (тогда $N=2+2-1=3$), либо когда одно из уравнений имеет двойной корень, а другое — два различных, без общих корней (тогда $N=2+1=3$). Разберём оба случая.

Случай 1: общий корень, $a=\pm 1\text{.}$ При $a=1\text{:}$

$$Q_1:x^2-5x=0\Rightarrow x=0,x=5;Q_2:x^2+3x=0\Rightarrow x=0,x=-3.$$

Различные корни: $x\in \{-3,0,5\}$ — ровно три. При $a=-1$ роли $Q_1$ и $Q_2$ меняются местами, получается тот же набор $\{-3,0,5\}$ — снова три корня. Итак, $a=\pm 1$ подходят.

Случай 2: один из дискриминантов равен нулю. Двойной корень одного уравнения добавляет лишь одно значение, поэтому для $N=3$ нужно, чтобы второе уравнение давало два различных корня (его дискриминант положителен) и общих корней не было (что автоматически выполнено при $a\ne \pm 1,a\ne 0$).

Рассмотрим $D_2=0\text{,}$ то есть $a=\frac{2\pm \sqrt{19}}{10}\text{.}$

• $a=\frac{2+\sqrt{19}}{10}\approx 0,6359\text{:}$ тогда $D_1=20a^2+8a-3\text{.}$ Так как $20a^2-8a-3=0\text{,}$ имеем $20a^2=8a+3\text{,}$ откуда $D_1=(8a+3)+8a-3=16a>0\text{.}$ Значит $Q_1$ даёт два различных корня, а $Q_2$ — один двойной; всего $N=3\text{.}$ Подходит.
• $a=\frac{2-\sqrt{19}}{10}\approx -0,2359\text{:}$ здесь $D_1=16a<0\text{,}$ поэтому $Q_1$ действительных корней не имеет, а $Q_2$ даёт один двойной корень; всего $N=1\text{.}$ Не подходит.

Аналогично $D_1=0\text{,}$ $a=\frac{-2\pm \sqrt{19}}{10}\text{:}$

• $a=\frac{-2-\sqrt{19}}{10}=-\frac{2+\sqrt{19}}{10}\approx -0,6359\text{:}$ из $20a^2+8a-3=0$ следует $D_2=20a^2-8a-3=-16a>0\text{,}$ $Q_2$ даёт два корня, $Q_1$ — двойной; $N=3\text{.}$ Подходит (это симметричное к предыдущему значение).
• $a=\frac{-2+\sqrt{19}}{10}\approx 0,2359\text{:}$ $D_2=-16a<0\text{,}$ $N=1\text{.}$ Не подходит.

Других значений нет. Вне перечисленных точек оба дискриминанта строго отличны от нуля и общих корней нет, поэтому $N$ чётно (0, 2 или 4) и не равно 3. Следовательно, ровно три корня дают только

$$\boxed{a=\pm 1\text{и}a=\pm \frac{2+\sqrt{19}}{10}.}$$